【全国市级联考】山西省晋城市2016届高三下学期第三次模拟考试理数试题(解析版)

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.已知集合{}{}2,3,4,6,2,4,5,7A B ==,则A
B 的子集的个数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 【答案】B 【解析】 试题分析：因为{2,4}A
B =，所以A B 的子集的个数为224=个，故选B ．
考点：1、集合的交集运算；2、集合的子集． 2.已知复数
142(i
i i z
-=+为虚数单位), 则复数z 在复平面上的对应点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A 【解析】
考点：复数的几何意义及运算． 3.下列说法中正确的是（ ）
A ．“()00f =”是“函数()f x 是奇函数” 的必要不充分条件
B ．若2000:,10p x R x x ∃∈-->,则2
:,10p x R x x ⌝∀∈--<
C ．命题“若210x -=,则1x =或1x =-” 的否命题是“若2
10x -≠,则1x ≠或1x ≠-” D ．命题p 和命题q 有且仅有一个为真命题的充要条件是()()p q q p ⌝∧∨⌝∧为真命题 【答案】D 【解析】
试题分析：A 中，“()00f =”是“函数()f x 是奇函数”既不充分条件又不必要条件；B 中，由特称命题的否定为全称命题，知2
:,10p x x x ⌝∀∈--≤R ；C 中，命题的否命题为“若2
10x -≠,则1x ≠且1x ≠-”；D 中，命题p 和命题q 有且仅有一个为真命题，即p q ∧⌝或p q ⌝∧为真命题，则()()p q q p ⌝∧∨⌝∧为
真命题，若()()p q q p ⌝∧∨⌝∧为真命题，则命题p 和命题q 有且仅有一个为真命题，所以D 正确，故选D ．
考点：1、命题真假的判定；2、充分条件与必要条件；3、命题的否命题． 4.执行如图所示的程序框图, 输出的结果为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 【答案】C 【解析】
考点：程序框图．
5.已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，虚轴的一个端点为A ，若AF 与双曲线C 的一
条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A 1+
B
C
D 【答案】C 【解析】
试题分析：不妨设(0,)A b ，则00AF b b
k c c
-=
=--．又直线AF 与双曲线C 的一条渐近线垂直，所以
1b b
c a -⋅=-，即2b ac =，亦即22c a ac -=，两边除以2a ，得210e e --=，解得e =，故选C ． 考点：1、双曲线的几何性质；2、直线与直线间的位置关系．
6.已知4
621x x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
展开式中的常数项为a ,且()1,1X
N ,则()3P X a <<=（ ）
(附：若随机变量()2,X
N μσ,
则()()0000
68.26,2295.44P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=,
()00
3399.74P X μσμσ-<<+=)
A ．0.043
B ．0.0215
C ．0.3413
D ．0.4772 【答案】B 【解析】
考点：1、二项式定理；2、正态分布．
7.
,母线长为2的圆锥的外接球O 的表面积为（ ）
A ．6π
B ．12π
C ．8π
D ．16π 【答案】D 【解析】
试题分析：
，母线长为2，可求得其轴截面的顶角为
3
2π
．设该圆锥的底面加以为1O ，其半径为r ，球O 的半径为R ，则11O O R =-
，2
2
2
2
2
1(1)R O O r R =+=-+，解得2R =，所以球
O 的表面积为2416R π=π，故选D ．
考点：1、圆锥的外接球；2、球的表面积．
【技巧点睛】求解多面体（如长方体、棱柱与棱锥）与球的组合体问题时，首先要清楚它们的“切”或“接”关系，然后根据此关系确定出球的直径（或半径）与多面体的棱长、对角线等几何量的关系．此类问题解答的难点就是组合体的图形比较难作出，必须要发挥自己的空间想象力，借助生活中实物图进行想象．
8.若函数()22,21
log ,22
a x x x f x x x ⎧-≤⎪
=⎨->⎪⎩的值域为R ,
则(f 的取值范围是（ ） A ．5,4⎛
⎫-∞-
⎪⎝⎭ B ．51,42⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C ．5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】
试题分析：因为当2x ≤时，()1f x ≥-，所以要使函数()f x 的值域为R ，则需满足011
log 212
a a <<⎧⎪
⎨-≥-⎪⎩，即1log 202a -≤<
．又(
131log log 2222a a f ==-
，所以(51,42f ⎡⎫
∈--⎪⎢⎣⎭
，故选B ． 考点：1、分段函数；2、对数函数的性质及运算；3、函数的值域．
9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足111,2n
n n a a a +==,则20S =（ ）
A ．3066
B ．3063
C ．3060
D ．3069 【答案】D 【解析】
考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前n 项和公式． 10.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+>≤ ⎪⎝
⎭
相邻两对称中心之间的距离为π,且()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝
⎭恒成立, 则ϕ的取值范围是（ ） A.,63ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦ B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】
试题分析：由题意，得22T ω
π
=
=π，解得1ω=．由()2sin 1x ωϕ+>，即()1
sin 2
x ωϕ+>
，得2266k x k ϕπ5π+π<+<+π，即(2,2)66
x k k ϕϕπ5π∈+π-+π-()k Z ∈．因为()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立，所以,(,)12366ππϕϕπ5π⎛⎫-⊆-- ⎪⎝⎭，即612
6
3πϕπ
ϕπ
⎧-≤-⎪⎪⎨
5π⎪-≥⎪⎩，解得42ϕππ≤≤，故选B ． 考点：三角函数的图象与性质．
11.已知直线():2l y k x =-与抛物线2:8C y x =交于,A B 两点, 点()2,4M -满足0MA MB =,则
AB =（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．16 【答案】D 【解析】
考点： 1、抛物线的定义及几何性质；2、直线与抛物线的位置关系；3、向量的数量积运算．
【一题多解】由题意，知抛物线的焦点为(2,0)，直线l 抛物线的焦点，点()2,4M -在抛物线的准线上，所以由抛物线的定义，知4A B AB x x =++．如图，取AB 的中点N ，连接MN ，因为,A B 的中点到抛物线的准线的距离4
2
A B x x d ++=
，所以以AB 为直径的圆与2x =-相切，又因为0MA MB =，则MN x
轴，(,4)N N N ，由()
282y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得2
8160y y k --=，所以88A B y y k +==，所以1k =，所以A B
x x +＝2212A B y y +++=，所以AB ＝1212416x x p ++=+=，故选D ．
12.某三棱住被一个平面截去一部分后所得的几何的三视图如图所示, 其中府视图是边长为2的正三角形,
则截去部分与剩余部分的体积之比为（）
A．10
33
B．
13
36
C．
13
23
D．
23
33
【答案】C
【解析】
考点：1、空间几何体的三视图；2、棱柱与棱锥的体积．
【方法点睛】解答三视力的关键是将三视图“翻译”成直观图，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长
对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，有时还需要将不规则几何体补形成常见几何体，来增加直观图的立体感．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列, 满足55993,19a b a b +=+=,则100100a b += ． 【答案】383 【解析】
考点：等差数列的通项公式及性质．
14.已知平面向量,,a b c 满足,,2,2c a mb a c b c c =+⊥=-=,则实数m = ． 【答案】2- 【解析】
试题分析：因为a c ⊥，所以0a c ⋅=．又2
||()24c c c c a mb a c mb c m =⋅=⋅+=⋅+⋅=-=，解得2m =-． 考点：1、平面向量数量积运算；2、平面向量的模．
15.已知实数,x y 满足不等式组20
4803260x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
,
则56z x y =+-的最大值为 ．
【答案】13 【解析】
考点：简单的线性规划问题．
【方法点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：①是准确无误地作出可行域；②画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；③一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．
16.已知关于x 的方程3
2
10x ax x --+=有且只有一个实根,则实数a 的取值范围为 ． 【答案】1a < 【解析】
试题分析：由题意知0x ≠，方程211a x x x =-
+只有一个实根，设函数211
()f x x x x
=-+，则3233
112()1x x f x x x x
+-'=+-=．设3()2g x x x =+-，则2
()310g x x '=+>，所以()g x 为增函数，又(1)0g =，所以当0x <时，()0f x '>，()f x 为增函数；当01x <<时，()0f x '<，()f x 为减函数；当1x >时，()0f x '>，()f x 为增函数，所以()f x 在1x =处取得极小值1，又当0x →时，()f x →+∞；
当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，所以()f x 的图象大致如图所示，由图象可知实数a 的取值范围为(,1)-∞．
考点：1、方程的根；2、利用导数研究函数的单调性；3、函数极值与导数的关系．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）在ABC ∆中, 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且22cos c a B b -=. （1）求角A 的大小；
（2）若ABC ∆,且22cos 4c ab C a ++=,求a .
【答案】（1）3
A π
=；（2）a =
【解析】
试题分析：（1）首先利用正弦定理、三角形内角和定理以及两角和的正弦函数公式化简已知条件式，由此求得cos A 的值，从而求得角A 的大小；（2）首先根据条件等式结合余弦定理得到,,a b c 的关系式，然后根据三角形面积公式求得bc 的值，从而求得a 的值． 试题解析：（1）由22cos c a B b -=及正弦定理可得
2sin 2sin cos sin C A B B -=,()sin sin sin sin cos cos sin ,cos sin 2
B
C A B A B A B A B =+=+∴=
,1sin 0,cos 2B A ≠∴=
,又因为0,3
A A ππ<<∴=.
考点：1、正弦定理与余弦定理；2、两角和的正弦函数公式；3、三角形面积公式．
18.（本小题满分12分）已知A 、B 两个盒子中都放有4个大小相同的小球, 其中A 盒子中放有1个红球,
3个黑球,B 盒子中放有2个红球, 2个黑球.
（1）若甲从A 盒子中任取一球、乙从B 盒子中任取一球, 求甲、乙两人所取球的颜色不同的概率； （2）若甲每次从A 盒子中任取两球, 记下颜色后放回, 抽取两次；乙每次从B 盒子中任取两球, 记下颜色后放回, 抽取两次, 在四次取球的结果中, 记两球颜色相同的次数为X ,求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）12；（2）分布列见解析，5
3
EX =． 【解析】
试题分析：（1）首先求甲、乙两人所取球的颜色相同的概率，再根据互斥事件概率和为1求得所求概率．；（2）首先得出X 的可能取值，然后分别求出甲、乙每次所取的两球颜色相同的概率，由此列出分布列，求得数学期望．
试题解析：（1）设事件A 为“甲、乙两人所取的球颜色不同”, 则()12321
1442
P A ⨯+⨯=-
=⨯.
（2）依题意,X 的可能取值为0,1,2,3,4,甲每次所取的两球颜色相同的概率为23241
2
C C =,乙每次所取的两
球颜色相同的概率为
22222
413C C C +=,()()11221122411222111120,12233362233332236
P X P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯===⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()11
2211112211112113222333322223336P X C C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=
, ()11
2211211111632233332236P X C C ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=
, ()11111
4223336P X ==⨯⨯⨯=,X 的分布列为
150123436363636363
EX ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：1、等可能事件的概率；2、离散型随机变量及其分布列．
19.（本小题满分12分）已知三棱柱在111ABC A B C -中, 侧面11ABB A 为正方形, 延长AB 到D ,使得
AB BD =,平面11AAC C ⊥平面111111111,,4
ABB A AC A C A A π
=
∠=.
（1）若,E F 分别为11,C B AC 的中点, 求证：EF 平面11ABB A ； （2）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2． 【解析】
试题解析：（1）取11A C 的中点G ,连接,FG EG ,在111A B C ∆中，EG 为中位线,11GE
A B ∴．
GE ⊄平面1111,ABB A A B ⊂平面11,ABB A GE ∴平面11ABB A ,
同理可得GF 平面11ABB A ,又GF
GE G =,所以平面GEF 平面11ABB A ．
EF ⊂平面,GEF EF ∴平面11ABB A .
（2）连接1AC ,在11AAC ∆中,11111,4
C A A AC π
∠=
=
， 所以由余弦定理得2
2
2
2
11111111112cos AC AA AC AA AC AAC AA =+-⨯∠=，
1111,AA AC A AC ∴=∆是等腰直角三角形，∴11AC AA ⊥ ,
又因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，平面11AAC C
平面1111,ABB AA A C A =∴⊥平面11ABB A ．
AB ⊂平面11ABB A ,1AC AB ∴⊥,又因为侧面11ABB A 为正方形，1AA AB ∴⊥，
分别以11,,AB A AC A 所在直线作为x 轴, y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
令21x =,则221,3y z ==,故()1,1,3n =为平面1CB D 的一个法向量,
所以cos ,2m n m n m n <>=
==
⨯⨯,
所以平面111A B C 与平面1CB D .
考点：1、线面平行的判定定理；2、二面角；3、空间向量的应用．
【知识点睛】①设两条异面直线,a b 的方向向量为,a b ，其夹角为θ，则||
cos |cos |||||
a b a b ϕθ==
（其中ϕ为异面直线,a b 所成的角）；②设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为
ϕ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有||
sin |cos |||||
n e n e ϕθ==
；③12,n n 分别是二面角l αβ--的两个半平
面,αβ的法向量，则二面角的大小12,n n θ=<>或（12,n n πθ-=<>）．
20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>,圆()(2
2
22Q x y -+-=的圆心Q 在椭
圆C 上，点(P 到椭圆C .
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ,且1l 交椭圆C 于,A B 两点, 直线2l 交圆Q 于,C D 两点, 且
M 为CD 的中点, 求MAB ∆的面积的取值范围.
【答案】（1）22
184x y +=；（2
）4⎤⎥⎦
．
【解析】
试题解析：（1）因为椭圆C 的右焦点(
),0,||2F c PF c =
∴=．
(
)
2,3在椭圆C 上,2
242
1a b
∴
+=． 由2
2
4a b -=得2
2
8,4,a b ==所以椭圆C 的方程为22
184
x y +=. （2）由题意可得1l 的斜率不为零, 当1l 垂直x 轴时,MAB ∆的面积为1
4242
⨯⨯=, 当1l 不垂直x 轴时, 设直线1l
的方程为：y kx =+ 则直线2l
的方程为：()()11221
,,,y x A x y B x y k
=-
+．
由22
184x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
消去y 得(
)22
1240k x ++-=,
所以12122
412x x x x k -+==+,
则
12|||AB x x =-=
考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、点到直线的距离．
【方法点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单，另外三角形面积公式的选用也是解答的关键．
21.（本小题满分12分）已知函数()()01x
f x a x a a =->≠且在()0,+∞上有两个零点12,x x 且12x x <.
（1）求实数a 的取值范围； （2）当0λ>时, 若不等式12
1ln a x x λ
λ+>
+恒成立，求实数λ的取值范围.
【答案】（1）11e
a e <<；（2）01λ<≤． 【解析】
试题分析：（1）首先将问题转化为ln ln x a x =
在()0,+∞上有两个解，令()ln x
F x x
=，然后通过求导研究函数()F x 的单调性，由此作出函数()y F x =的大致图象，从而求得实数a 的取值范围；（2）首先将问题转化为()()1212121ln
x x x x x x λλ+-<+恒成立，令()12,0,1x t t x =∈，由此令()()()11ln 1
t h t t t λλ+-=-
+，然后通过求导研究函数()h x 的单调性，从而求得λ的取值范围．
（2）由1122ln ln ,ln ln x x a x x a ==作差得，()1122
ln ln x
x x a x =-, 即1212ln
ln x x a x x =-,所以原式等价于
1
21212ln
1x x x x x x λ
λ+>
-+,因为120x x <<,所以()()1212121ln x x x x x x λλ+-<+恒成立． 令()1
2
,0,1x t t x =
∈,则不等式()()11ln 1t t t λλ+-<+在()
0,1t ∈上恒成立. 令,又()()()()()()
2
222
1111'11t t h t t t t t λλλλ--+=-=++， 当01λ<≤时, 即2
10t λ-<时,()'0h t >, 所以()h t 在()0,1t ∈上单调递增,
又()()10,0h h t =<在()0,1t ∈恒成立, 符合题意. 当1λ>时,210,
t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 时,()21'0,,1h t t λ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭ 时()'0h t <,所以 ()h t 在210,t λ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
上单调递增, 在21,1t λ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
上单调递减, 又()10h =,所以 ()h t 在()0,1t ∈上不能恒小于0,不符合题意, 舍去.
综上所述, 若不等式12
1ln a x x λ
λ+>
+恒成立, 只需01λ<≤.
考点：1、函数零点；2、函数图象；3、不等式恒成立问题；4、利用导数研究函数的单调性．
【方法点睛】（1）讨论函数的单调性时，主要是判断导函数()f x '的符号，而判断符号有时难于直接判断，此时可考虑构造新函数，再利用导数研究其单调性来判断其符号；（2）处理不等式恒成立，本题是通过构造新函数，通过求此新函数的最值来解决．
请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图,
O 是ABC ∆的外接圆,BAC ∠ 的平分线AD 交BC 于D ,交O 于E ,连接CO 并延长, 交
AE 于G ,交AB 于F
.
（1）证明：
AF FG CD
AB GC BD
=
； （2）若3,2,1,AB AC BD ===求AD 的长. 【答案】（1）见解析；（2
）
AD =． 【解析】
试题解析：（1）如图, 过D 作DM AB 交AC 于M , 连接BE ，
所以
,BD AM
BAD ADM DC MC
=∠=∠， 又因为,,BAD CAD CAD ADM AM MD ∠=∠∴∠=∠∴=,
,,MD CM AB MD AM AB BD
AB AC AC CM CM AC DC
∴
===∴=, 同理可得
,AF FG AF FG CD
AC GC AB GC BD
=∴=.
考点：1、圆的基本性质；2、相似三角形的判定与性质；3、相交弦定理． 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中, 直线l 的方程是6y =,圆C 的参数方程是cos (1sin x y ϕ
ϕϕ=⎧⎨=+⎩
为参数), 以原点O 为
极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）分别求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）射线:OM θα= (其中0)2
πα<<
与圆C 交于,O P 两点, 与直线l 交于点M ,射线
:2
ON π
θα=+
与圆C 交于,O Q 两点, 与直线l 交于点N ,求
OP
OQ
OM ON
的最大值.
【答案】（1）直线l 的极坐标方程为sin ρθ=6，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=；（2）1
36
． 【解析】
试题分析：（1）首先化圆的参数方程为普通方程，然后根据2
2
cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+可求得直线l 和圆C 的极坐标方程；（2）首先写出点,P M 的极坐标，由此得到||,||OP OM ，从而求得||||
||||
OP OQ OM ON ⋅
，进而利用三角函数的最值求解即可．
试题解析：（1）直线l 的极坐标方程为sin ρθ=6．
圆C 的普通方程为()2
2
11x y +-=,所以圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=.
考点：1、直角坐标与极坐标的互化；2、直线与圆的位置关系；3、三角形函数的性质． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()12f x x a x a
=++-
. （1）当1a =时, 解不等式()3f x x <+； （2）当0a >时, 证明：(
)f x ≥.
【答案】（1）33,42⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；
（2）见解析． 【解析】
试题分析：（1）首先利用零点分段法将函数()f x 写成分段函数的形式，然后再分段求得各段不等式的解集，最后取它们的并集即可；（2）首先利用零点分段法将函数()f x 写成分段函数的形式，然后分1
x a
>
、2a x <-、1
2a x a
-≤≤求得函数()f x 的最小值，从而使问题得证．
试题解析：（1）当1a =时,()13,2
12112,123,1
x x f x x x x x x x ⎧
-<-⎪⎪⎪=++-=+-≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩
, 由()3f x x <+,得12
33x x x ⎧
<-
⎪⎨⎪-<+⎩或 1
1
223
x x x ⎧-≤≤⎪⎨
⎪+<+⎩或133x x x >⎧⎨<+⎩,解得3142x -<<-或112x -≤≤或312x <<, 所以()3f x x <+的解集为33,42⎛⎫
-
⎪⎝⎭
.
考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式的证明．。