高三数学复习讲义——等差数列和等比数列的综合

芯衣州星海市涌泉学校等差数列和等比数列
的综合(1)
根本练习
1等差数列{}n a 中，2
56,15a a ==假设2n n b a =，那么数列{}n b 的前5项的和为〔C
A30B45C60D186
2在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，。

，18的18名火炬手。

取假设从中任选3人，那么选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为〔B 〕A 151B 168C 1306D 1
408
3等差数列{}n a 中，410a =，且3610,,a a a 成等比数列，那么数列的前20项的和为___200或者者___330
4
()31x f x x =
+，数列{}n a 满足11
3
a =，1()n n a f a +=，那么n a =_______ 5正偶数排列如下表,其中第i 行第j 个数表示
ij a (i ∈N*，j ∈N*)例如3210a =，假设2010ij a =，
那么=+
j i ____________．60
6数列}{n a 的前n 项和n S 满足3
n
S n
=，那么
___________132009
2=-∑=n n
a 2008
2009 例1在数列
{}n a 中*))(12(...32321N n n n na a a a n
∈+=++++.
...............
12
10
20
181614
846
2
(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列
⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n n na 2的前n 项和n T . 例2数列
{}121,2,n n
a a a a ==满足(Ⅰ)求
34,,
a a 并求数列
{}
n a 的通项公式； (Ⅱ)设
21
122,n n n n
a b S b b a -=
=++证明：当162.n n S n
≥-<时，
解(Ⅰ)因为2
2
1
23111,2,(1cos )sin 12,2
2
a a a a a π
π
===++=+=所以 一般地，当*21(N )n k k =-∈时，222121(21)21[1cos ]sin 22
k k k k a a ππ+---=++
＝211k a -+，即2121 1.k k a a +--=
所以数列{}21k a -是首项为1、公差为1的等差数列，因此21.k a k -=
当*2(N )n
k k =∈时，2
22222(1cos )2.2
k k k k a a a π
+=+= 所以数列
{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.k k a =
故数列{}n a 的通项公式为*
2*21,21(N ,2
2,2(N .
n n n k k a n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，212,2
n n
n n a n
b a -=
=
23123,2222n n n
S =
++++① 2241112322222
n n n S +=++++② ①-②得，23111111.222222
n n n n
S +=++++-
所以112
22.222n n n n
n n S -+=--=-
要证明当6n ≥时，12n S n -<成立，只需证明当6n ≥时，(2)
12
n
n n +<成立. 证法一
(1)当n=6时，66(62)48312644
⨯+==<成立.
(2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立，即(2)
1.2k
k k +<
那么当n=k+1时，
1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)
1.222(2)(2)2k k k k k k k k k k k k k k
++++++++=⨯<<++
由(1)、(2)所述，当n≥6时，2(1)12n n +<，即当n≥6时，1
2.n
S n
-< 证法二
令(2)
(6)2n n
n n c n +=≥，那么21121(1)(3)(2)30.222n n n n n n n n n c c ++++++--=
-=< 所以当6n ≥时，1
n n c c +<.因此当6n ≥时，6683
1.644
n c c ⨯≤=
=< 于是当6n ≥时，
2
(2)
1.2
n n +< 综上所述，当6n ≥时，1
2.n S n
-<
例3Sn=1+
3121++…+n
1
,(n∈N*)设f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定正数t 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n ，不等式：f(n)＞t －2011t
1
恒成立.
解：∵Sn=1+3121++…+n
1
.(n∈N*)
∴f(n+1)＞f(n)∴f(n)是关于n 的增函数∴f(n)min=f(2)=20
9321221=+++ ∴要使一切大于1的自然数n ，不等式f(n)＞t －2011t
1
恒成立
只要209＞t －2011t 1成立即可于是⎪⎩⎪⎨⎧>->0
2011209
t t 解得0＜t ＜1
同步练习
〔〕1等差数列{}n a 中，3
9||||a a =公差d<0，那么使前n 项和n S 取最大值的正整数n 的值是〔B 〕
A4或者者5B5或者者6C6或者者7D8或者者9
〔〕2设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，5283()S a a =+,那么
5
3
a a 的值是〔D 〕
A ．
16B ．13C ．35D ．56
〔〕3公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n n S 为{a }的前n 项和，那么
32
53
S S S S --的
值是〔A 〕A ．2 B ．3 C ．
15
D ．不存在
〔〕4等差数列{}n a 中，0n a ≠，23711220a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，那么68b b =
〔D 〕
A2B4C8D16
〔〕5数列{}n a 的通项公式2
1
log 2
n n a n +=+，设其前n 项和n S ，那么使n S <-5成立的自然数n 〔A 〕 A 有最小值63B 有最大值63C 有最小值32D 有最大值32 〔〕6设直线
nx+(n+1)y =
n S ，那么122008...S S S +++的值是〔D 〕
A 20052006
B 20072006
C 20082007D
2009
2008
7
观
察
以
下
等
式
：
231111222⨯=-⨯，22
31411
112223232⨯+⨯=-
⨯⨯⨯，233
3141511112223234242
⨯+⨯+⨯=-⨯⨯⨯⨯，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈*
N ，23141
21
122232
(1)2
n n n n +⨯+⨯++
⨯=⨯⨯+.
【答案】()1
112n
n -
+⋅
8有n 个小球，将它们任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，再将其中一堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，如此下去，每次都任选一堆，将这堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘
积，直到不能再分为止，那么所有乘积的和为_______.
()
12
n n - 9实数数列{an}中，21162
1,32,n n n
a a a a a ++===，把数列{an}的各项排成如以下列图的三角形形状，计
A(m,n)为第m 行从左起第n 个数，那么 〔1〕A 〔12，5〕=______125
2
______
〔2〕假设A(m,n)⨯A(n,m)=50
2，那么m+n=_____11__
10数列{an}满足1331(2)n
n
n a a n -=+-≥，其中4365a =假设存在一个实数λ，使得{
}3
n n a λ
+为等差数列，那么__λ=-0.5 11数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*
N n ∈，有,,n n n a S 成等差数列． 〔Ⅰ〕记数列*1(N )n
n b a n =+∈，求证：数列{}n b 是等比数列．
〔Ⅱ〕数列
{}n a 的前n 项和为n T ，求满足
221117227
n n T n T n ++<<++的所有n 的值． 〔
Ⅰ
〕
证
明
：
n
a S n n -=2，
)1(211+-=++n a S n n 12122111+=⇒--=⇒+++n n n n n a a a a a ，
11122
211
n n n n n n b a a b a a ++++===++ 又由11112 1 1S a a a ==-⇒=
所以数列
{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列〔Ⅱ〕解：12n n n b a =+=，21n n a =-
1
2
2n n T n +=--，221
11172227
n
n
n T n T n ++⎛⎫<=< ⎪++⎝⎭所以n 的值是3，4 12.设12,,
,,
n C C C 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，
且都与直线
y x =
相切，对每一个正整数n ,圆n C 都与圆1n C +互相外切，以n r 表示n C 的半径，{}n r
为递增数列.
(Ⅰ)证明：{}n r 为等比数列；
〔Ⅱ〕设1
1r =，求数列{}n
n
r 的前n 项和.
13函数f(x)对任意x R ∈都有1()(1)2f x f x +-=
，〔1〕求1()2
f 的值 〔
2
〕
假
设
数
列
{an}
满
足
121
(0)()()...()(1)n n a f f f f f n n n
-=+++++，求n a
〔3〕设441
n
n b a =
-，1n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项的和n T
〔1〕
1()2f =14〔2〕n a =14〔n+1)〔3〕n T =
161
n
n + 14函数
2012()...n n f x a a x a x a x =++++，且()y f x =的图像过点2(1,)n ，且数列{an}为等差数列，
〔1〕求数列{an}的通项公式；〔2〕当n 为奇数时，设1
()[()()]2
g x f x f x =--是否存在自然数m 和M ，使得不等式1
()2
m g M <
<恒成立？假设存在，求M-m 的最小值，假设不存在，说明理由。

〔1〕n a =2n-1(2)M-m 的最小值为2。