高考最新-2018年上海市高考理科数学十校联考试卷 精品

18年上海市高考理科数学十校联考试卷
一、填空题. （本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知集合{}R
x x
y y
A
∈+==
,12
，函数)
4lg(2
x x y -=
的定义域为B ，则
=
B A ________
2．不等式2
112<
+x
的解集为___________.
3. 函数y=1og 2(x 2+2)(x ≤0)的反函数是_________________. 4．已知复数,,4321i t z i z +=+=
且2
1
z z ⋅是实数，则实数._________
=t
5．函数
x
x x f sin )
2(cos
2)(2
+=的最小正周期是____________.
6．以抛物线x
y 38
2
=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是0
3=±
y x 的双曲线
方程为___________________. 7.在极坐标系中，点⎪⎭
⎫
⎝⎛
32,
1π到圆θ
ρ
cos 2=上动点的距离的最大值为________.
8. 函数,121)(--=x x f 则方程1
2
)(=⋅x
x f 的实根的个数是_________.
9．特奥会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为___________. 10．设M 是),
,,()(,30,32
,p n m M f BAC
AC AB ABC
=︒=∠=⋅定义且内一点∆
其中p n m 、、分别是y
x y x M f MAB MCA MBC
41),,2
1(
)(,,,+=则
若的面积∆∆∆
的最小值是_______________. 11．已知
)
(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,,R b a ∈
，满足
)
()()(a bf b af b a f +=⋅,
)
(2
)2(),()2(,2)2(*
*
∈=
∈=
=N
n f b N
n n
f a f n
n
n n
n 考查
下列结论：（1）)1()0(f f =；
（2）)(x f 为偶函数；（3）数列{}n a 为等比数列；
（4）e
b n
b n
n =+
∞
→)11(lim。

其中正确的是__________。

二、选择题. （本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，
C ，
D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。

12.
上为增函数”的
在区间（是“函数
),1[))("1"2
+∞-==a x x f a ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要。

13．已知函数x
y 1=
的图象按向量)0,(b n =平移得到函数2
1-=
x y 的图象，则函
数
)10()(≠>=-a a a
x f b
x 且的反函数)
(1
x f
-的图象恒过定点 （ ）
A ．（2，1）
B ．（1，2）
C ．（－2，1）
D ．（0，2）
14．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。

其中正确的是（ ） A 、（1）（2）（3） B 、（1）（4） C 、（1）（2）（4） D 、（2）（4）
15.一机器猫每秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器猫以前进3步，然后再后退2步的规律移动。

如果将此机器猫放在数轴的原点，面向正方向，以1步的距离为1单位长移动。

令P （n ）表示第n 秒时机器猫所在位置的坐标，且P （0）=0，则下列结论中错误的是 （ ）
A ．P （3）=3
B ．P （5）=1
C ．P （101）=21
D ．P （101）> P （118）
三、解答题。

（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分）已知c b a 、、是ABC ∆中C B A ∠∠∠、、的对边，若
,7=a ,120
,50
=∠=A c 求边长b 及ABC ∆外接圆半径.R
17．（本题满分14分）
直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=900，AB=AC=2，AA 1=22
，
E ,
F 分别是BC 、AA 1的中点。

求（1）异面直线EF 和A 1B 所成的角。

（2）直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积。

18. （本题满分14分）某地区由于战争的影响，据估计，将产生60~100万难民，联合国难民署从4月1日起为该地区难民运送食品. 连续运送15天，总共运送
A
C B A 1
E F C 1
B 1
21300 t ；第一天运送1000 t ，第二天运送1100 t ，以后每天都比前一天多运送100 t ，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100 t ；求在第几天达到运送食品的最大量.
19. （本题满分14分）已知函数a
x
x
x f -+=
2
2
1)( （常数+
∈R
a
）
(1)求函数
)(x f 的定义域，判断)
(x f 的奇偶性并说明理由.
(2)试研究函数)
(x f 在定义域内的单调性，并利用单调性的定义给出证明。

20. （本题满分18分）已知F 1、F 2分别是椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 的左、右焦
点，P 是此椭圆上的一动点，并且21PF PF ⋅ 的取值范围是].3
4,
3
4[-
(1) 求此椭圆的方程；
(2) 点A 是椭圆的右顶点，直线y = x 与椭圆交于B 、C 两点(C 在第一象限内)，又P 、Q
是椭圆上两点，并且满足0||||2
1=⋅⎭
⎫ ⎝⎛+F F CQ CQ CP CP ，求证：向量AB PQ 与共线．
21．（本题满分18分）
已知向量//m
n
,其中3
1(
,1)1
m
x c =-+-,(1,)n y =-(,,)x y c R ∈,
把其中
,x y 所满足的关系式记为()
y f x =,若函数
()
f x 为奇函数.
(Ⅰ) 求函数()f x 的表达式；
(Ⅱ) 已知数列{}n a 的各项都是正数,
n
S 为数列{}n a 的前n 项和,且对于任意
*
n N
∈,都有“{}()n f a 的前n 项和等于2n S ,”求数列{}n a 的通项式；
(Ⅲ) 若数列{}n b 满足1
42()n a n
n b a a R +=-⋅∈,求数列{}n b 的最小值.
答题纸（理）
三、解答题。

（本大题满分90分） 16． 17．
18．
A C
B
A 1 E
F
C 1
B 1
19．20．
21．
答题纸（理）
三、解答题。

（本大题满分90分） 16． 解：0
2
2
2
2
2
2
120
cos 525
7
cos 2b b
A bc c
b
a
⨯⨯-+=⇒-+=由余弦定理：
,302452
=⇒=-+⇒b b b
……6分
由正弦定理:
.
3372120
sin 7
2sin 0
=
⇒=⇒
=R R R A
a
ABC
∆∴中.3
3
7,3=
=R b
……6分
17. 解：（1）方法一：取AB 的中点D ，连DE 、DF ， 则DF ∥B A 1，
∴∠DFE （或其补角）即为所求。

……3分
由题意易知，3
DF
=
，1DE =，2
AE =
由D E ⊥AB 、D E ⊥A A 1得D E ⊥平面ABB 1A 1 ∴DE ⊥DF ，即△EDF 为直角三角形，……3分
A
C
B
A 1
E
F
C 1
B 1
∴3
33
1DF
DE DFE
tan =
=
=
∠ ∴0
30
DFE
=∠ ……3分
即异面直线EF 和A 1B 所成的角为030。

……1分 方法二：
以A 为坐标原点以AB 、AC 、AA 1所在直线分别x 轴、y 轴、 Z 轴建立如图所示的直角坐标系， ……1分
则A 1 (o,o,2
2
) B (2,0,0)
E 、
F 分别是BC 、AA 1中点
∴E(1,1,0) F(0,0,2
) ……4分
∴)22
,0,2(1
-=BA
，)2,
1,1(--=EF
设E F BA
1
与的夹角为θ∴cos θ
=
2
3EF B A =
∙
π
θ≤≤0 ∴ 6
π
θ
=
……4分
∴异面直线EF 和A 1B 所成的角为6
π
……1分
（2）直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积2
422222
1AA
AC AB 2
1V
1
=⨯⨯⨯=
⋅⋅=
……4分
18.解：设在第n 天达到运送食品的最大量.
则前n 天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列. a n =1000+（n －1）·100=100n +900.。

……3分 其余每天运送的食品量是首项为100n +800，公差为－100的等差数列.
……3分
依题意，得
1000n +
2
)
1(-n n ×100+（100n +800）（15－n ）+
2
)
14)(15(n n --×（－100）
=21300（1≤n ≤15）. ……5分
整理化简得n 2－31n +198=0.
解得n =9或22（不合题意，舍去）. ……2分 答：在第9天达到运送食品的最大量. ……1分 19. 解：（1）定义域为：)
,0()0,(+∞-∞
……2分
),(1)
()
(1)(2
2
2
2
x f a x
x
a x x x f =-+=
--+-=
- )(x f ∴是偶函数，
…2分
（2）
⎪⎩
⎪⎨⎧<<-
+-≥-≤-+=)
(1)
(1)(2
2
2
2
a x a a x x a x a x a x x
x f 或)
(+
∈R
a
1
若a
x
x x f a x a x
-+=
≥-≤2
2
1)(,则或，
)
11)(
(11)()(,2
2
2
12
122222
2
2
12
1
2121--=--
+=-<≤∀
x x x x x x x x x f x f x x a
,
0112
1222
2
2
2
12
222121>-≤
⇒
≥⇒<≤x x a
x x a
x x x x a 且由
当
1112
>⇒<a a
时，)(),()(21x f x f x f ∴<在),[
+∞a 上是增函数；
又)(x f 是偶函数，)(x f 在],(a --∞上是减函数。

……3分
当
1
0112
≤<⇒≥a a
时，
1
21≤<≤x x a 时,
),
()(11212
2
2
1x f x f x x >⇒>
2
11x x <≤时,
).
()(11212
2
2
1x f x f x x <⇒<
)(x f ∴在]1,[a 上是减函数，在),1[+∞上是增函数；
又)(x f 是偶函数，在],1[a --上是增函数，在]1,(--∞上是减函数。

……3分
2若,1)(),0(2
2
a x
x
x f x a x a +-=≠≤≤-
则
)11)(
(11)()(,02
2
2
12
122222
2
2
12
1
2121>+-=+-
-=
-≤<<∀x x x x x x x x x f x f a x x ]0)(a x f ，在（∴
上是减函数，
又)(x f 是偶函数，于是)(x f 在)
0,[a -
上是增函数。

……3分
由0
10
2
可知：当1
≤<a 时，
)
(x f 在]1,0(上是减函数，在),1[+∞上是增函数，
在]1,(--∞上是减函数，在)0,1[-上是增函数；
当1
>a
时，
)
(x f 在],0(a 上是减函数，在)
,[
+∞a 上是增函数，
在],(a -
-∞
上是减函数，在)
0,[a -
上是增函数。

……1分 20. 解：(1) 设)0,(),0,(),
,(2100c F c F y x P -，
其中),(),()0,(,000012
2
y c x y x c PF b a c ---=--=-=
则，
).,(),()0,(00002y x c y x c PF --=-=
从而.),(),(2202020220000021c y x y c x y x c y c x PF PF -+=+-=--⋅---=⋅
……4分
由于222122220202,c a PF PF c b a y x b -≤⋅≤-≤+≤所以， 即.22
212
2
b PF PF a b ≤⋅≤- 又已知3
43
421≤
⋅≤-
PF PF ，
所以⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=-.34,4,34,
3
422
2
222b a b a b 从而椭圆的方程是
.14
34
2
2
=+
y x
……4分
(2) 因为PCQ CQ CP F F CQ CP ∠+
=⋅+
而
|
||
|,0|
||
|21的平分线平行，
所以∠PCQ 的平分线垂直于x 轴. ……2分
由).1,1(,
1,1,,
14342
2
C y x x y y x ∴⎩⎨
⎧==⎪⎩
⎪
⎨⎧==+解得
不妨设PC 的斜率为k ，则QC 的斜率为-k ，因此PC 和QC 的方程分别为
)1(,1)1(--=+-=x k y x k y ，
其中⎪
⎩⎪
⎨⎧=++-=≠.1434
,1)1(,022y x x k y k 由
消去y 并整理得(*).0163)1(6)31(2
22=--+--+k k
x k k x k ……3分
∵C (1，1) 在椭圆上，∴x = 1是方程(*) 的一个根.
从而2
2
2
2
311
63,311
63k
k k
x k
k k
x Q P +-+=
+--=
同理， ……2分
从而直线PQ 的斜率为.3
13112231)
13(22)(2
2
2
=
+--+-=
--+=
--=
k
k k
k k
k x x k
x x k x x y y k Q
P Q P Q
P Q P PQ
又知A (2，0) ，B (－1，－1) ， 所以,3
12
101AB PQ AB k k k =∴=----=
AB PQ 与向量∴共线。

……3分
21．解：(Ⅰ)
//m
n
33
3
1101(10)
1
y y x c x c x c ∴
⋅-=⇒=+-+-≠+-,因为函数
()
f x 为奇函数.所以1c =,3
()(0)f x x x ⇒=≠ …………4分
(Ⅱ)由题意可知,
2
3
3
3
32
12123()()()n n n n
f a f a f a S a a a a S ++
+=⇒++++=…..①
时2≥n 3
3
3
3
2
12311
n n a a a a S --∴+++
+=………②
由①-②可得:
3
2
2
11()
n n n n n n a S S a S S --=-=+,
{}n a 为正数数列
12
-+=∴
n n n S S a ③ ……2分
n n n S S a +=∴++12
1④
由④-③可得:
n n n n a a a a +=-++12
2
1
,1,011=-∴>+++n n n n a a a a
……2分
且由①可得3
2
1111,01
a a a a =>⇒=，,
20,222
2323
1=⇒>=+a a S a a
112=-∴a a {}n a ∴为公差为1的等差数列,
)
(*
N
n n a n ∈=∴ ……2分
(Ⅲ) )(*N n n a n ∈= ,)()2(2
4*
221N n a a a b n n n n ∈--=⋅-=∴+ ……2分 令2(2)n
t t =≥,22()(2)n b t a a t ∴=--≥
(1)当2
a ≤时,数列{}n
b 的最小值为：当1=n 时, .441a b -=
……2分
(2)当2a >时
①若)
(2
*
1
N
k a
k ∈=+时,数列{}n b 的最小值为当1+=k n
时,.2
1a b k -=+ (1)
分
②若)(2
22
*
1
N
k a k k
∈+=
+时,数列{}n b 的最小值为, 当n k =或1n k =+时，
22
1(2)k
k k b b a a +==--. …1分
③若)(2
22
2
*
1
N
k a k k
k
∈+<
<+时, 数列
{}n b 的最小值为, 当
n k =
时,22
(2)k k b a a =-- ……1分
④若
)(2
2
22
*
1
1
N
k a k k k
∈<<+++时,数列
{}n b 的最小值为, 当
1n k =+时，
1
22
1(2
)k k b a a ++=--.……1分。