第十讲期权的定价

2．在期权有效期内，标的资产没有现金收益支付。综合1和2， 意味着标的资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
3. 没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收 益的任何外部因素。综合2和3，意味着投资者的收益仅来源于价格的 变动，而没有其他影响因素。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都 是完全可分的。
p e rt d
ud
在上面的期权f 定 e价r公t p式fu中 ，1如p果fd令
，则期权定
价公式可以变为
。如果把p解释为股票价
格上升的概率，那么1-p就是股票价格下降的概率。这样，就可
以把上面的期权定价公式表述为：
今天的期权价值是其未来预期值按无风险利率贴现的价值。
值得注意的是，这里的p并非真正的股票上升下降的概率， 而是人为设定的概率，被称为风险中性概率。
第十讲 期权的定价
主要内容 1、Black-Scholes期权定价模型 2、二叉树模型
自从期权交易产生以来，尤其是股票期权交易产生以来，学 者们即一直致力于对期权定价问题的探讨。1973年， 芝加哥大 学教授 Fischer Black和Myron Scholes发表《期权定价与公司负 债》一文，提出了著名的Black-Scholes期权定价模型，在学术界 和实务界引起强烈的反响，Scholes并由此获得1997年的诺贝尔经 济学奖。在他们之后，其他各种期权定价模型也纷纷被提出，其 中最著名的是1979年由J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人提 出的二叉树模型。在本讲中，我们将介绍以上这两个期权定价模 型，并对其进行相应的分析和探讨。
5. 在期权有效期内，无风险利率为常数，投资者可以此利率无 限制地进行借贷。
6．期权为欧式看涨期权，其执行价格为X ，当前时刻为 t ，到
期时刻为 T。
7．不存在无风险套利时机。
二、Black-Scholes期权定价模型
〔一〕Black-Scholes期权定价公式 在上述假设条件的基础上，Black和Scholes得到了如 下适用于无收益资产欧式看涨期权的一个微分方程：
两个组合的现金流情况
t
T
ST X
C
ST X
Xer(T t)Βιβλιοθήκη XC Xer(T t)
ST
P
0
ST X 0 X X
X ST
S
ST
ST
PS
ST
X
C Xer(T t) P S
〔四〕Black-Scholes期权定价公式的计算：一个例子 例题 假设某种不支付红利股票的市价为50元，无风险利率为12%，该股票
Black-Scholes期权定价模型
一、Black-Scholes期权定价模型的假设条件
Black-Scholes期权定价模型的七个假设条件如下：
1. 期权标的资产为一风险资产〔Black-Scholes期权定
价模型中为股票〕，当前时刻市场价格为S。S遵循几何布朗
运动，即
dS dt dz
S
险利率对 Su fu或Sd fd 贴现来求该组合的现值。在无套利时
机的假设下，该组合的收益现值应等于构造该组合的成本，即
S f Su fu ert
将
fu fd Su Sd
代入上式就可得到：
f
e r t
ert d
ud
fu
1
ert d ud
fd
2.风险中性定价法
3. 对期权定价公式的经济理解。
从Black-Scholes期权定价模型自身的求解过程来看，N 〔d2〕实际上是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说是 欧式看涨期权被执行的概率，因此，e-r〔T-t〕XN〔d2〕是X的 风险中性期望值的现值，更朴素地说，可以看成期权可能带 来的收入现值。SN〔d1〕= e-r〔T-t〕STN〔d1〕是ST的风险中性 期望值的现值，可以看成期权持有者将来可能支付的价格的 现值。因此整个欧式看涨期权公式就可以被看作期权未来期 望回报的现值。
10 e0.10.25 [11P 9(1 P)]
P=62.66%。
又如，如果在现实世界中股票的预期收益率为15%，则股 票的上升概率可以通过下式来求：
10 e0.150.25 [11P 9(1 P)]
P=69.11%。
可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率， 而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率。然而，无论 投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票上升或下降的 概率如何，该期权的价值都等于0.31元。
应该注意的是，风险中性假定仅仅是一个人为假定，但通过 这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用 于投资者厌恶风险的所有情况。
举例：
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，在3个月后，该 股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要求出一份3个月期 协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。
由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多
头，而目前股票市场为10元，因此： 10 0.25 f 2.19 f 0.31元
这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存
在无风险套利时机。
从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要 知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概率。但这并 不意味着概率可以随心所欲地给定。事实上，只要股票的预 期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。例如， 在风险中性世界中，无风险利率为10%，则股票上升的概率P 可以通过下式来求：
f rS f 1 2 S 2 2 f rf
t S 2
S 2
其中f为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过解这个微分方程，Black和Scholes得到了如下适用 于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：
c SN (d1 ) Xe r(T t) N (d 2 )
其中，
ln(S / X ) (r 2 / 2)(T t)
在Black-Scholes公式所用的参数中，有三个参数与时间
有关：到期期限、无风险利率和波动率。值得注意的是，这
三个参数的时间单位必须相同，或者同为天、周，或者同为年。 年是经常被用到的时间单位，因此，我们常常需要将天波动率 转化为年波动率。在考虑年波动率时，有一个问题需要加以重 视：一年的天数究竟按照日历天数还是按照交易天数计算。一 般认为，证券价格的波动主要来自交易日。因此，在转换年波 动率时，应该按照一年252个交易日进行计算。这样，与天波动 率相应的年波动率为：
在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
在所有投资者都是风险中性的条件下〔有时我们称之为进 入了一个“风险中性世界〞〕，所有证券的预期收益率都可以等 于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益 来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量 都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价 原理。
的年波动率为10%，求该股票协议价格为50元、期限1年的欧式看涨期权和 看跌期权价格。
在此题中，可以将相关参数表达如下：
S＝50，X＝50，r=0.12,σ=0.1,T=1,
计算过程可分为三步：
第一步，先算出 d1和 d2 ，
d1
ln(50
/
50)
(0.12 0.1 1
0.01/
2)
1
1.25
d2 d1 0.1 1 1.15
其中，dS 为股票价格瞬时变化值， dt为极短瞬间的时间变化
值，dz为均值为零，方差为 dt 的无穷小的随机变化值〔 dz dt
，称为标准布朗运动， 代表从标准正态分布〔即均值为0、标准
差为1.0的正态分布〕中取的一个随机值〕， 为股票价格在单位
时间内的期望收益率〔以连续复利表示〕， 则是股票价格的波动 率，即证券收益率在单位时间内的标准差。 和 都是的。
第二步，计算 N d1 和 N d2 ，
N d1 N 1.25 0.8944 N d2 N 1.15 0.8749
第三步，上述结果及条件代入公式，这样，欧式看涨期 权和看跌期权价格分别为：
c 50 0.8944 50 0.8749e0.121 5.92美元
p 50 1 0.8749 e0.121 50 1 0.8944 0.27美元
券预期收益率确实定方法。期权价格与 的无关性，显然
大大降低了期权定价的难度和不确定性。
进一步考虑，受制于主观风险收益偏好的标的证券预期收益 率并未包括在期权的价值决定公式中，公式中出现的变量全都是 客观变量，独立于主观变量——风险收益偏好。既然主观风险偏 好对期权价格没有影响，这使得我们可以利用Black-Scholes期权 定价模型所揭示的期权价格的这一特性，作出一个可以大大简化 我们工作的简单假设：
〔三〕看跌期权的定价公式 Black-Scholes期权定价模型给出的是无收益资产欧式
看涨期权的定价公式，根据欧式看涨期权和看跌期权之间的 平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：
p c Xer(T t) S Xer(T t) N (d2 ) SN (d1)
Xer(T t)
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市 价。假设3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元； 假设3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。
为了求出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空 头和X单位的标的股票多头组成的组合。假设3个月后该股票价格 等于11元时，该组合价值等于〔11X－0.5〕元；假设3个月后该股 票价格等于9元时，该组合价值等于9X元。为了使该组合价值处于 无风险状态，我们应选择适当的X值，使3个月后该组合的价值不 变，这意味着：
在二叉树模型中也可以应用风险中性定价原理，只要确
定风险中性概率 p 和参数 u 、d ，就可以利用上面的公式为
期权定价。这是二叉树定价的一般方法。
在风险中性世界里：
所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；
，下降的概率假设为1 q。
Su q
S
1-q Sd
图1 t 时间内资产价格的变动 相应地，期权价值也会有所不同，分别为 fu 和 fd 。
二、单步二叉树模型 运用单步二叉树为期权定价，可以有两种方法：无套利
方法和风险中性定价方法。 1.无套利定价法
由于期权和标的资产的风险源是相同的，在如图1的单步二叉
树中，我们可以构造一个证券组合，包括 股资产多头和一个看涨 期权空头。如果我们取适当的 值，使
Su fu Sd fd
则无论资产价格是上升还是下跌，这个组合的价值都是相等的。也 就是说，当 fu fd 时，无论股票价格上升还是下跌，该组合
Su Sd
的价值都相等。显然，该组合为无风险组合，因此我们可以用无风
year day 252 0.3467
二叉树模型
一、二叉树模型的基本方法
二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 t
，并假设在每一个时间间隔内证券价格只有两种运动的可能：从
开始的 S上升到原先的 u 倍，即到达 Su ；下降到原先的 d 倍，
即 Sd 。其中，u 1 ，d 1 ，如图1所示。价格上升的概率假设为 q
1.期权价格的影响因素
期权价格的影响因素包括：标的资产市场价格、执行价 格、波动率、无风险利率、到期时间。
2.风险中性定价原理
观察式期权定价公式，我们可以注意到期权价格是与标
的资产的预期收益率 无关的。即在我们描述标的资产价格
所遵循的几何布朗运动时曾经出现过的预期收益率在期权定 价公式中消失了。这对于寻求期权定价的人们来说无疑是一 个很大的好消息。因为迄今为止，人们仍然没有找到计算证
11X－0.5=9X
X=0.25
因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25 股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组 合价值都将等于2.25元。
在没有套利时机情况下，无风险组合只能获得无风险利
率。假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应
为：
2.25e 0.10.25 2.19元
d1
T t
d2
ln(S
/
X ) (r 2 T t
/ 2)(T
t)
d1
T t
c为无收益资产欧式看涨期权价格；N〔x〕为标准正态分 布变量的累计概率分布函数〔即这个变量小于x的概率〕，根 据标准正态分布函数特性，我们有N (x) 1 N (x) 。
〔二〕对Black-Scholes期权定价公式的理解