深圳菁华中英文实验中学必修一第二单元《函数》检测(包含答案解析)

一、选择题
1．已知函数()32f x x =-，2()2g x x x =-，(),()()
()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩
，则（ ）
A ．()F x 的最大值为3，最小值为1
B ．()F x 的最大值为2
C ．()F x 的最大值为7-，无最小值
D ．()F x 的最大值为3，最小值为-1
2．函数()(3)()f x x ax b =--为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则(2)0f x ->的解集为（ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|5x x >或1}x <- C ．{|04}x x << D ．{|4x x >或0}x <
3．函数()()1
ln 24
f x x x =-+-的定义域是（ ） A ．[)2,4
B ．()2,+∞
C ．()()2,44,⋃+∞
D ．[)
()2,44,+∞
4．对于每个实数x ，设()f x 取24y x =-+，41y x =+，2y x =+三个函数值中的最小值，则()f x （ ） A ．无最大值，无最小值 B ．有最大值8
3
，最小值1 C ．有最大值3，无最小值
D ．有最大值
8
3
，无最小值 5．若函数y =f (x )的定义域为[]1,2，则y =f (12
log x )的定义域为（ ）
A ．[]1,4
B ．[]4,16
C ．[]1,2
D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
6．已知函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有()21
213x
f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣
⎦成立，则()2020f 的值是（ ） A ．202021-
B ．202021+
C ．2020202021
21+-
D ．202020202121
-+
7．已知函数()()2
20f x x mx m =-+>满足：①[]
()0,2,9x f x ∀∈≤；②[]
()000,2,9x f x ∃∈=，则m 的值为（ ） A ．1或3
B ．3或
134
C ．3
D ．
134
8．已知函数log ,0(),0
a x
x x f x a x >⎧=⎨≤⎩（0a >，且1a ≠），则((1))f f -=（ ） A ．1 B ．0 C ．-1 D ．a
9．已知函数()f x 是奇函数，()f x 在(0,)+∞上是减函数，且在区间[,](0)a b a b <<上的
值域为[3,4]-，则在区间[,]b a --上（ ） A ．有最大值4 B ．有最小值-4
C ．有最大值-3
D ．有最小值-3
10．函数2log x
y x x
=
的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．
11．已知函数f x （）满足当4x ≥时，f x （）=12x
⎛⎫ ⎪⎝⎭；当4x <时，1f x f x =+（）（），则22log 3f +（）=
A ．
1
24 B ．
112
C ．18
D ．38
12．已知函数()11
3sin 22
f x x x ⎛⎫=+-
+ ⎪⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（ ） A ．2018 B ．2019 C ．4036
D ．4038
二、填空题
13．设集合A 是集合*
N 的子集，对于*
i N ∈，定义()1,,0,i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩
给出下列三个结
论：
①存在*N 的两个不同子集A ，B ，使得任意*i N ∈都满足()0i A
B ϕ=且
()1A B ⋃=；
②任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意*i N ∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋃=+； ③设{
}*
2,A x x n n N
==∈，{}*
42,B x x n n N ==-=，对任意*
i N
∈，都有
()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=
其中正确结论的序号为______.
14．已知集合{1,A B ==2，3}，f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有______种.
15．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________. 16．如图，是某个函数的图象，则该函数的解析式y =__________；
17．若函数()f x 满足()()1f x f x =-，()()13f x f x +=--当且仅当(]1,3x ∈时，
()3log f x x =，则()57f =______．
18．若函数21
1
x y x -=
-的值域是()[),03,-∞+∞，则此函数的定义域是____.
19．函数的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数，例如，函数()21f x x =+()R x ∈是单函数，下列命题： ①函数4()f x x =()R x ∈是单函数；
②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；
③若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈，在A 中至多有一个数与它对应； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 在其定义域上一定是单函数． 期中正确命题的序号是___________．
20．已知函数2262()2x ax x f x a x x
⎧-+⎪
=⎨>⎪⎩，≤，，是R 上的减函数，则a 的取值范围为
______．
三、解答题
21．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-.
（1）求函数()f x 的解析式，并作出函数的大致的简图；(作图要求：①列表描点；②先用铅笔作出图象，再用黑色签字笔将图象描黑)； （2）根据图象写出函数单调区间；
（3）若不等式()21f x m -≥在[1,3]x ∈-上有解，求m 的取值范围.
22．已知二次函数()2
f x x bx c =++的图象经过点()1,13，且函数12y f x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
是偶函
数.
（1）求()f x 的解析式；
（2）已知2t <，()()2
13g x f x x x ⎡⎤=--⋅⎣⎦，求函数()g x 在区间[],2t 上的最大值和
最小值； 23．定义在11,22⎛⎫-
⎪⎝⎭上的函数()f x 满足：对任意的11,,22x y ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
都有()()()
1()()f x f y f x y f x f y ，且当1
02
x <<时，()0f x >．
（1）判断()f x 在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上的单调性并证明；
（2）求实数t 的取值集合，使得关于x 的不等式1()02f t x f x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
上恒成立．
24．已知函数()y f x =的定义域为D ，如果存在区间[]
,a b D ⊆，使得
[]{}[]|(),,,=∈=y y f x x a b a b ，则称区间
,a b 为函数()y f x =的一个和谐区间．
（1）直接写出函数3
()f x x =的所有和谐区间；
（2）若区间[]0,m 是函数3
()22
=
-f x x 的一个和谐区间，求实数m 的值； （3）若函数2
()2()=-+∈f x x x m m R 存在和谐区间，求实数m 的取值范围．
25．定义在[]1,1-上的奇函数()f x ，当10x -≤<时，23
()6
x x x
f x +=. （1）求()f x 在[]1,1-上的解析式;
（2）求()f x 的值域; （3）若实数a 满足1
(
)()0a f f a a
-+<，求实数a 的取值范围. 26．已知定义在()1,1-上的奇函数2
()1ax b
f x x +=+，且1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）证明：()f x 在0,1上是增函数； （3）解不等式()2
(120)f t f t -+<.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】
在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，如图
然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值． 由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值， 所以由232||2x x x -=-得27x =+或27x =-．
结合函数图象可知当27x =-时，函数()F x 有最大值727-，无最小值． 故选：C ．
【点睛】
关键点睛：本题主要考查了函数的图象，以及利用函数求最值，解答本题的关键是在同一坐标系中画出()f x 与()g x 的图象，根据图象得出函数的最值，由232||2x x x -=-得
27x =+或27x =-.
2．B
解析：B 【分析】
根据函数是偶函数，求出a ，b 关系，结合单调性确定a 的符号即可得到结论． 【详解】
2()(3)()(3)3f x x ax b ax a b x b =--=-++为偶函数， 所以22()(3)3(3)3f x ax a b x b ax a b x b -=+++-=++ 30a b ∴+=，即3b a =-，
则2()(3)(3)(3)(3)9f x x ax a a x x ax a =-+=-+=-， 在(0,)+∞上单调递增，0a ∴>，
则由(2)(1)(5)0f x a x x -=--->，得(1)(5)0x x +->， 解得1x <-或5x >，
故不等式的解集为{|1x x <-或5}x >． 故选：B 【点睛】
思路点睛：解答本题只要按部就班化简转化函数为偶函数和单调性即可得解.由函数的奇偶性得到3b a =-，由函数的单调性得到0a >.
3．C
解析：C 【分析】
先根据函数的解析式建立不等式组，再解不等式组求定义域即可. 【详解】
解：因为函数的解析式：()()1ln 24
f x x x =-+
- 所以2040x x ->⎧⎨-≠⎩，解得24x x >⎧⎨≠⎩
故函数的定义域为：()(2,4)4,+∞
故选：C 【点睛】
数学常见基本初等函数定义域是解题关键.
4．D
解析：D 【分析】
作出函数()f x 的图象，结合图象可得出结论. 【详解】
由已知可得(){}min 24,41,2f x x x x =-+++，作出函数()f x 的图象如下图所示：
函数()f x 的图象如上图中的实线部分，联立224y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得23
83x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
由图象可知，函数()f x 有最大值8
3
，无最小值. 故选：D. 【点睛】
关键点点睛：本题考查函数最值的求解，解题的关键就是结合函数()f x 的定义，进而作出函数()f x 的图象，利用图象得出结论.
5．D
解析：D 【分析】
根据复合含定义域的求法，令12
1log 2x ≤≤，求函数的定义域.
【详解】
函数()y f x =的定义域为[]1,2，
1
2log y f x ⎛
⎫
∴= ⎪⎝⎭
的定义域，令12
1log 2x ≤≤，
解得：11
42x ≤≤ ，即函数的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
故选：D
【点睛】
方法点睛：一般复合函数的定义域包含以下几点：
已知函数()y f x =的定义域为D ，求()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域，即令()g x D ∈，求x 的取值范围，就是函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域；
已知()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为D ，求函数()y f x =的定义域，即求函数()g x ，x D ∈ 的值域.
6．D
解析：D 【分析】
采用换元法可构造方程()21
213
t
f t t =-=+，进而求得()f x 解析式，代入2020x =即可得到结果. 【详解】
由()f x 是R 上的单调函数，可设()221x f x t +=+，则()1
3
f t =恒成立， 由()221x f x t +
=+得：()221x f x t =-+，()21
213
t f t t ∴=-=+，解得：1t =， ()22112121x x x
f x -∴=-=++，()2020202021
202021
f -∴=+. 故选：D . 【点睛】
本题考查函数值的求解问题，解题关键是能够采用换元的方式，利用抽象函数关系式求解得到函数的解析式.
7．D
解析：D 【分析】
依题意可得()f x 在[]0,2上的最大值为9，求出函数的对称轴，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于m 的方程，解出即可． 【详解】
解：因为函数()()2
20f x x mx m =-+>满足：①[]
()0,2,9x f x ∀∈≤；
②[]()000,2,9x f x ∃∈=，即函数()()2
20f x x mx m =-+>在[]0,2上的最大值为9，
因为222()2()f x x mx x m m =-+=--+，对称轴是x m =，开口向下， 当02m <<时，()f x 在[0，)m 递增，在(m ，2]递减， 故2()()9max f x f m m ===，解得：3m =，不合题意，
2m 时，()f x 在[0，2]递增，
故()()2449max f x f m ==-=，解得：13
4
m =，符合题意， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题．
8．C
解析：C 【分析】
根据分段函数的解析式，代入求值即可. 【详解】
因为log ,0(),0a x
x x f x a x >⎧=⎨≤⎩
， 所以1
1
(1)f a
a --==
， 所以1
1((1))()log 1a f f f a a
--===-，
故选：C 【点睛】
本题主要考查了利用分段函数的解析式，求函数值，涉及指数函数与对数函数的运算，属于中档题.
9．B
解析：B 【分析】
根据奇函数的性质,分析()f x 在对称的区间上单调性相同,即可找出最大值与最小值. 【详解】
∵()f x 是奇函数,在(0,)+∞上是减函数,
∴()f x 在(,0)-∞上也是减函数,即在区间[,](0)a b a b <<上递减. 又∵()f x 在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-, ∴()()4,3,f a f b ==-
根据奇函数的性质可知()()4,3,f a f b -=--=且在区间[,]b a --上单调递减, ∴()f x 在区间[,]b a --上有最大值3,有最小值-4. 故选：B. 【点睛】
本题考查了奇函数的单调性和值域特点,如果性质记不熟,可以将大致图像画出.本题属于中等题.
10．D
解析：D 【解析】
()222log ,0log log ,0
x x x y x x x x >⎧=
=⎨--<⎩，所以当0x >时，函数22log log x y x x x ==为增函数，当0x <时，函数()22log log x
y x x x
=
=--也为增函数，故选D. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +
-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
11．A
解析：A 【分析】
根据232log 34<+<，()()22
2log 33log 3f f +=+可得，又有23log 34+> 知，符合4?
x >时的解析式，代入即得结果. 【详解】
因为函数f x （）满足当4x ≥时，f x （
）=12x
⎛⎫ ⎪⎝⎭
； 当4x <时，1f x f x =+（）（），
所()()()()22222log 3log 121log 12log 24f f f f +==+=以=2
1
log 24
2
=
1
24
，故选A ． 【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式、对数的运算法则，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
12．A
解析：A 【分析】
根据函数解析式可验证出()()12f x f x +-=，采用倒序相加法可求得结果. 【详解】
()11
113sin 22f x x x ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭，()()12f x f x ∴+-=，
令122018201920192019S f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
=+
+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭， 则201712019201922018019S f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
， 两式相加得：222018S =⨯，2018S ∴=.
【点睛】
本题考查倒序相加法求和的问题，解题关键是能够根据函数解析式确定()()1f x f x +-为常数.
二、填空题
13．①③【分析】根据题目中给的新定义对于或可逐一对命题进行判断举实例证明存在性命题是真命题举反例可证明全称命题是假命题【详解】∵对于定义∴对于①例如集合是正奇数集合是正偶数集合①正确；对于②例如：当时；
解析：①③ 【分析】
根据题目中给的新定义，对于()*,0i i N A ϕ∈=或1，可逐一对命题进行判断，举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题． 【详解】
∵对于*i ∈N ，定义1,()0,i i A
A i A
ϕ∈⎧=⎨
∉⎩，
∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*A
B A B N ∴=∅=，
()()01i i A B A B ϕϕ∴==;，①正确；
对于②， 例如：{}{}{}1232341234A B A
B ===,,,,,,,,,，当2i =时，
()1i A B ϕ⋃=；()()1,1i i A B ϕϕ==；()()()i i i A B A B ϕϕϕ∴≠+； ②错误；
对于③， {
}*
2,A x x n n N ==∈，{}*
42,B x x n n N ==-=，明显地，,A B 均为偶数
集，A B ∴≠∅，()1i A
B ϕ=，若i 为偶数，则()i A B ∈，则i A ∈且i B ∈；
()()1i i A B ϕϕ∴⋅=，则有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=；若i 为奇数，此时，
()0i A B ϕ=，则i A ∉且i B ∉，()()0,0i i A B ϕϕ==，()()()
i i i A B A B ϕϕϕ⋂=∴也成立；③正确
∴所有正确结论的序号是：①③； 故答案为：①③ 【点睛】
关键点睛：解题关键在于对题目中新定义的理解和应用，结合特殊值法和反证法进行证明，难度属于中档题.
14．7【分析】根据函数的定义来研究由于函数是一对一或者多对一的对应且在B 中的元素可能没有原像故可以按函数对应的方式分类讨论可分为一对一二对一三对一三类进行讨论得答案【详解】由函数的定义知此函数可以分为三
【分析】
根据函数的定义来研究，由于函数是一对一或者多对一的对应，且在B 中的元素可能没有原像，故可以按函数对应的方式分类讨论.可分为一对一，二对一，三对一三类进行讨论得答案． 【详解】
由函数的定义知，此函数可以分为三类来进行研究：
若函数的是三对一的对应，则值域为{}1、{}2、{}3三种情况； 若函数是二对一的对应，{}1,2、{}2,3、{}1,3三种情况； 若函数是一对一的对应，则值域为{1,2，3}共一种情况． 综上知，函数的值域的不同情况有7种． 故答案为7． 【点睛】
本题考查函数的概念，函数的定义，考查数学的基本思想方法，是中档题．
15．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于
解析：－8 【解析】
∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a ＝－8.
点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．
16．【分析】根据分段函数图象用待定系数法求解即可【详解】当时设函数为当时解得；当时设函数为当时时解得所以故答案为：【点睛】本题考查利用函数图象求解析式考查待定系数法是基础题
解析：2,0139
,132
2x x y x x ≤<⎧⎪
=⎨-+≤≤⎪⎩ 【分析】
根据分段函数图象，用待定系数法求解即可. 【详解】
当01x ≤<时，设函数为y kx =，当1x =时2y =，解得2k =； 当13x ≤≤时，设函数为y ax b =+，
当1x =时3y =，3x =时0y =，解得32a =-
，92
b =. 所以2,01
39
,132
2x x y x x ≤<⎧⎪
=⎨-+≤≤⎪⎩. 故答案为：2,01
39
,132
2x x y x x ≤<⎧⎪
=⎨-+≤≤⎪⎩ 【点睛】
本题考查利用函数图象求解析式，考查待定系数法，是基础题.
17．2【分析】根据函数满足的关系可得是以6最小正周期的周期函数根据代入解析式即可【详解】根据已知条件进而有于是显然则是以6最小正周期的周期函数∵当时则故答案为：2【点睛】本题以抽象函数为载体研究抽象函数
解析：2 【分析】
根据函数满足的关系可得()f x 是以6最小正周期的周期函数，根据()()573f f =代入解析式即可. 【详解】
根据已知条件()()
()()113f x f x f x f x ⎧=-⎪⎨+=--⎪⎩
，
进而有()()()()()1133f x f x f x f x f x =-=+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦---=-+， 于是()()3+=-f x f x ，
显然()()()()()6333f x f x f x f x f x +=++=-⎡⎤⎡⎤+=--⎦⎦=⎣⎣， 则()f x 是以6最小正周期的周期函数， ∵当(]1,3x ∈时(
)f x x =，则()()(
)57693332f f f =⨯+===．
故答案为：2. 【点睛】
本题以抽象函数为载体，研究抽象函数的结构特征，且挖掘暗含条件，巧妙地对复合函数的连续变形，体现了数学抽象，数学化归等关键能力与学科素，属于中档题.
18．【分析】先计算当和时的值然后分析原函数的图象性质根据函数的图象性质判断定义域【详解】令得令得函数则原函数在上单调递减在上递减画出函数的图象如图所示：由函数的图象可知当值域为时定义域应为故答案为：【点
解析：(]1,11,22⎛⎫
⋃ ⎪⎝⎭
【分析】
先计算当0y =和3y =时x 的值，然后分析原函数的图象性质，根据函数的图象性质判断定义域． 【详解】 令2101x y x -=
=-得1
2x =，令2131
x y x -==-得2x =，
函数212211
2111
x x y x x x --+=
==+---，则原函数在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上递减，画出函数21
1
x y x -=-的图象如图所示：
由函数21
1
x y x -=
-的图象可知，当值域为()[),03,-∞+∞时，定义域应为
(]1,11,22⎛⎫
⋃ ⎪⎝⎭
． 故答案为：(]1,11,22⎛⎫
⋃ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
解答本题时，要先根据函数值域的端点求出自变量的值，然后通过原函数的图象及性质分析自变量的取值情况，其中将原函数解析式化为1
21
y x =+-，结合反比例函数的图象性质分析21
1
x y x -=
-的性质是关键． 19．②③【分析】结合单函数的定义对四个命题逐个分析可选出答案【详解】命题①：对于函数设则由与可能相等也可能互为相反数即不是单函数故①错误；命题②：假设因为函数为单函数所以与已知矛盾故即命题②正确；命题③
解析：②③ 【分析】
结合单函数的定义，对四个命题逐个分析，可选出答案.
【详解】
命题①：对于函数4
()f x x =()R x ∈，设()4400f x x a ==，则0x a =±，由a 与a -可
能相等，也可能互为相反数，即4()f x x =不是单函数，故①错误；
命题②：假设12()()f x f x =，因为函数()f x 为单函数，所以12x x =，与已知12x x ≠矛盾，故12()()f x f x ≠，即命题②正确；
命题③：若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈，()b f a =，假设不只有一个原象与其对应，设为12,,
a a ，则()()12f a f a ==
，根据单函数定义，可得12a a ==
，
又因为原象中元素不重复，故函数:f A B →至多有一个原象，即命题③正确； 命题④：函数()f x 在某区间上具有单调性，并不意味着在整个定义域上具有单调性，则可能存在不同的12,x x ，使得12()()f x f x =，不符合单函数的定义，故命题④错误. 综上可知，真命题为②③. 故答案为②③． 【点睛】
关键点点睛：本题考查新定义函数，解题关键是根据新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
20．2【分析】由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求【详解】解；是上的减函数解可得故答案为：【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用二次函数及反比例函数性质的应用是求解问题的关键
解析：[2，209
] 【分析】
由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求． 【详解】 解；
226,2(),2x ax x f x a x x
⎧-+⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，
∴20446
2a a a a ⎧⎪⎪
>⎨⎪⎪-+⎩
， 解可得，2029
a
． 故答案为：202,9⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题主要考查了分段函数的单调性的应用，二次函数及反比例函数性质的应用是求解问题的关键，属于中档题．
三、解答题
21．（1）222,0
()2,0
x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，简图答案见解析；（2）单调增区间为(,1)-∞-和
(1,)+∞，单调减区间为[]1,1-；（3）1m .
【分析】
（1）设0x <，则0x ->，利用()f x f x =--（
）即可求出0x <时，()f x 的解析式，进而可得函数()f x 的解析式，按步骤列表描点连线即可作出函数图象； （2）根据图象上升和下降趋势即可得单调区间；
（3）将原问题转化为max 21m f x ≤-（），利用单调性求出()f x 在区间[1,3]-上的最大值
即可求解. 【详解】
（1）设0x <，则0x ->，
因为f x （）是奇函数
所以()()()2
222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦
（） 所以222,0
2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩
（
） ， 列表如下：
x … 3- 2-
1-
0 1 2 3 … y
…
3-
1
1-
3
…
（2）由图知：函数f x （）的单调增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调减区间为[]1,1-
（3）不等式21f x m -≥（
）在1[]3x ∈-，上有解， 等价于在21m f x ≤-（）在1[]3x ∈-，有解.可得max 21m f x ≤-（）， 由（2）可知f x （）在[11-，）上单调递减，在[1]3，
上单调递增， 因为()()()2
11211f -=---⨯-=，()2
33233f =-⨯=
所以()max 3f x =，
所以2312m ≤-=，所以1m 【点睛】
方法点睛：求不等式有解问题常用分离参数法
若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或
()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()min g x λ≥或()()max g x x D λ≤∈，求()g x 的最
值即可.
22．（1）()2
11f x x x =++；（2）见详解.
【分析】
（1）根据二次函数过点()1,13，得到12b c +=，根据函数奇偶性，得到()y f x =关于直线1
2
x =-对称，求出b ，得出c ，即可得出函数解析式；
（2）先由（1）得到()222,0
2,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，分别讨论12t ≤<，01t ≤<，
10t ≤<，1t <四种情况，结合二次函数的性质，即可求出最值.
【详解】
（1）因为二次函数()2
f x x bx c =++的图象经过点()1,13，
所以131b c =++，即12b c +=①； 又函数12y f x ⎛⎫=-
⎪⎝⎭是偶函数，所以12y f x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭关于y 轴对称，
因此()y f x =关于直线1
2
x =-对称；
所以1
22
b -
=-，即1b =，代入①式可得11c =， 所以()2
11f x x x =++； （2）由（1）()2
11f x x x =++，
所以()()()22
2
22,0111322,0
x x x g x x x x x x x x x x ⎧-≥=++--⋅=-⋅=⎨-+<⎩，
因为()11g =-，当0x <时，由221x x -+=-解得1x =
因为[],2x t ∈，所以当12t ≤<时，()2
2g x x x =-在[],2t 上单调递增；
所以()()max 20g x g ==，()()2
min 2g x g t t t ==-；
当01t ≤<时，()2
2g x x x =-在(),1t 上单调递减，在()1,2上单调递增；
所以()()max 20g x g ==，()()min 11g x g ==-；
当10t <时，因为0x <时，()2
2g x x x =-+在[),0t 上单调递增，
则(()()()1100g g t g x g -=≤≤<=； []
0,2x ∈时，()2
2g x x x =-在()0,1上
单调递增，在()1,2上单调递增，所以()()()[]1,21,0g x g g ∈=-⎡⎤⎣⎦， 所以()()max 20g x g ==，()()min 11g x g ==-；
当1t <时，因为0x <时，()2
2g x x x =-+在[),0t 上单调递增，所以
(
)(()()1100g t g g x g <-=-≤<<；[]0,2x ∈时，()[]221,0g x x x =-∈-，
所以()()max 20g x g ==，()()2
min 2g x g t t t ==-+；
综上，函数()g x 在区间[],2t 上的最大值()()max 20g x g ==，最小值为
(
)2min
22,11,112,12t t t g x t t t t ⎧-+<⎪⎪
=--≤<⎨⎪-≤<⎪⎩
. 【点睛】 方法点睛：
二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：（1）轴定区间定；（2）轴动区间定；（3）轴定区间动；不论哪种类型，解题时，都是讨论对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论. 23．（1）单调递增；证明见解析；（2）14⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
. 【分析】
（1）首先判断()00f =，再令y x =-，判断函数的奇偶性，再设任意
1210,2x x ⎛⎫
>∈ ⎪⎝⎭
，利用已知条件列式
()()()()()()()
()()
121212121211f x f x f x f x f x x f x f x f x f x +---=
=-⋅-+⋅，判断符号，证明函数的单调性；
（2）不等式转化为1()()2f t x f x f x ⎛⎫->-=- ⎪⎝⎭
，再利用函数的单调性，去掉“f ”后，求t 的取值范围. 【详解】
解：（1）令0x y ==，则22(0)
(0)1(0)
f f f =-，得(0)0f =，
再令y x =-，则()()
(0)01()()
f x f x f f x f x +-=
=-⋅-，
∴()()0f x f x +-=，∴()f x 为奇函数， 对任意1210,
2x x ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭
， 令1x x =，2y x =-， 则()()()()()()()
()()
121212121211f x f x f x f x f x x f x f x f x f x +---==-⋅-+⋅，
∵当1
02
x <<
时，()0f x >， ∴()120f x x ->，()()1210f x f x +>， 从而()()120f x f x ->， ∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上的单调递增. （2）∵()f x 为奇函数，∴1()()2f t x f x f x ⎛⎫
-
>-=- ⎪⎝⎭
， ∵()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上的单调递增，且(0)0f =， ∴()f x 在11,22⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增，由题意得： 111222t x -<-<及12t x x ->-在11,22x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
上恒成立， ∴max min
11112222x t x ⎛⎫⎛⎫-≤≤+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得11
44t -≤≤①； max 12t x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，11,22x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，得14t ≥②，
由①②可知，t 的取值集合是14⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
. 【点睛】
关键点点睛：本题考查抽象函数证明单调性和奇偶性，以及不等式恒成立求参数的取值范围，一般抽象函数证明单调性和奇偶性时，采用赋值法，利用定义证明，本题不等式恒成立求参数，采用参变分离的方法，转化为求函数的最值. 24．（1）
1.0，0,1，[]1,1-；（2）4m =或2；（3）904
≤<
m .
【分析】
（1）本题可令3x x =，解得0x =或±1，然后根据函数()3
f x x =的单调性以及“和谐区
间”定义即可得出结果；
（2）本题首先可将函数转化为()3
42,23
34
2,23x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨
⎪-+<⎪⎩，然后令322x x -=，解得4
5
x =
或4，最后绘出函数图像，结合函数图像即可得出结果； （3）讨论1a b <≤或1a b ≤<或1a b <<，根据二次函数的性质确定函数的单调区间，再由单调性求出函数的值域，根据题干，函数的新定义即可求解. 【详解】
解：（1）函数()3
f x x =是增函数，定义域为R ，
令3x x =，解得0x =或±1，
故函数()3
f x x =的所有“和谐区间”为[]1,0-、0,1、[]1,1-.
（2）因为()3
22
f x x =
-， 所以()3
42,23
342,2
3x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，
因为[]()0,0m m >为函数()3
22
f x x =-的一个“和谐区间”， 所以可令
322x x -=，解得4
5
x =或4， 如图所示，绘出函数图像：
结合“和谐区间”的定义易知，当4x =时满足题意，
因为()02f =，所以当2m =时，()min max 2,()0f x f x ==，满足题意， 故m 的值为4或2.
（3）①当1a b <≤时，()f x 在,a b 上时单调递减函数，由题意有()()f a b
f b a
=⎧⎨
=⎩，
22
22a a m b b b m a
⎧-+=⎨-+=⎩得1a b +=，因为1a b <≤，所以11
0,122≤<<≤a b ， 且221-+=-a a m a ,即210-+-=a a m ，解得1541
2
+-=≥m a 舍去， 或154122-=
<m a ，15412
-=-=
m
b a . 由2
1
1(0)2
=-++≤<m a a a ， 得514m ≤<
，所以当5
14m ≤<时，和谐区间为15415422⎡--⎢⎣⎦
m m ． ②1a b ≤<时，()f x 在,a b 上时单调递增函数， 由题意有()()f a a
f b b
=⎧⎨
=⎩，所以,a b 是方程22-+=x x m x 的两个不等实根．
因为3a b +=，又1a b ≤<，得2b ≤，因而有3
122
≤<<≤a b ， 故方程2
()30=-+=g x x x m 在31,
2⎡⎫⎪⎢⎣⎭和3,22⎛⎤
⎥⎝⎦
内各有一个实根， 即3943022-≤
<m 且33942
22
+-<≤m
， 解得924≤<m ，
故当9
24≤<
m
时，和谐区间为⎣⎦
． ③当1a b <<时，min ()(1)11==-=<f x f m a ，得2m < 当
12
a b
+≤时，即2a b +≤，则max ()()==f x f a b ，得22-+=a a m b ， 又1a m =-，得2331=-+>b m m ，得 2m >或1m <， 又由2222+=-+≤a b m m 及2m <，
解得01m ≤<，此时和谐区间为2
1,33⎡⎤--+⎣⎦m m m ． 当
12
+≥a b
时，即2a b +≥，则max ()()==f x f b b ，得22-+=b b m b ，
解得=
b .
若=b 则由2m <
知12+=-+<a b m ,舍去；
若32=
b
，3122
+=-+≥a b m ，解得904≤≤m ，
又2m <，所以02m ≤<
，此时和谐区间为⎡-⎢⎣
⎦
m ， 综上，所求范围是9
04
≤<m . 【点睛】
关键点点睛：本题考查函数新定义，能否结合题意明确函数新定义的含义是解决本题的关键，在解决函数类的问题时，合理利用函数图像可以给解题带来很大帮助，考查数形结合思想，是中档题.
25．（1）23,106()0,0(23),01x x
x
x x x f x x x ⎧+-≤<⎪⎪⎪
==⎨⎪-+<≤⎪⎪⎩；（2） [)
{}(]5,202,5--；（3
）
1,12⎛⎤
⎥ ⎝⎦
. 【分析】
（1）利用函数为奇函数有()()f x f x -=-求(0,1]x ∈上的解析式，且(0)0f =即可得()f x 的解析式；
（2）根据（1）所得解析式及对应定义域即可求其值域；
（3）讨论10a -≤<、01a <<、1a =时不等式成立，结合()f x 的区间单调性即可求得
a 的取值范围.
【详解】
（1）由题意，令(0,1]x ∈，则[1,0)x -∈-，即23()236
x x
x x x
f x ---+-==+， 又∵()()f x f x -=-，有(0,1]x ∈时，()(23)x x f x =-+，
∴23,106()0,0(23),01x x
x
x x x f x x x ⎧+-≤<⎪⎪⎪
==⎨⎪-+<≤⎪⎪⎩
.
（2）由（1）解析式知：()f x 在[1,0)-和(0,1]上递减，对应值域分别为(2,5]、
[5,2)--，
则有：()f x 的值域[){}(]5,202,5--.
（3）1
(
)()0a f f a a -+<，即1()(1)f a f a
<-，有[1,0)(0,1]a ∈-， ∴当10a -≤<时，11a a >-
，解得a <
或a >，无解； 当01a <<时，11a a >
-
，解得a <
a >
1a <<； 当1a =时，1
()(1)5(1)(0)0f a f f f a
==-<-==成立； ∴
综上有1
,1]2
a ∈. 【点睛】
关键点点睛：首先利用函数奇偶性求函数解析式，并依据所得解析式和定义域求值域，再由函数不等式，结合区间单调性，在区间[1,0)(0,1]-⋃上讨论参数使不等式成立，求参数范围.
26．（1）2()1
x f x x =+；（2）证明见解析；（3）
1
02t <<. 【分析】
（1）由题意可得(0)0f =，可求出b 的值，再由12
25
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求出a 的值，从而可求出函数()f x 的解析式；
（2）利用增函数的定义证明即可；
（3）由于函数是奇函数，所以()2
(120)f t f t -+<可化为()2
()12f t t f <-，再利用单
调性可求解不等式
【详解】
（1）解：因为()f x 是()1,1-上的奇函数，所以(0)0f =，即
01
b
=，得0b =， 因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以
1221514
a
=+，解得1a =， 所以2()1
x
f x x =+
（2）证明：1x ∀，2(0,1)x ∈，且12x x <，
则()()()()()()
122112
122222
121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， 因为1
201x x ，所以2212211210,0,(1)(1)0x x x x x x -<->++>，
所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x < 所以()f x 在(0,1)上是增函数.
（3）解：因为()f x 在(0,1)上是增函数，且()f x 是()1,1-上的奇函数， 所以()f x 是(1,1)-上的奇函数且是增函数， 所以()2
(120)f t f t -+<可化为()2
()12f t t f <-，
所以2
2111
12121t t t t
-<-<⎧⎪-<<⎨⎪<-⎩
，解得102t <<.
【点睛】
关键点点睛：此题函数的奇偶性和单调性的应用，第（3）问解题的关键是利用奇函数的性质将不等式()2
(120)f t f t -+<转化为()2
()12f t t f <-，进而利用单调性解不等式，
考查转化思想和计算能力，属于中档题。