高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第2课时零点的存在性及其近似值的求法教学

f(x0)＝0
思考(sīkǎo) 所有函数的图像都是连续不断的吗？试举例说明.
答案 不是，如反比例函数 y＝1x.
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知识点二 二分法
1.定义：
对于在区间[a，b]上的图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断(bùduàn)地把函数f(x)的
零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二
分法.
2.用二分法求函数零点的一般步骤
已知函数y＝f(x)是定义在区间[a，b]上的连续函数，且f(a)f(b)<0，给定近似的精度ε，用二
分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|＜ε的一般步骤如下：
第一步：检查|b－a|<2ε是否(shìfǒu)成立，如果成立，取 转 . 到12/9第/20二21 步
∵|1.453 125－1.437 5|＝0.015 625<2×0.01，
∴方程x3＝3的根的近似值可取为1.445 312 5.
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故函数f(x)最右边的一个(yī ɡè)零点的近似值为1.445 312 5.
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反思
感悟 (1)用二分法求函数的零点(línɡ diǎn)应遵循的原则：
内容(nèiróng)总结
第2课时 零点的存在性及其近似值的求法。第2课时 零点的存在性及其近似值的求法。第三章 3.2 函数与方程、不等式之 间的关系。1.理解函数零点存在定理.。思考 所有函数的图像(tú xiànɡ)都是连续不断的吗。(2)y＝x2＋x＋1。(1)用二分法求函数的
No 零点应遵循的原则：。|1.5－1.375|＝0.125<2×0.1，。那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________.。课堂
当堂 检测 (dānɡ tánɡ)
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1.函数f(x)＝x3＋5的可能(kěnéng)存在区间是
√A.[－2，－1]
B.[－1,0]
C.[0,1]
D.[1,2]
解析 由于f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0， 故可以取区间[－2，－1]作为(zuòwéi)计算的初始区间，用二分法逐次计算.
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问题(wèntí)导入
（1）
（2）
1 . 哪 2组 021/镜 12/9 头 说 明 小 孩 的 行 程 一 定 曾 渡 过 第三页，小 共二十河 三页。 ?
y f (x) x [a,b]
y
A
a
B
x
b
y
A
bx a
B
2.当A,B与x轴是怎样的位置关系时，AB间一段 连续不断的函数图像(tú xiànɡ)与x轴一定有交点？
零点所在区间 [1,2] [1.5,2]
[1.5,1.75] [1.5,1.625] [1.5,1.562 5]
区间中点
x0＝1＋2 2＝1.5 x1＝1.52＋2＝1.75 x2＝1.5＋21.75＝1.625 x3＝1.5＋21.625＝1.562 5 x4＝1.5＋12.5625＝1.531 25
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2.在用二分法求方程f(x)＝0在(1,3)内近似解的过程中，得到(dé dào)f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)<0，则
方程的根所在区间为
√A.(1.5,2)
C.(2,3)
B.(1,1.5)
D.不能确定
解析(jiě xī) 由题意知f(1.5)·f(2)<0， 所以方程的根在区间(1.5,2)内.
课堂(kètáng)小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：
(1)函数零点存在定理. (2)二分法的概念. (3)求方程(fāngchéng)的近似解
2.常见误区：f(a)f(b)<0是连续函数存在零点的充分不必要条件，求近似解时精确度理解不 准确.
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3.用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定(bìdìng)在右侧区间内.
4.若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b/2021
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一、变号零点(línɡ diǎn)与不变号零点(línɡ 的 diǎn) 判断
f
a＋b
2
a＋b f(b)<0，将 2 的值赋给
a，回到第一步.
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思考辨析(biànxī) 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.二分法所求出的方程的解都是近似解.( ×)
2.函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点.( ) ×
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跟踪训练1 判断(pànduàn)下列函数是否有变号零点： (1)y＝x2－5x－14； 解 零点(línɡ diǎn)是－2,7，是变号零点.函数有变号零点. (2)y＝x2＋x＋1； 解 无零点(línɡ diǎn).函数无变号零点. (3)y＝x4－18x2＋81.
那么(nàme)方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为____1_._4_3_7. 5
解析 根据题意知函数的零点在区间[1.375,1.5]内时， |1.5－1.375|＝0.125<2×0.1， 故方程的一个(yī ɡè)近似根为1.437 5.
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1.375 1.437 5 1.468 75 1.453 125 1.445 312 5
中点函数近似值 g(1.5)＝0.375>0 g(1.25)≈－1.046 9<0 g(1.375)≈－0.400 4<0 g(1.437 5)≈－0.029 5<0 g(1.468 75)≈0.168 4>0 g(1.453 125)≈0.068 4>0
例1 分别求出下列函数(hánshù)的零点，并指出是变号零点还是不变号零点. (1)f(x)＝3x－6；
解 零点是2，是变号零点(línɡ diǎn).
(2)f(x)＝x2－x－12；
解 零点是－3和4，都是变号零点.
(3)f(x)＝x2－2x＋1；
解 零点是1，是不变号零点.
(4)f(x)＝(x－2)2(x＋1)x.
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3.若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算(jìsuàn)，参考数据如下：
f(1)＝－2 f(1.375)＝－0.260
f(1.5)＝0.625 f(1.437 5) ＝0.162
f(1.25)＝－0.984 f(1.406 25) ＝－0.054
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解 零点是－1,0和2，其中变号零点是0和－1，不变号零点是2.
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反思
感悟 函数f(x)在[a，b]上的图像连续不间断，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在该区间上至 少有一个变号零点，也可能有多个(duō ɡè)变号零点，还可能有不变号零点， 但至少有一个变号零点是肯定的.这一结论可直接应用于函数变号零点判定之中.
3.A,B与x轴的位置关系如何用数学(shùxué)符号(式子)表示？
f(a)f(b)0
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知识点一 函数(hánshù)零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像(tú xiànɡ)是__连__续__不_断___的，并且_____f(_a_)_f(_b_)(<即0 在区间两个端 点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间[a，b]中至少有一个零点，即∃x0∈[a，b]，________.
由表12/9中/20数21 据可知(kě zhī)，|1.562 5－1.5|＝0.062 5<2×0.06，
所以所求函数的一个正实数零点近似值为1.531 25.
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中点的函数值 f(x0)＝－0.125<0 f(x1)≈1.609 4>0 f(x2)≈0.666 0>0 f(x3)≈0.252 2>0
首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的零点，又要使其长度尽量小； 其次要根据给定的精确度，及时检验所得区间的端点值之差的绝对值是否小于精确度
的2倍，以决定是停止还是继续计算. (2)用二分法求函数的零点的近似值，可借助于计算器一步步求解即可.在计 算时可借助表格或数轴清晰地描述，逐步缩小零点所在的区间的过程.在区间 两端点之差的绝对值小于精确度的2倍时，运算结束.
小结
Image
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第三章 3.2 函数(hánshù)与方程、不等式之间的关系
第2课时(kèshí) 零点的存在性及其近似值的求法
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学习(xuéxí)目标
XUEXIMUBIAO
1.理解函数零点存在定理. 2.会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程(guòchéng)作出程式化 的步骤.
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跟踪训练(xùnliàn)2 已知函数f(x)＝x3－x－2，用二分法求它的一个正实数零点.(精确度0.06)
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解 由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定(quèdìng)区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐 步计算，具体如表.
解 零点是－3,3，都不是变号零点.函数无变号零点.
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二、用二分法求函数零点(línɡ diǎn)的近似解
例2 求函数f(x)＝x5－x3－3x2＋3最右边的一个(yī ɡè)零点.(精确度0.01)
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解 ∵f(x)＝x5－x3－3x2＋3 ＝x3(x2－1)－3(x2－1) ＝(x＋1)(x－1)(x3－3)， ∴f(x)最右边的一个零点的横坐标就是方程(fāngchéng)x3－3＝0的根. 令g(x)＝x3－3，以下用二分法求函数g(x)的零点. 由于g(1)＝1－3＝－2<0，g(2)＝23－3＝5>0，
x1＝，a＋2计b算结束；如果不成立，
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a＋b 第二步：计算区间[a，b]的中点 2 对应的函数值，若
f
a＋2 b＝0，取
a＋b x1＝ 2 ，计
算结束；若 f a＋2 b≠0，转到第三步.
第三步：若 f(a)f a＋2 b<0，将a＋2 b的值赋给 b用a＋2 b→b表示，下同，回到第一步；若
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故可取[1,2]作为计算(jìsuàn)的初始区间，列表如下：
零点所在区间 [1,2] [1,1.5]
[1.25,1.5] [1.375,1.5] [1.437 5，1.5] [1.437 5，1.468 75] [1.437 5，1.453 125]
区间中点 1.5 1.25