高考数学第一轮复习用书空间中的垂直关系文

第54课 空间中的垂直关系
1．（2012东城二模）给出下列命题：
① 如果不同直线m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不相交； ② 如果不同直线m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定平行； ③ 如果平面βα、互相平行，若直线m α⊂，直线n β⊂，则m //n ； ④ 如果平面βα、互相垂直，且直线m 、n 也互相垂直，若α⊥m 则β⊥n ． 则真命题的个数是（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】C
【解析】只有②为真命题．
2．（2012汕头二模）设l 、m 是不同的两条直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A ．若,⊥⊥l ααβ，则//l β
B ．若//,⊥l ααβ，则//l β
C ．若,//,⊥⊂l m m αββ，则⊥l α
D ．若,//,⊥⊂l m ααββ，则⊥l m 【答案】D
【解析】∵,l α⊥//αβ，∴l β⊥，∵m β⊂，∴l m ⊥．
3．（2012湖南高考）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC BD ⊥． （1）证明：BD PC ⊥；
（2）若4AD =，2BC =，直线PD 与平面PAC 所成的角为30o
，求四棱锥P ABCD -的体积．
国^教*~育出#版%【解析】（1）∵PA ⊥平面ABCD ，
BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥． 又AC BD ⊥，PA AC A =I ， ∴BD ⊥平面PAC ，
∵PC ⊂平面PAC ，∴BD PC ⊥．
（2）设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，
由（1）知，BD ⊥平面PAC ，
∴DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，
∴DPO ∠30=o
．
由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，知BD PO ⊥． 在Rt POD V
中，由DPO ∠30=o
，得2PD OD =． ∵四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥， ∴
,AOD BOC V V 均为等腰直角三角形，
从而梯形ABCD 的高为
111
(42)3,222AD BC +=⨯+= 于是梯形ABCD 面积1
(42)39.2
S =⨯+⨯=
在等腰三角形AOD
中，2
OD AD ==
∴2 4.PD OD PA ===
=
故四棱锥P ABCD -的体积为
11
941233
V S PA =⨯⨯=⨯⨯=．
P
A
C
D
P
A
C
D
O
4．（2012广东高考）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，
PD AD =，E 是PB 中点，F 是DC 上的点，且1
2
DF AB =
，PH 为PAD ∆中AD 边上的高．
（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；
∴QE ∥DF 且QE DF =，
∴四边形EQDF 是平行四边形，∴EF ∥QD ． ∵AB ⊥平面PAD ，∴AB QD ⊥， 又∵PD AD =，∴QD PA ⊥
C
∵AB PA A =I P ，∴QD ⊥平面PAB ∵EF ∥QD ，∴EF ⊥平面PAB .
5．（2012江苏高考）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．
【证明】（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，
∴1CC ⊥平面ABC ．
又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥． 又∵AD DE ⊥,1CC DE E =I ， ∴AD ⊥平面11BCC B ． 又∵AD ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面11BCC B ．
（2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥． 又∵1CC ⊥平面111A B C ，1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥． 又∵1111CC B C C =I ，∴1A F ⊥平面111A B C ． 由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD ． 又∵AD ⊂平面1, ADE A F ⊄平面ADE ，
∴直线1//A F 平面ADE ．
D
E
F
A
B
C
A 1
B 1
C 1
6．（2012广州一模）如图所示，在三棱锥ABC P -
中，AB BC ==⊥PAC 平
面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =，3CD =，2=PD ．
（1）求三棱锥ABC P -的体积； （2）证明PBC ∆为直角三角形． 【解析】（1）证明：∵平面⊥PAC 平面ABC ，
平面PAC I 平面ABC AC =，
PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，
∴PD ⊥平面ABC ．
记AC 边上的中点为E ，如图：
在ABC ∆中，AB BC =，∴AC BE ⊥．
∵AB BC ==4=AC ，
∴BE ===
∴1
2
ABC S AC BE ∆=
⨯⨯= ∵2=PD ，∴三棱锥ABC P -的体积
1
3
P ABC ABC V S PD -∆=⨯
⨯1233=⨯=
． （2）连接BD ，在Rt BDE ∆中，
∵90BED ∠=o
，BE =
，1DE =，
∴BD =
==．
在△BCD 中，3CD =
，BC =
BD =，
∴2
2
2
BC BD CD +=，∴BC BD ⊥． 由（1）知PD ⊥平面ABC ，
∵BC ⊂平面ABC ，∴BC PD ⊥．
B
P A C
D B
P
A D E
∵BD PD D =I ， ∴BC ⊥平面PBD ． ∵PB ⊂平面PBD ，∴BC PB ⊥．
∴PBC ∆为直角三角形．。