第三章2节

FX ( x ) = lim F ( x， y )
y → +∞
1 π x π y = lim 2 + arctan + arctan y → +∞ π 2 2 3 2 1 π x ( x ∈ (− ∞， + ∞ ) ) = + arctan π2 2
j
( i = 1， 2， ⋯ )
∑ P {X = x ， Y = y } = ∑ p
i j j
ij
同理，随机变量 Y 的分布律为： 同理， 的分布律为：
P. j = P Y = y j = ∑ P X = x i ， Y = y j = ∑ pij
i i
{
}
{
}返回主目录ຫໍສະໝຸດ §2边缘分布已知联合分布律求边缘分布律
边缘分布也称为边沿分布或边际分 布． 已知联合分布函数求边缘分布函数
设二维随机变量
是一个二维随机变量， 如果 ( X ， Y )是一个二维随机变量， 则它的分量 X
( X ， Y )的分布函数为
F ( x ， y )，
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则分量 X 的分布函数为
FX ( x ) = P{X ≤ x} = P{X ≤ x， − ∞ < Y < +∞}
Y X 1 2 3 4
1
1 4 1 8 1 12 1 16
2 0
1 8 1 12 1 16
3 0 0
1 12 1 16
4 0 0 0
1 16
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§10
边缘分布
例 2（续） 可得 ( X ， Y )与 X 及 Y 的边缘分布律为
Y X 1 2 3 4
1
1 4 1 8 1 12 1 16 25 48
X 以及Y 的边缘分布律也可以由 下表表示
Y X x1
x2
y1
p11 p21
y2
p12 p22
… … … … …
yj p1 j p2 j
⋮
… … … … …
pi⋅ p1⋅ p2⋅
⋮
xi
⋮
pi1
⋮
pi 2
⋮
pi⋅
pij
⋮
⋮
⋮
p⋅1
⋮
p⋅2
⋮
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p⋅ j
p⋅ j
§10
边缘分布
例 2 已知二维随机变量的联 合分布律如下，求 合分布律如下， X 和 Y的边缘分布律。 的边缘分布律。
(
y−y 0
)
0< y<1 其它
注意： 注意： 1、根据联合概率密度函数求关于变量 x 的边缘 、 概率密度时， 积分， 概率密度时，需要对另一个变量 y 积分，而积 的函数， 分的上下限一般是关于 x 的函数，即求出的边 缘概率密度是一个关于x的函数。 缘概率密度是一个关于x的函数。 的函数 2、边缘概率密度一般要根据题意写成分段函数的 、 形式。 形式。 3、在每一个分段表达式后面写上变量 x 的取值范 、 围。
§10
边缘分布
同理， 同理， Y 的边缘分布函数为
FY ( y ) = lim F ( x， y )
x → +∞
1 π x π y = lim 2 + arctan + arctan x → +∞ π 2 2 3 2 1 π y ( y ∈ (− ∞， + ∞ ) ) = + arctan π2 3
(X ，
Y )的联合密度函数为
y=x2
解： (1) 随机变量 X 的边缘密度函数为 当 0 < x < 1 时， f X ( x ) = =
+∞ −∞ x
o
+
1 x
∫ f ( x， y )dy = ∫
6dy = 6 x − x 2 ∫
x2
x2
−∞
∫
x
2
x
+
+∞
∫
x
(
)
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§10
边缘分布
6 x − x 2 所以， 所以， f X ( x ) = 0
由 F X ( x ) = P {X ≤ x } = F ( x ， + ∞ ) =
x
−∞
∫
+∞ ∫ f (u ， y )dy du −∞
得
f X ( x) =
+∞
−∞
∫ f ( x， y)dy
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已知联合密度函数求边缘密度函数
同理 F Y ( y ) = P { ≤ y } = F (+ ∞ ， y ) Y
2 0
1 8 1 12 1 16 13 48
3 0 0
1 12 1 16 7 48
4 0 0 0
1 16 3 48
pi ⋅
1 4 1 4 1 4 1 4
p⋅ j
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已知联合密度函数求边缘密度函数
对于二维连续型随机变 量 ( X ， Y )，已知其联合 密度函数为 f ( x， y )，
的边缘密度函数： 现求随机变量 X 的边缘密度函数： f X ( x )
x y F ( x， y ) = A B + arctan C + arctan 2 3
(− ∞ < x < +∞ ， − ∞ <
y < +∞ )
试求：⑴．常数 A 、 B 、 C ； 试求：
的边缘分布函数． ⑵．X 及 Y 的边缘分布函数．
解： ⑴．由分布函数的性质 ，得
(
)
又随机变量 X 的边缘密度函数为
f X (x) =
1 2π σ 1
( x − µ1 )2 −
e
2 2σ 1
(− ∞ < x < +∞ )
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随机变量 Y 的边缘密度函数为
fY ( y ) = 1 2π σ 2
( y − µ 2 )2 −
e
1
2 2σ 2
(− ∞ <
y < +∞ )
1 ( x − µ1 )2 ( y − µ 2 )2 exp− = + f X ( x ) ⋅ fY ( y ) 2πσ σ 2 2 σ 2 2 σ1 1 2
这表明， 相互独立； 这表明， r = 0 ⇔ 随机变量 X 与Y 相互独立；
2 二元正态随机变量 N µ 1， µ 2， σ 12， σ 2， r
(
)
相互独立的充分必要条 件为 ： r = 0
§2
边缘分布
结 论 （一）
二维正态分布的边缘分布是一维正态分布． 布是一维正态分布．
( X， Y ) ~ N (µ1， µ 2， σ 12， σ 22， r )
§2
边缘分布
• 边缘分布函数 • 边缘分布律 • 边缘概率密度
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§2
边缘分布
边缘分布的定义
( 或者 Y )是一维随机变量，因此 ，分量 X ( 或者 Y ) 是一维随机变量， 也有分布． 也有分布．我们称 X ( 或者 Y )的分布为 X ( 或者 Y ) 的边缘分布． 关于二维随机变量 ( X ， Y )的边缘分布．
y>0 y≤0
第四章 正态分布
第三节 二维正态分布
设二维随机变量
f ( x， y ) = 1 2πσ 1σ 2 1 − r 2
则 ( X ， Y )的联合密度函数为
( X ， Y ) ~ N (µ 1，
µ 2， σ 12， σ 22， r )
( x − µ 1 )2 2 r ( x − µ 1 )( y − µ 2 ) ( y − µ 2 )2 1 ⋅ exp − − + 2 1 − r 2 σ 12 σ 1σ 2 σ 22
xe − x 所以， X 的边缘密度函数为 f X ( x ) = 所以， 0
⑶．当 y > 0 时， fY ( y ) =
+∞
−∞
∫
f ( x， y ) dx = ∫ 6 x dx = 3 y 2
0
y
3 y 2 所以， 所以， Y 的边缘密度函数为 f Y ( y ) = 0
§2
边缘分布
例 4 设二维连续型随机变量 ( X ， Y )的联合密度函数为
cx 0 < x < y < 1 f ( x， y ) = 其它 0 试求：⑴．常数 c； ．X 及 Y 的边缘密度函数． 试求： ⑵ 的边缘密度函数．
解： ⑴．由密度函数的性质 ，得 1=
+∞ +∞ −∞ −∞
§10
边缘分布
对于二维离散型随机变 量 ( X ， Y )，已知其联合分布律为
已知联合分布律求边缘分布律
Pij = P X = x i ， Y = y j
{
} (i，j = 1， 2， ⋯)
的分布律： 现求随机变量 X 的分布律：
Pi . = P {X = x i }
Pi . = P { X = x i } =
π π 1 = F (+ ∞， + ∞ ) = A B + C + 2 2
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§10
边缘分布
x π 0 = F ( x， − ∞ ) = A B + arctan C − 2 2
π y 0 = F (− ∞， y ) = A B − C + arctan 2 3 1 π π 由以上三式可得， 由以上三式可得， A = 2 ， B = ， C = ． π 2 2 ⑵． X 的边缘分布函数为