2.2.2直线方程的几种形式(2)

解法二：因为 ， 在已知直线上 在已知直线上， 解法二：因为P(2，3)在已知直线上，
2a1 + 3b1 + 1 = 0 所以 2a2 + 3b2 + 1 = 0
可见两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的坐标 可见两点 ， 的坐标 都满足方程2x+3y+1=0， ， 都满足方程 所以过Q 所以过 1(a1，b1)，Q2(a2，b2)两点的直 ， 两点的直 线方程是2x+3y+1=0. 线方程是
3．在一般式Ax+By+C=0（A、B不全为零） ．在一般式 不全为零） （ 、 不全为零 中， 若A=0，则y= ， 直的直线； 直的直线； 直的直线. 直的直线
C 它表示一条与 轴垂 − ，它表示一条与y轴垂 B
C 它表示一条与x轴垂 若B=0，则x = − ，它表示一条与 轴垂 ， A
例1．过点 ．过点A(1，4)且纵截距与横截距相等 ， 且纵截距与横截距相等 的直线方程. 的直线方程 解：（1）当直线经过原点时，横截距和 ：（ ）当直线经过原点时， 纵截距都为0，符合题意； 纵截距都为 ，符合题意；直线方程为 y=4x. （2）当直线不经过原点时， ）当直线不经过原点时，
1 为：S= | ab | ； 2
x y 此时， 此时，直线的方程为 + = 1 ， 2 4
即2x+y－4=0. －
过点P(1， 作直线 作直线l， ， 轴的正半轴 过点 ，2)作直线 ，交x，y轴的正半轴 两点， 面积为4， 于A、B两点，求使△OAB面积为 ，这样的 、 两点 求使△ 面积为 直线有几条？面积为5呢 面积为3呢 直线有几条？面积为 呢？面积为 呢？
若A≠0，则方程化为 ， 定
B C 的值； ,的值； A A
B C ， x + y + = 0 只需确 A A
若B≠0，同理只需确定两个数值即可； ，同理只需确定两个数值即可； 因此，只要给出两个条件， 因此，只要给出两个条件，就可以求出 直线方程； 直线方程； 2．直线方程的其他形式都可以化成一般式， ．直线方程的其他形式都可以化成一般式， 解题时，如果没有特殊说明应把最后结果 解题时，如果没有特殊说明应把最后结果 化为一般式，一般式也可以化为其他形式。 化为一般式，一般式也可以化为其他形式。
x y + =1 a b
直线方程的一般形式 方程Ax+By+C=0（A、B不全为零）叫做 方程 （ 、 不全为零） 不全为零 直线的一般式方程. 直线的一般式方程 对直线的一般式方程的理解 对直线的一般式方程的理解 1．两个独立的条件可求直线方程： ．两个独立的条件可求直线方程： 可求直线方程 求直线方程，表面上需求A、 、 三个 求直线方程，表面上需求 、B、C三个 系数，由于A、 不同时为零 不同时为零， 系数，由于 、B不同时为零，
两式相减得2(a 两式相减得 1－a2)+3(b1－b2)=0， ，
b2 − b1 2 =− 即 a2 − a1 3
= kQ1Q2
2 故所求直线方程为y－ － 故所求直线方程为 －b1=－ (x－a1)， － ， 3
即2x+3y－3b1－2a1=0， － ， 而2a1+3b1=－1， － ， 所以，所求直线方程为 所以，所求直线方程为2x+3y+1=0.
1 4 x y 设直线方程为 + = 1 即： + = 1 a a a a
∴a = 5
所求直线方程为x+y-5=0 所求直线方程为
变式 过点A(1，4)且纵截距与横截距相反的 ， 且纵截距与横截距相反的 过点 直线方程. 直线方程
作直线l， ， 轴的正 例2．过点 ，2)作直线 ，交x，y轴的正 ．过点P(1， 作直线 半轴于A、 两点 求使△ 两点， 半轴于 、B两点，求使△OAB面积取得 面积取得 最小值时直线l的方程 的方程. 最小值时直线 的方程 解：设直线l的截距式方程 设直线 的截距式方程
例3．已知两直线 1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1 ．已知两直线a 和 =0的交点为 ，3)，求过两点 1(a1，b1) , 的交点为P(2， ，求过两点Q 的交点为 Q2(a2，b2)的直线方程 的直线方程. 的直线方程 解：P(2，3)在已知直线上， 在已知直线上， ， 在已知直线上
2a1 + 3b1 + 1 = 0 所以 2a2 + 3b2 + 1 = 0
x y 为 + =1 a b
6 5 4 3 2 1 -1
y
依题意a>0，b>0，又因 ， 依题意 ， 为点P(1， 在直线 在直线l上 为点 ，2)在直线 上， 1 2 所以 + =1 a b
P(1, 2)
x
1 2 3 4
O
即b+2a=ab， ，
1 又因为△ 的面积S= ab. 又因为△OAB的面积 的面积 2 1 所以S= (b+2a) 所以 2 1 1 2 1 b 4a = (b + 2a )( + ) = (2 + 2 + + ) 2 a b 2 a b 1 ≥ (4 + 4) =4 2
6
y
当且仅当
b 4a = 时等号成立. 时等号成立 a b
5 4 3 2 1 -1
即b=2a时，等号成立。 时 等号成立。 由
b = 2a 1 2 a + b =1
P(1, 2)
x
1 2 3 4
a = 2 解得 b = 4
O
所以当且仅当a=2且b=4时，△OAB的面 且 所以当且仅当 时 的面 取最小值4. 积S取最小值 取最小值
小结 截距式方程的应用 （1）与坐标轴围成的三角形的周长为： ）与坐标轴围成的三角形的周长为： |a|+|b|+ a 2 + b2 ； （2）直线与坐标轴围成的三角形面积 ） （3）直线在两坐标轴上的截距相等，则 ）直线在两坐标轴上的截距相等， 截距相等 k=－1或直线过原点，常设此方程为 － 或直线过原点， 或直线过原点 x&#程的最基本、 （1）待定系数法是求直线方程的最基本、 ）待定系数法是求直线方程的最基本 最常用的方法，但要注意选择形式， 最常用的方法，但要注意选择形式，一般 地已知一点，可以待定斜率k，但要注意 地已知一点，可以待定斜率 ，但要注意 讨论斜率k不存在的情形 不存在的情形， 讨论斜率 不存在的情形，如果已知斜率 可以选择斜截式待定截距等； 可以选择斜截式待定截距等； （2）直线方程的几种特殊形式都有其使用 ） 的局限性， 的局限性，解题过程中要能够根据不同的 题设条件，灵活选用恰当的直线形式求直 题设条件，灵活选用恰当的直线形式求直 线方程。 线方程。
2.2.2直线方程的几种形式 二) 直线方程的几种形式(二 直线方程的几种形式
复习： 复习： 1、四种形式的直线方程 、 2、相互关系 、 3、使用范围 、 y－y0=k(x－x0) － － y=kx+b y − y1 x − x1 = y2 − y1 x2 − x1
整式 Ax+By+C=0 直线方程的一般式