江苏省南通、泰州市2020届高三第一次调研测试数学试题无附加题

2019-2020南通泰州高三第一次调研试卷
2020.1.15
一、填空题
1．已知集合{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，则A B =I ________． 2．已知复数z 满足(1)2i z i +=，其中是虚数单位，则z 的模为________．
3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为________． 4．根据如图所示的伪代码输出的a 的值为_________．
5．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1,a 2,a 4a 成等比数列，则
1
a d
的值为________． 6．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的率为________． 7．在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则三棱锥111A BB C -的体积为________． 8．已如函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫
=-> ⎪⎝
⎭．若当6
x π
=时，函数()f x 取得最大值，则ω的最小值为________．
9．已知函数2
()(2)(8)()f x m x m x m R =-+-∈是奇函数若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式
()21()f x f a +<恒成立，则实数a 的取值范围是________．
10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点，A ，B 分别在双曲线2
2
:1C x y -=的两条渐近线上，且双曲线C
经过线段，AB 的中点若点的横坐标为2，则点B 的横坐标为________．
11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过硏究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放岀
的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+．2008年5月汶川发生里
氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的________倍．
12．已知ABC V 的面积为3，且AB AC =．若2CD DA =u u u r u u u r
，则BD 的最小值为________.
13．在平面直角坐标系xOy 中已知圆2
2
1:8C x y +=与圆22
2:20C x y x y a +++-=相交于A ，B 两点，
若圆1C 上存在点P ，使得ABP V 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为________．
14．已知函数1|1
,0(),01x x f x x x x ⎧|--≥⎪=⎨<⎪-⎩
，若关于x 的方程22
()2()10f x af x a ++-=有五个不相等的实
数根，则实数a 的取值范围是________． 二、解答题
15．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PC AB ⊥，D ，E 分别为BC ，AC 的中点．求证：
（1）//AB 平面PDE ； （2）平面PAB ⊥平面PAC ． 16．（本小题满分14分）
在ABC V 中，已知4,AC =3,BC =1
cos 4
B =-． （1）求sin A 的值；
（2）求BA BC ⋅u u u r u u u r
的值．
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的焦距为4，两条准线间的距离为8，
A ，
B 分别为椭圆E 的左、右顶点．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）已知图中四边形ABCD 是矩形，且4BC =，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，AM 与BN 相交于第一象
限内的点P ．
①若M ，N 分别是BC ，CD 的中点，证明：点P 在椭圆E 上； ②若点P 在椭圆E 上，证明：
BM
CN
为定值井求出该定值．
18．（本小题满分16分）
在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a 的正三角形，ABC 绕其中心O 逆时针旋转θ到三角形
111A B C ，且20,
3
π
θ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
．顺次连结,A 1,A ,B 1,B ,C 1,C A ，得到六边形徽标111AA BB CC ．
（1）当6
π
θ=
时，求六边形徽标的面积；
（2）求六边形微标的周长的最大值． 19．（本小题满分16分）
已知数列{}n a 满足：11a =且当2n ≥时，11(1)()2
n
n n a a R λλ---=+
∈． （1）若1λ=，证明：数列{}21n a -是等差数列； （2）若2λ=．
①设22
3
n n b a =+
，求数列{}n b 的通项公式；
②设21
1
3n
n i n
i C a n ==
⋅∑，证明：对于任意的*
,p m N
∈，当p m >，都有p m C C ≥．
20．（本小题满分16分）
设函数1()e ()x f x ax a a R x ⎛
⎫
=-
-∈ ⎪⎝⎭
，其中e 为自然对数的底数． （1）当0a =时，求函数()f x 的单调减区间；
（2）已知函数()f x 的导函数()f x '有三个零点1,x 2,x ()3123x x x x <<．
①求a 的取值范围；
②若1,m ()212m m m <是函数()f x 的两个零点，证明：1111x m x <<+．
2019-2020南通泰州高三第一次调研试卷
参考答案
2020.1.15
一、填空题 1．{1,2}-
2
3．40
5．1
6．
3
8
7
8．5
9．1a <
10．
12
11．解：1
122
lg lg 31000E E E E -=⇒
=． 12．解：法一：设3AB AC x ==，
则AD x =，2292sin 323sin S x A x A
=
=⇒=，
BD ==，
53cos 14
3sin 3cos 53sin 3
y y A A y A -⋅=
⇒+=≤≥，
故BD
的最小值
3
；
法二：由阿圆易知：131283ABD S BD BD BD =≤
⋅⇒≥，即BD
的最小值为3
．
13
．解：两圆相交⇒
<<*）， 两圆相减得:280AB x y a ++-=，
①P 为直角点，则AB 过点1(0,0)8C a ⇒=，符合（*）； ②A 或B 为直角点，则1C 到AB
的距离28d a ==⇒=±*）；
综上，{8,8a ∈-+．
14．解：令()f x t =，2
2
()21g t t at a =++-，
设()g t 零点为1,t 2t 作出()f x 的简图，
数形结合易知：212
22840010
(1,1110
220a t a a t a a a ⎧⎧->⎪⎪
<<->⎪⎪⇒⇒∈--⎨⎨>->⎪⎪⎪⎪-++<⎩⎩
． 二、解答题
15．证：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以//AB DE ，
又AB ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， 所以//AB 平面PDE ；
（2）因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，
所以AB PA ⊥，又AB PC ⊥．
PA PC P =I ，PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，
所以AB ⊥平面PAC ，又AB ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAC ．
16．解：（1）1
cos 4
B =-
，B 为ABC V 内角，
故sin 4
B ==
． 由正弦定理：sin sin sin a b c
A B C
==
，得：sin sin a B A b ==； （2）1
cos 04
B =-
<，故B 为钝角，
则A
为锐角，故11cos 16
A ==
．
则sin sin()sin()sin cos cos sin 8
C A B A B A B A B π=--=+=+=， 由正弦定理：
sin sin sin a b c A B C ==⋅，得：sin 2sin b C
c B
==． 因此3||||cos cos 2
BA BC BA BC B ac B ⋅===-u u u r u u u r u u u r u u u r ．
17．解：（1）设焦距为2c ，则：22
2222248284c a a
c
b b a
c =⎧⎪⎧=⎪=⇒⇒⎨⎨=⎩⎪⎪=-⎩
椭圆方程为22184x y +
=； （2
）①4)C
，(4)D -
．则2),M (0,4)N ，
18,55:4
AM y x P BN y ⎧⎛⎫==
+⎪⇒ ⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪=+⎩
．
代入E 的方程，成立，故点P 在椭圆E 上；
②设(AM y k x ==+
，则),M
0,
2k ⎡∈⎢⎣⎦
，
22222,212128
y kx P k k x y ⎧⎛⎫=+⎪⇒ ⎪⎨ ⎪+++=⎪⎝⎭⎩，
211:(8,4)22PB
k BN y x N k k k ==-⇒=--⇒，
故
BM CN ==为定值． 18．解：（1
）OA OB ==
，连OB ，易知：123
AOB π
θ∠=-．
故222323sin sin sin 23264S OA a ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦．
答：当6
π
θ=
时，六边形徽标的面积为
2
34
a ； （2
）12sin
sin 2
32
AA OA a θ
θ
==
，
112sin sin 3232222A B OB a πθθθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
设周长为()f θ，则()11()3sin ,23f A h A B θπθ⎛⎫=⋅+=+ ⎪⎝⎭20,3
π
θ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
当且
2
3
2
θ
π
π
+
=
，即3
π
θ=
时，()f θ得最大值．
答：六边形徽标的周长的最大值为．
19．解：（1）当1λ=时，11(1)2
n
n n a a ---=+，
所以2221211(1)2
n
n n n a a a ----=+
=， 即21
2122211(1)112
n n n n n a a a a -----=+
=+=+， 所以数列{}21n a -是公差为的等差数列；
（2）①当2λ=时，11(1)22
n
n n a a ---=+，
所以2122a a ==，122833
b a =+
=， 所以21
21221(1)2212
n n n n a a a +---=+
=+， 即22
22
21211(1)222
n n n n a a a ++----=+=，
所以22242n n a a +=+，两边同时加23
， 整理得22222433n n a a +⎛
⎫+
=+ ⎪⎝
⎭， 所以数列{}n b 是首项为
83，公比为4的等比数列，即243
n
n b =⋅； ②由①可知，22224,333
n n n a b =-=⋅-212141
233n n n a a -==
-． 所以21241n
n n a a -+=-，
即
()121
4144414
33
n n n
i
i a
n n +=⋅-=
-=---∑，
所以1111
144414
333333
n n n n n n n C n n n n +-+-⎛⎫=--=-- ⎪⋅⋅⋅⎝⎭， 21121211414414
(1)33(1)3333n n n n n n n n n n C C n n n n ++++++++-=---+++⋅+⋅⋅⋅，
整理得11111432423
33(1)333(1)
n n n n n n n n C C n n n n +-+++-+-=⋅++⋅++，
当1n =时，210C C -=，即21C C =， 当2n =时，320C C -=，即32C C =， 当3n ≥时，10n n C C +->，即1n n C C ->，
综上，1n n C C -≥恒成立，所以对任意()
*
,p m p m >∈N ，都有p m C C ≥．
20．解：（1）当0a =时，e ()x f x x =-，则2
e (1)
()x x f x x
-'=， 令()0f x '<，解得(1,)x ∈+∞， 所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞； （2）①2321111()e e e x x x f x a ax a x a x x x x ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫'=+
+--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ 因为()0f x '=有三个根，且0x ≠， 所以3
211
0a x x
+-=有三个根， 设
1
0t x
=≠，32()g t t t a =-+， 即函数()g t 有三个零点，2
()32(32)g t t t t t '=-=-， 因为()0g t '>的解集为3(,0),2⎛⎫-∞+∞
⎪⎝⎭U ，()0g t '<的解集为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 所以()g t 在(,0)-∞和2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭上单调递增，在20,3⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
由题意可知，()g t 的极大值(0)0g a =>，()g t 的极小值284
03279
g a ⎛⎫=
-+<
⎪⎝⎭， 解得427a <
，所以a 的取值范围为40,27⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
②设①中()0g t =的三个根分别为1,t 2,t ()3123t t t t <<， 由①过程可知1232
03
t t t <<<
<， 因为(1)20g a -=-<，所以110t -<<， 所以
132
113102t t t <<<<， 即111(1,0)x t =
∈-，且3211
11
0a x x +-=， 令1()e 0x f x ax a x ⎛⎫
=-
-= ⎪⎝
⎭
，整理得210ax ax --=， 由题意可知，1,m ()212m m m <是方程2
10ax ax --=的两根， 所以121,m m +=121
0m m a
=-
<，所以210m m >>， 因为1(1,0)x ∈-，所以1110x m +>>，
又因为(
)2
22
1111111232
111
21111101x ax ax x x am am x x x ⎛⎫-+--=---=>=--
⎪⎝⎭， 所以2
2
1111ax ax am am ->-，整理得()()111110x m x m +-->，
因为1110x m +-<，所以11x m <， 综上，1111x m x <<+．。