第五章线性微分方程组

第五章：线性微分方程组
本章教学目的和要求：
使学生掌握线性微分方程组解的结构。

要求学生熟练掌握求解常系数线性问粉方程组。

熟练掌握常数变易法。

本章重点：
解的性质与结构，常系数方程组的解法，常数变易法。

本章难点：
向量函数组的线性相关性，一般理论中的定理证明。

本章课时安排：
讲16学时，习题及总结测验2学时
第五章：线性微分方程组
说明：
本章所讨论的线性微分方程组仅限与一阶微分方程，从讲义的开头所说的，方程组不仅能在实际中应用广泛，而且她对高阶方程的求解具有不可忽视的作用。

不仅如此，方程组的有关定理在近代微分方程理论中也占有重要地位。

本章内容：
一．一阶微分线性方程组及其解的概念；初值问题解的存在和唯一性定理。

二.线性方程组及其解的一般理论/包括解的线线性相关性，基本解组
和解的结构定理。

三.方程组的具体解法。

§5.1 存在唯一性定理
5.1.1 记号和定义
①引言：在第二章我们研究了含有一个未知函数的微分方程的解法以及它们的性质。

但是，在很多实际问题与理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知数函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质。

如空间运动质点P 的速度与t 以及坐标(,,)x y z 的关系式为：
11
223
2(,,,)(,,,)(,,,)x y z v f t x y z x f v f t x y z y f z f v f t x y z ⎧==⎧⎪⎪
=⇒=⎨⎨⎪⎪
==⎩⎩ 又如： 22sin d dt l θθθ=-令 sin d dt
d dt
l θ
ωωθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化成一阶微分方程组。

用类似
的方法，如果在 n 阶微分方程 ()(1)(,,...,)n n y x y y y -'=中，令
(1)
121.,,...,n n y y y y y y --'''=== 它就可以化成方程组 1
212
(1)121()(1),........(,,...,)n n n n n n y y y y y y y y y y
y x y y y -----⎧'=⎪
'''==⎪⎪
⎨⎪'==⎪⎪'=⎩
共同点：出现的未知函数的导数都是一阶的 它 们都是一阶微分方程组。

②定义： 含有n 个未知数 的一阶微分方程组的一般形式：
1
112221212(,,,...)(,,,...)
......(,,,...)
n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx
dy f x y y y dx
⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪
⎪=⎪⎩
③解的定义： 一组函数12(),(),...()n y x y x y x 使得在[],a b 上有恒等式
12()
(,(),(),...())
i i n dy x f x y x y x y x dx
=( 1.2...)i n = 含有n 个任意常数, 12,,...,n c c c 的解 1112221212(,,,...,)(,,,...,)......(,,,...,)n n
n n n y x c c c y x c c c y x c c c ϕϕϕ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ (2) 称为（1） 的通解;如
果通解满足方程组11212212121212(,,,...,,,...,)(,,,...,,,...,)......(,,,...,,,...,)n n n n
n n n x y y y c c c o x y y y c c c o x y y y c c c o
φφφ=⎧⎪=⎪⎨
⎪⎪=⎩ (3) 则称（3）为（1） 的通积分。

④满足初始条件的解 称为初值问题的 通解。

研究12,,...,n c c c 特解。

⑤为了简洁方便经常采用向量与短矩阵来研究一阶微分方程组（1），
令n 维向量函数1()():()n y x y x y x ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ 111(,,...,)(,).....................(,,...,)n n n f x y y F x y f x y y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
并定义1:n dy dx dy dx dy dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 0001()():
()x x x x x n x f x dx F x f x dx ⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 则（1）可记成向量形式(,)dy
F x y dx
= （4） 初始条件可记成00
()y x y = 其中0010:n y y y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 初值问题可记为：
00
(,)
()dy
F x y dx
y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 这样从形式上看 ，方程组就与一阶微分方程式完全一样了。

⑥ i 定义Y 的范数，1
n
i i y y ==∑
ii 性质略 . iii 按范数收敛概念 ⑦解存在于唯一性定理
⑧第3章Th3.1于是也得到了证明。

5.1.2 存在唯一性定理
①定义：若（4.4）中12(,(),(),...())(1,2)i n f x y x y x y x i n =关于1,...,n y y 是线性的， 即写成
1
111122111122()()...()()....()()...()()n n n n n nn n n dy a x y a x y a x y f x dx dy
a x y a x y a x y f x dx
⎧=++++⎪⎪⎨⎪⎪=++++⎩ （1）
我们称（1）为线性微分方程组 n 阶方程可化成线性方程。

②介绍某些概念：以后总假定()ij a x (, 1.2...)i j n =及()i f x ( 1...)i n =在某个区间I ：[],a b 上连续，而不再每次都加说明。

<i> 为方便写成向量的形式 1111()...()()::()...()n n nn a x a x A x a x a x ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
及向量 1()():()n f x F x f x ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
()()dY A x Y F x dx
⇒=+ 满足初始条件仍记为00()Y x Y = 其中0010:n y Y y ⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
<ii> 若在I 上()0i f x ≡即 ()0F x = ()dY
A x Y dx
⇒
= （2）我们把（2）称为线性齐次方程组。

若在I 上()F x 不为零向量，则称非线性齐次方程
组。

〈iii 〉解的存在与唯一性定理
定理：如果()A x 及()F x 在I: [],a b 上连续则对[],a b 上任一0x 以及任意给定的0y ，方程组（1）满足初始条件的解在[],a b 上存在且唯一。

§5.2 线性线性方程组的一般理论
5.2.1 齐次线性微分方程组 1°线性齐次方程组的通解结构
定理4.2： 如果: 11121212221212()()()()()(),,()()()m m m n n nm y x y x y x y x y x y x Y Y Y y x y x y x ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
是方程组
()dx
A x y dy
=（1）的 m 个解，则 1122...m m Y c Y c Y c Y =+++ （2）
也是（1）的解，其中12,....m c c c 是任意常数。

换言之，线性齐次方程组（1）的任何有限个解的线性组合仍为（1）的解。

若有（1）的n 个解12(),(),...()n
Y X Y X Y X ，那么在什么条件下，含有
n 个任意常数12,....n c c c 的解。

1122...n n Y c Y c Y c Y =+++才是齐次方程组（1）的通解呢？为了说明这一问题，我们先给出向量函数线性相关的概念。

2° <i> 定义4.1:设:12(),(),...()m Y X Y X Y X (3)是m 个定义在区间I 上的n 维向量函数。

如果存在m 个不全为零的常数12,....m c c c ，使得
1122...m m c Y c Y c Y ++=0 在区间I 上恒成立，则称这m 个向量在区间 I 上
线性相关。

否则，称在区间I 上线性无关。

两个特殊的情况:
<i>如果两个向量函数1y 与2y 的对应分量成比例,即有等式：
111211222()()()
...()()()
n nn y x y x y x k y x y x y x === x I ∈则它们在区间I 上线性相关。

〈ii>如果向量组（3）中有一零向量0()000i y x ⎡⎤
⎢⎥=≡⎢⎥⎢⎥⎣⎦
x I ∈ 则（3）在I 上线性相关。

例1.向量函数 3313()x x x e y x e e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，6626()2x x x e y x e e ⎡⎤
⎢⎥
=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
在R 上线性无关。

例2. 211()01x y x e -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， 220()11x y x e -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
在R 上线性无关 3°下面介绍n 个n 维向量函数组12(),(),.....()n Y X Y X Y X （4） 在其定义区间I 上线性相关与线性无关的判别准则。

〈i 〉我们称这些列向量所组成的行列式
111212122212()()...()()()...()()............()
()...()
n n n n nn y x y x y x y x y x y x W x y x y x y x =
为向量组（4）的朗斯基行列式。

〈ii 〉判定定理
Th4.3：如果向量组（4）在其区间I 上线性相关，则它的朗斯基行列
式()W x 在I 上恒为零。

Th4.4：如果 12(),(),...()n Y x Y x Y x 是方程组（1）的n 个线性无关解，则
它的朗斯基行列式()0()W x x I ≠∈
推论4.1：如果向量组（4）的朗斯基行列式()W x 在区间I
上的某一点0x 处不等于零，0()0w x ≠，则向量组（4）在I 上就线性无关。

推论4.2：若0()0W x =⇒n 个解必线性相关。

推论4.3：方程组（1）的n 个解在其定义区间I 上线性无关的充要
条件是它的朗斯基行列式()W x 在I 上的任一点处不为零。

4°①定义基本解组。

(1)的n 个线性无关解称为方程组的基本解组。

例：易知11()1()1
t x t e y t -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ， 222()1()2t
x t e y t ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是方程组
2x y
y x y ==+ 的基本解组。

②定理4.5：齐次方程组(1)必存在基本解组。

③满足初始条件的基本解组称为方程组（1）的标准的基本解组。

5°通解
定理4.6：如果 12(),(),()n Y x Y x Y x 是齐次方程组(1)的基本解组，则其
线性组合1122()()()n n c Y x c Y x c Y x ++
+是方程组(1)的通解。

推论4.4: 线性齐次方程组(1)的线性无关解的个数不能多于n 个。

由此可见，齐次方程组(1)的解的全体构成一个n 维线性空间。

6°解与系数关系
Th4.7：如果12(),(),()n Y x Y x Y x 是齐次方程组(1)的n 个解，则这n 个
解的朗斯基行列式与方程组(1)的系数有如下关系式:
011220(()()()()()x
nn x a t a t a t dt
w x w x e
++
+⎰= 这个关系式称刘维尔公式。

在代数中常把1
n
kk k a =∑称为方阵A 的迹，记为trA 。

刘维尔公式也可以表示为00()()x
x trAdt
w x w x e ⎰=
作业：133页 2、①③，4 5.2.2非齐次线性微分方程组 研究线性非齐次方程组 ()()dy
A x y F x dx
=+ (1)的通解结构与常数变易法. 1°通解结构
① ()y x (1)的解,而0()y x 是对应齐次方程组的解，则0()()y x y x +是(1)的通解 。

② (1)的任意两个解之差是其对应齐次方程组的解。

③ (1)的通解等于其对应齐次方程组的通解与(1)的一个特解之和。

即：()y x 是一个特解，12(),(),()n y x y x y x 是齐次方程组n 个无关解。

2°拉格朗日常数变易法
① 定义（4.18）的基本解矩阵如下：
1112121
22212()()
()()()()()()
()
()n n n n nn y x y x y x y x y x y x x y x y x y x ⎢⎥⎢⎥⎢⎥Φ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
其每列均为(4.18)的解()i y x (i=0,1,,n)且 12(),(),
()n y x y x y x
为基本解组。

因此， det ()()0x w x Φ=≠
(4.18)的通解可表为 ()().y x x C =Φ其中12n c c
C c ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
②求特解.令 ()()()()()()y x x c x x c x F x '=Φ⇒Φ=0
1()()()x
x C x F d τττ-⇒=Φ⎰
⇒0
1()()()()x
x y x x F d τττ-=ΦΦ⎰
⇒0
1()()()()()x
x y x x C x F d τττ-=Φ+ΦΦ⎰
§5.3常系数线性微分方程组
1°由TH5.6 的常数变易发法知道,为了求线性齐次方程组（4.18）和线性非齐次方程组（4.16）的通解。

只要求方程组（4.18）的一个基本解组就可以了，对于常系数线性齐次方程组
dy
Ay dx
= （1） 其中A 是 n 阶实常数，矩阵（ij a ）原则上可以做到这一点，并且求它的基本解可以归结为代数运算。

2°对
dy
Ay dx
=进行简化，由线性代数知识可知，在非奇异线性变换 Y=TZ （2）
其中T=()(,1,2,...,)det 0ij T i j n T =≠ 将方程组（1）变成
1dz
T ATZ dt
-= （3） 其中 1T AT - 是约当()Jordan 标准型. 而约当标准型1T AT -与短矩阵A 的特征方程。

0A E λ-=的特征跟的情况有关，我们把这个方程也称为方程组（1）的特征方程式。

.3°下面我们讨论特征根情况（两种情形）
(1)矩阵A 的特征根均是单根的情形
1.设特征根为123,,...,n λλλλ ，这时1
100n T AT λλ-⎛⎫ ⎪
=
⎪ ⎪⎝
⎭
方程组
（3） 变为11111::n n m n n dz z a dx dz a z dx λλ⎡⎤
⎢⎥⎡⎤
⎛⎫⎢⎥
⎪⎢⎥=⎢⎥
⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
写成纯量的形式可得方程组 1
11,...n n n dz dz z z dx dx
λλ== (4) 积分方程组得 （3）的解 其中12,,,n c c c 是任意常数. 依次令:
121231211,0
0,1,0
0,1
n n n n c c c c c c c c c c c -==
=========
===
可得（3）的N 个解: 1111000(),
,()01x x n z x e z x e λλ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
把这n 个解代入（2）中，便可得到（1）的n 个解
111111
111111110()0x n x x n n
nn n e y t t t Y x e e T y t t t λλλ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
222(),
,()n x x n n Y x e T Y x e T λλ==
其中1(1,,)i i ni t T i n t ⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
为矩阵T 的第i 列向量
易于看出，1,,n Y Y 构成（1）的基本解组，这是因为它们的朗斯基行
列式()W x 在0x =时为(0)det 0W T =≠
为了求出()(1,2,,)i Y x i n =，只须求出(1,2,,)i T i n =
我们来研究求(1,2,,)i T i n =的方法
1
1n T AT λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以有100n AT T λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
于是根据矩阵的乘法法则即得(1,2,)i i i AT T i n λ== （5）
这表明(1,2,,)i T i n =是矩阵A 的对应于特征根(1,2,,)i i n λ=的特征向量，为了求出i T 的各个分量12,,,n t t t 只须由（5）的对应方程组
11112211122()0()0i i i n ni n i
n i nn i ni a t a t a t a t a t a t λλ-+++=⎧⎪⎨⎪+++-=⎩ （5） 中求出一组解即可。

对于每一个(1,2,,)i i n λ=，求得它所对应的一个特征向量()(1,2,,)i T x i n =。

因为诸(1,2,,)i i n λ=均为单根，由线性代数知，特征向量组{}i T (1,2,,)i n =线性无关。

于是我们就求得了（1）的一个基本解组()(1,2,)i
x i i Y x e T i n λ== 可以看到，前面将A 化为约当标准型，只不过是为了探求（1）的解的形状及求法。

实际解题时，并不需要这样做。

结论1：如果常系数线性其次方程组（1）的系数矩阵A 有n 个互异的特征根12,,,n λλλ而12,,,n T T T 为各根所对应的特征向量，则
121122(),(),,()n x x x n n Y x e T Y x e T Y x e T λλλ===
为（1）的一个基本解组，其中(1,2,,)i T i n =可通过求解方程组（5）而得到。

例：试求方程353dx x y z
dt dy x y z dt
dz x y z dt ⎧=-+⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=-+⎪⎩
的通解
解：它的系数矩阵是 311151113A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
特征方程是 31
1det()15101
13A E λλλ
λ---=---=-- 或 321136360λλλ-+-=
特征根为 1232,3,6λλλ===
12λ= 所对应的解，它应形如 1211t x a y e b z c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
1111()1310111a a A E b b c c λ-⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥-=--= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎝⎭
即 0300a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ ⇒ 0a c b =-= 令 1c =- 101a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩
于是，得到原方程组对应于12λ=的一个特解 22111,0,t t x e y z e ===- 同理可得：333222,,t t t x e y e z e ===
666333,2,t t t x e y e z e ==-=
上述方程组通解为23636123236()()02()t t t t t t t t x t e e e y t c c e c e z t e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(ii)当特征根是复根时，我们通常希望求出方程组的n 个实的线性无关解。

① 定理3.11 如果实系数线性齐次方程组
()dy A x y dx
= 有复值解 ()()()y x U x iV x =+ ，则其实部和虚部
1()()()n u x U x u x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ， 1()()()n v x V x v x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 都是齐次方程组的解。

② 实矩阵A 的复特征根一定共轭成对地出现。

即如果a ib λ=+是特征根，则其共轭复数a ib λ=-也是特征根。

这时，方程组对应于λ的复解的形式是
1111121112()()121211*********(cos sin )cos sin cos sin cos sin cos a ib a ib ax n n n n n n ax ax n n n y r r ir r ir e e e bx i bx y r r ir r ir r bx r bx r bx r bx e ie r bx r bx r bx r ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
-+⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪-+⎝⎭1sin n bx ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
由Th3.11 （2）的实部与虚部也是方程组的解。

（注A 是实的） 于是，a ib ± 所对应的解，可取 a ib λ=+ 所对应的解的实部与虚部，用实部与虚部来代替。

可以证明。

最后得到的n 个解仍组成基本解组。

第五章 线性微分方程组小结
线性微分方程组理论是微分方程理论中非常值得重视的一部分内容，无论从应用的角度或从理论的角度来说，本章所提供的方法和结果都是重要的，它是进一步学习常微分方程理论和其他有关课程的必不可少的基础知识，掌握本章内容必须注意以下几点：
1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，进一步熟悉和掌握逐步逼近法，要熟悉向量与矩阵的表述方法。

2.掌握线性微分方程组的一般理论主要是了解它的所有解的代数结
构问题。

这里中心问题是齐次线性微分方程组的基本解矩阵的概念。

有了基本解矩阵，齐次线性微分方程的任一解可由解矩阵表示，这就是所谓常数变易公式。

3.解矩阵的存在与具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方
程组的基解矩阵是无法通过积分得到的。

但当系数矩阵是常数时，可以通过代数方法求出基解矩阵一般形式。

4.掌握高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系。

懂得将线性方
程组的有关结果推广到高阶线性微分方程上去，从而在一个统一的观点下理解这两部分内容。