【精品高二数学试卷】江西省南昌市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题+答案

理科数学试卷
一、单选题(每小题5 分，共60分)。

1．
131i
i
+=-（ ） A ．24i --
B ．24i -+
C ．12i -+
D ．12i --
2．命题“2,x x R e x ∀∈>”的否定是( ) A ．2,x x R e x ∀∈≤ B ．0
200,x x R e
x ∃∈>
C ．0
200,x x R e
x ∃∈≤
D ．2,x x R e x ∀∈<
3．“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()2
2
212x y -++=”相切的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．直线与曲线
围成的封闭图形的面积为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5．观察下列各式：若112213a b a b ==＋，＋，334447a b a b ==＋，＋，5511a b =⋯＋，，则77a b ＋等
于( ) A ．18
B ．29
C ．47
D ．15
6．已知点()3,4A ，F 是抛物线28y x =的焦点，M 是抛物线上的动点，当MA MF +最小时，M 点坐标是( ) A ．()0,0
B ．()
3,26
C ．()2,4
D ．()
3,26-
7．已知椭圆2215x y m +=的离心率10
5
e =
，则m 的值为（ ） A ．3 B ．3或
25
3
C ．15
D ．15或
5
153
8．已知函数()x x a
f x e
+=的图像在点(1,(1))f 处的切线与直线20x ey -+=平行，则a = A ．1
B ．e -
C ．e
D ．-1
9．函数()2
f x x alnx =- ()a R ∈不存在极值点，则a 的取值范围是 （ ）
A ．(),0-∞
B ．()0,+∞
C ．[)0,+∞
D ．(]
,0-∞ 10．已知函数()f x 满足()()f x f x '<，在下列不等关系中，一定成立的（ ）
A ．()()12ef f <
B ．()()12ef f >
C ．()()21ef f >
D ．()()21ef f <
11．设1F 、2F 分别为双曲线22
21x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一
点．若
2
12
PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线离心率e 的取值范围是（ ）．
A ．(0,2)
B ．(1,3]
C ．[2,3)
D ．[]3,+∞
12．已知函数()ln a f x x x x =
+，32
()5g x x x =-++，若对任意的121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，都有
12()()0f x g x -≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(],24ln 2-∞-
B ．(],1-∞
C ．1124ln 2,
ln 224⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦ D ．11,
ln 224⎛
⎤-∞+ ⎥⎝⎦
二、填空题（每小题5分，共20分）。

13．函数()f x =2ln x x -单调递减区间是_______． 14．
(
)
120
12x x dx -+=⎰ __________．
15．已知椭圆22
194
x y +=，直线2180x y ++=，则椭圆上点到这条直线的最短距离是
______________． 16．已知函数()x
x
f x e =
，给出下列结论： ①(1,)()f x +∞是的单调递减区间；
②当1(,)k e
∈-∞时，直线y=k 与y=f （x ）的图象有两个不同交点；
③函数y=f （x ）的图象与21y x =+的图象没有公共点； ④当(0,)x ∈+∞时，函数1
()()
y f x f x =+的最小值为2． 其中正确结论的序号是_________
三、解答题（17题10分，其它每题12分，共70分）。

17．（1）．已知复数z 满足(1)25z i z i -+=--，求z ． （2）若,,x y z 均为实数，且2
222,2,22
3
6
x a b y b c z c a π
π
π
=-+
=-+
=-+
，求证：,,x y z 中至
少有一个大于0.
18．设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x ＞0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－相切。

(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f(x)在
上的最大值。

19.．已知命题()21,,1x p x m x ∀∈+∞≥-：恒成立；命题q ：方程22
122
x y m m +=-+表示双曲线．
()1若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；
()2若命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围．
20．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θ
θ=⎧⎨=+⎩
(θ为参数)，以坐标原点为极
点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 的极坐标方程；
(2)若直线12,l l 的极坐标方程分别为()6
R π
θρ=∈，()2=
3
R π
θρ∈，设直线12,l l 与曲线C 的交点为O ，M ，N ，求OMN V 的面积.
21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2
2
，且与抛物线2y x =交于M ，N 两点，
OMN ∆ （O 为坐标原点）的面积为22．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点）1F ，2F 为左、右焦点，2AF 的延长线与椭圆交于
B 点，AO 的延长线与椭圆交于
C 点，求ABC ∆面积的最大值．
22．已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈． （1）讨论()f x 的单调性并指出相应单调区间； （2）若21())1(2
g x x x x f ---=
，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若3
2a ≥，且
()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围．
理科数学参考答案
1．C 2．C. 3．B 4．D 5．B 6．C 7．B 8．D 9．D 10．A
令()()x f x g x e
=，则()()()()()2x x x x
f x e f x e f x f x
g x e e ''--'== 0x e >Q ，()()f x f x '< ()0g x '∴> ()g x ∴在R 上单调递增
()()12g g ∴<，即
()()
212f f e e
< ()()12ef f ∴<本题正确选项：A 11．B 由定义知：
12122,2PF PF a PF a PF -=∴=+()
2
2
2
2
122
2
2
2448a PF PF a a PF a PF PF PF +∴
=
=++≥ 当且仅当
2
22
4a PF PF =，设22PF a =时取得等号，2 2PF c a c a a Q ≥-∴-≤ 即3c a ≤ 3e ≤又双曲线的离心率1e >,](1,3e ∴∈故答案选B
12．A 详解：根据题意，对任意的12122x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，，
，都有()()120f x g x -≤ 即()()12f x g x ≤()()max min f x g x ≤，恒成立
()232g x x x '=-+，在122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，内先增后减()122
g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭
，故()1min g x = 则() 1
f x ≤，1a
xlnx x
+≤解得2a x x lnx ≤- 令()2
h x x x lnx =-，则()12h x xlnx x -'=- ()23h x lnx ''=-- 在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
内，()0h x ''<，()h x '递减，()10h '=，故()h x 递减 ()2242h ln =-242a ln ∴≤-，则实数a 的取值范围是(]242ln -∞-， 故选A
13．（0，2） 14．14
π
+ 15．
135
5
16．①③ 解：①f ′（x ）1x x
e
-=
，令f ′（x ）＜0，解得：x ＞1， ∴函数f （x ）在（1，+∞）递减，故①正确；
②∵f （x ）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减， ∴f （x ）max ＝f （1）1e
=
， x →﹣∞时，f （x ）→﹣∞，x →+∞时，f （x ）→0， 画出函数f （x ）的图象，如图示： ，
∴当k ∈（﹣∞，0）时，直线y ＝k 与y ＝f （x ）的图象有1个不同交点，
当k ∈（0，
1
e ）时，直线y ＝k 与y ＝
f （x ）的图象有两个不同交点，故②错误； ③函数f （x ）1
e
≤，而y ＝x 2+1≥1，
∴函数y ＝f （x ）的图象与y ＝x 2+1的图象没有公共点，故③正确；
④当()0,x ∈+∞时，令t=()1
0f x e ⎛⎤
∈ ⎥⎦
⎝，， ()()11y f x t f x t =+
=+在10e ⎛⎤ ⎥⎦
⎝，上单调递减， ∴()()11
y f x e f x e
=+
≥+，最小值不等于2，故④错误. 故答案为：①③． 17.（2）证明：反证法，假设0x ≤，0y …，0z ….由题设知：
222222236x y z a b b c c a πππ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫++=-++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
()()()
2222121213a a b b c c π=-++-++-++- 222(1)(1)(1)(3)a b c π=-+-+-+-
因为2
(1)0a -…
， 2
(1)0b -…，2
(1)0c -…，30π->， 则0x y z ++>，由假设知0x y z ++≤，与0x y z ++>不符， 所以,,x y z 中至少有一个大于零.得证.
(1)解：设z a bi =+（a 、b R ∈），则z a bi =-
由题意得()()()125a bi i a bi i +-+-=-- 即()()35a b a b i i +-+=--
35,1a b a b +=-⎧⎨+=⎩ 解得3
4
a b =-⎧⎨
=⎩ 即34z i =-+，()
2
2345z =-+=
18．(1)f ′(x )＝－2bx ，
∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－相切，
∴ 解得
(2)由(1)知，f (x )＝ln x －x 2，f ′(x )＝－x ＝，
当≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得≤x <1， 令f ′(x )<0，得1<x ≤e ，
∴f (x )在[，1)上是增加的，在(1，e]上是减少的， ∴f (x )max ＝f (1)＝－
20.（1）()()
()22111f x 12
111
x x x x x x -+===-++---，∵()1,x ∈+∞，∴()11241x x -++≥-，故命题p 为真命题时，4m ≤．
（2）若命题q 为真命题，则()()220m m -+<，所以22m -<<， 因为命题""p q ∨为真命题，则,p q 至少有一个真命题，""p q ∧为假命题， 则,p q 至少有一个假命题，所以,p q 一个为真命题，一个为假命题. 当命题p 为真命题，命题q 为假命题时，4
22
m m m ≤⎧⎨
≤-≥⎩或，则2m ≤-，或24m ≤≤；
当命题p 为假命题，命题q 为真命题时，4
22
m m >⎧⎨
-<<⎩， 舍去．综上，2m ≤-，或24m ≤≤.
21．（1）由参数方程222
x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩，得普通方程()2
224x y -+=，
所以极坐标方程2222
40cos sin sin ρθρθρθ+-=，即4sin ρθ=.
（2）直线()1π:R 6l θρ=
∈与曲线C 的交点为,O M ，得426M
OM sin π
ρ===， 又直线()22π:R 3l θρ=∈与曲线C 的交点为,O N ，得24233
N ON sin π
ρ===，
且2
MON π
∠=，所以11
2232322
OMN S OM ON ∆=
=⨯⨯=. 22．
（1）椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>与抛物线2y x =交于M ，N 两点，
可设(,)M x x ，(,)N x x -， ∵OMN ∆的面积为22，
∴22x x =，解得2x =，∴(2,2)M ，(2,2)N -，
由已知得22222224
21c a
a b a b c ⎧=⎪
⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得22a =，2b =，2c =，
∴椭圆C 的方程为22
184
x y +=.
（2）①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取(2,2)A ，(2,2)B -，(2,2)C --，故
1
224422
ABC ∆=⨯⨯=；
②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，
联立方程22(2)18
4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()
2222
218880k x k x k +-+-=，
则(
)(
)(
)
2
2
2
2
64421883210k k k k ∆=-+-=+>，
2122
821k x x k +=+，2122
8821
k x x k -⋅=+， ()(
)2
2
1
2
12||14AB k x x x x ⎡⎤=
+⋅+-⋅⎣⎦()2222
22888142121k k k k k ⎡⎤⎛⎫-=+⋅-⋅⎢⎥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦
22
1
4221
k k +=⋅+，
点O 到直线20kx y k --=的距离2
2
|2|2||1
1
k k d k k -=
=
++，
因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为24||21
k d k =
+，
∴1
||22ABC
S AB d ∆=⋅222114||422211k k k k ⎛⎫+=⋅⋅⋅ ⎪++⎝⎭()()
222218221k k k +=⋅+ ∵
()
()
()()22222
2
2
2211211k k k k k
k k ++=
⎡⎤
+++⎣⎦()
()
222211
4
41k k k k +=
+…
，又221k k ≠+，所以等号不成立. ∴()
()
222
2
1824221ABC k k S k
∆+=⋅
<+，
综上，ABC ∆面积的最大值为42.
23．解：（1）由()ln 1f x ax x =--，(0,)x ∈+∞， 则11
()ax f x a x x
'
-=-
=， 当0a ≤时，则()0f x '
≤，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；
当0a >时，令1()0f x x a
'
=⇒=
， 所以()f x 在10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在1,a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递增． 综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增． （2）∵2
1()ln (1)2
g x x x a x =+
-+， 21(1)1
()(1)x a x g x x a x x
-++'=+-+=
, 由()0g x '=得2
(1)10x a x -++=，
∴121x x a +=+，121=x x ，∴21
1x x =
∵32a ≥∴11
1115210x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪
<<⎪⎩
解得1102x <≤.
∴()()()()22
2112121211221111ln
(1)2ln 22x g x g x x x a x x x x x x ⎛⎫-=+--+-=-- ⎪⎝⎭
. 设22111()2ln 022h x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-
-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， 则()
2
23
3
1
21()0x h x x x x
x
'--=--=<,
∴()h x 在10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
上单调递减；
当112x =
时，min 115
()2ln 228
h x h ⎛⎫==
- ⎪⎝⎭. ∴152ln 28k ≤
-，即所求k 的取值范围为15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
.。