2019-2020学年高一数学 指数函数、对数函数、幂函数导学案 苏教版.doc

2019-2020学年高一数学 指数函数、对数函数、幂函数导学案 苏教
版
学习目标
1、进一步巩固指数、函数，幂函数的基本概念。

2、能运用指数函数，对数函数，幂函数的性质解决一些问题。

3、掌握图象的一些变换。

4、能解决一些函数的单调性、奇偶性等问题。

例1、已知f(x)=x 3·(
2
1121+-x )； (1)判断函数的奇偶性；
(2)证明：f(x)>0.
例2、已知f(x)=),(1
222·R x a a x x ∈+-+若f(x)满足f(－x)=－f(x). (1)求实数a 的值；
(2)判断函数的单调性。

例3、已知f(x)=log 2 (x+1)，当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动时，点(2
3y ，x )在函数y=g(x)的图象上运动。

(1)写出y=g(x)的解析式；
(2)求出使g(x)>f(x)的x 的取值范围；
(3)在(2)的范围内，求y=g(x) －f(x)的最大值。

例4、已知函数f(x)满足f(x 2
－3)=lg .622
x x (1)求f(x)的表达式及其定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)当函数g(x)满足关系f[g(x)]=lg(x+1)时，求g(3)的值.
1、函数y=a x 在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a=( ) A.21 B.2 C.4 D.4
1 2、函数y=2x 与y=x 2的图象的交点个数是( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
3、已知函数y=log a (3－ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是( )
A.(0，1)
B.(1，3)
C.(0，3 )
D.[3，+∞)
4、y=log 2|ax －1|(a ≠0)的图象的对称轴为x=2，则a 的值为( ) A.21 B.－2
1 C.
2 D.－2 5、若函数f(x)=log a x (其中a>0，且a ≠1)在x ∈[2，+∞)上总有|f(x)|>1成立，
求a 的取值范围。

6、如果点 P 0(x 0,y 0)在函数y=a x (a>0且a ≠1)(a>0且a ≠1)的图象上，那么点P 0关于直线y=x 的对称点在函数y=log a x 的图象上吗？为什么？
答案：
例1、已知f(x)=x 3·(
2
1121+-x )； (1)判断函数的奇偶性；
(2)证明：f(x)>0.
【解】：(1)因为2x －1≠0，即2x ≠1，所以x ≠0，即函数f(x)的定义域为{x ∈R|x ≠0} . 又f(x)=x 3(21121+-x )=1212·23-+x x x ， f(－x)=1
212·21212·2)(33-+=-+---x x x x x x =f(x)， 所以函数f(x)是偶函数。

(2)当x>0时，则
x 3>0，2x >1，2x －1>0，
所以f(x)=.01
212·23>-+x x x 又f(x)=f(－x),
当x<0时，f(x) =f(－x)>0.
综上述f(x)>0.
例2、已知f(x)=),(1
222·R x a a x x ∈+-+若f(x)满足f(－x)=－f(x).
(1)求实数a 的值；
(2)判断函数的单调性。

【解】：(1)函数f(x)的定义域为R ，
又f(x)满足f(－x)= －f(x)，
所以f(－0)= －f(0)，即f(0)=0. 所以02
22=-a ，解得a=1， (2)设x 1<x 2,得0<2x 1<2x 2,
则f(x 1) －f(x 2)=1
21212122211+--+-x x x x =)
12)(12()22(22121++-x x x x 所以f(x 1) －f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2).
所以f(x)在定义域R 上为增函数.
例3、已知f(x)=log 2(x+1)，当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动时，点(2
3y ，x )在函数y=g(x)的图象上运动。

(1)写出y=g(x)的解析式；
(2)求出使g(x)>f(x)的x 的取值范围；
(3)在(2)的范围内，求y=g(x) －f(x)的最大值。

【解】：(1)令t y s x ==2
,3， 则x=2s,y=2t.
因为点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动
所以2t=log 2(3s+1)，
即t=2
1log 2(3s+1) 所以g(x)= 2
1log 2(3s+1) (2)因为g(x)>f(x) 所以2
1log 2(3x+1)>log 2(x+1) 即100
1)1(132
<<⇒⎩⎨⎧>++>+x x x x
(3)最大值是log 23－
2
3
例4、已知函数f(x)满足f(x 2－3)=lg .622
-x x
(1)求f(x)的表达式及其定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)当函数g(x)满足关系f[g(x)]=lg(x+1)时，求g(3)的值.
解：(1)设x 2－3=t ，则x 2=t+3
所以f(t)=lg 33
lg 633
-+=-++t t t t
所f(x)=lg 33
-+x x 解不等式033
>-+x x ，得x<－3，或x>3.
所以f(x)-lg 33
-+x x ，定义域为(－∞，－3)∪(3，+∞). (2)f(-x)=lg 33
lg 33
lg 33
-+-=+-=--+-x x x x x x =－f(x).
(3)因为f[g(x)]=lg(x+1)，f(x)=lg 33
-+x x ，
所以lg )1lg(3)(3
)(+=-+x x g x g ， 所以,13)(3
)(+=-+x x g x g (01,03)(3
)(>+>-+x x g x g ).
解得g(x)=x x )
2(3+,
所以g(3)=5
1、函数y=a x 在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a=( ) A.21
B.2
C.4
D.41
答案：B
2、函数y=2x 与y=x 2的图象的交点个数是( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个 答案：D
3、已知函数y=log a (3－ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是( )
A.(0，1)
B.(1，3)
C.(0，3 )
D.[3，+∞) 答案：B
4、y=log 2|ax －1|(a ≠0)的图象的对称轴为x=2，则a 的值为( ) A.21 B.－2
1 C.
2 D.－2 答案：A
5、若函数f(x)=log a x (其中a>0，且a ≠1)在x ∈[2，+∞)上总有|f(x)|>1成立，
求a 的取值范围。

答案：(2
1,1)∪(1，2)
6、如果点 P 0(x 0,y 0)在函数y=a x (a>0且a ≠1)的图象上，那么点P 0关于直线y=x 的对称点在函数y=log a x 的图象上吗？为什么？
答案：点P 0关于直线y=x 的对称点在函数y=log a x 的图象上。

证明略。