2018版高中数学第一章集合与函数概念章末复习课学案

第一章集合与函数概念
章末复习课
网络构建
核心归纳
1．集合的“三性”
正确理解集合元素的三性,即确定性、互异性和无序性．在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参集合问题时应格外注意．
2．集合与集合之间的关系
集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时,已知条件中出现A⊆B时，不要遗漏A＝∅。

3．集合与集合之间的运算
并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合间的关系之间的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
4．函数与映射的概念
（1）已知A，B是两个非空集合，在对应关系f 的作用下，对于A中的任意一个元素x,在B中都有唯一的一个元素与之对应，这个对应叫做从A到B的映射，记作f：A→B。

若f：A→B是从A到B的映射，且B中任一元素在A中有且只有一个元素与之对应，则这样的映射叫做从A到B的一一映射．
(2）函数是一个特殊的映射，其特殊点在于A，B 都为非空数集,函数有三要素：定义域、值域、对应关
系．两个函数只有当定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一函数．
5．函数的单调性
(1）函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小,利用函数的单调性解不等式等相关问题．深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键．
（2）函数单调性的证明
根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明,步骤如下:
①取值：任取x1，x2∈D，且x1<x2，得x2－x1>0;
②作差变形：Δy＝y2－y1＝f(x2）－f（x1）＝…,向有利于判断差的符号的方向变形；
③判断符号：确定Δy的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；
④下结论：根据定义得出结论．
(3）证明函数单调性的等价变形：
①f（x）是单调递增函数⇔任意x1<x2，都有
f(x1)<f(x2)⇔f x1－f x2
x1－x2〉0⇔［f(x1)－f（x2)]·(x1
－x2）>0；
②f（x）是单调递减函数⇔任意x1〈x2,都有f(x1）>f （x2）⇔错误!<0⇔［f(x1）－f(x2)]·(x1－x2）〈0.
6．函数的奇偶性
判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(－x)与f(x）的关系；二是用其图象判断，考察函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断,但必须注意它是函数这一大前提．
要点一集合的基本概念
解决集合的概念问题的两个注意点
（1）研究一个集合，首先要看集合中的代表元素．然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清元素表示的意义是什么．
（2）对于含有字母的集合,在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
【例1】集合M＝｛x｜ax2－3x－2＝0,a∈R｝中只有一个元素，求a的取值范围．
解由题意可知若集合M中只有一个元素,则方
程ax2－3x－2＝0只有一个根,当a＝0时，方程为－3x －2＝0，只有一个根x＝－错误!；当a≠0时，Δ＝(－3）2－4×a×（－2)＝0，得a＝－错误!。

综上所述，a的取值范围是错误!.
【训练1】已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析因为3∈A，则m＋2＝3或2m2＋m＝3,当m＋2＝3，即m＝1时,m＋2＝2m2＋m，不符合题意,故舍去；当2m2＋m＝3,即m＝1或m＝－错误!，m＝1不合题意,若m＝－错误!,m＋2≠2m2＋m,满足题意，故m ＝－错误!。

答案－错误!
要点二集合间的基本关系
两集合间关系的判断
(1）定义法．
①判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集;
②判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若
既有A ⊆B ,又有B ⊆A ，则A ＝B .
（2）数形结合法．
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断,但要注意端点值的取值．
【例2】 已知集合A ＝｛x ｜2x －3≥3x ＋5},B ＝{x ｜x ≤2m －1｝，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________．
解析 解不等式2x －3≥3x ＋5得x ≤－8，即A ＝{x ｜x ≤－8}，因为A ⊆B ，所以2m －1≥－8，解得m ≥－72。

答案 m ≥－错误!
【训练2】 已知集合A ＝｛x |错误!＝错误!，x ∈R }，B ＝{1,m ｝，若A ⊆B ,则m 的值为( )
A ．2
B ．－1
C ．－1或2
D ．2或2
解析 由x ＝错误!，可得错误!解得x ＝2，∴A ＝{2}，又∵B ＝{1，m ｝，A ⊆B ，∴m ＝2.
答案 A
(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2）进行集合的运算时要看集合的组成，并且要对有的集合进行化简．
（3)涉及含字母的集合时，要注意该集合是否可能为空集．
方向1集合的运算
【例3－1】设全集U＝{x∈N＊｜x〈6｝,集合A ＝｛1,3}，B＝{3，5｝，则∁U(A∪B）等于（）A．｛1,4}B．｛1，5｝
C．｛2,5｝D．｛2，4}解析U＝{1,2，3,4，5}，A∪B＝{1，3，5}，所以∁U（A∪B）＝｛2，4｝．
答案D
方向2利用集合运算求参数
【例3－2】（1)已知集合A＝{1，3，错误!}，B ＝{1，m｝,A∪B＝A，则m等于(）
A．0或错误!B．0或3 C．1或错误!
D．1或3
(2)设集合A＝｛0,1｝,集合B＝{x|x>a｝，若A∩B ＝∅，则实数a的取值范围是（)
A．a≤1B．a≥1C．a≥0
D．a≤0
解析(1）由A∪B＝A知B⊆A，所以m＝3或m ＝m，若m＝3,A＝{1,3，3｝,B＝{1，3｝,满足A∪B＝A；若m＝错误!，即m＝1或0,当m＝1时,错误!＝1，不合题意，舍去，当m＝0时，A＝｛1，3，0}，B＝｛1,0}，满足A∪B＝A,故选B．
(2)因为A∩B＝∅，所以0∉B，且1∉B，所以a≥1。

答案(1）B（2）B
【训练3】（1)已知集合A＝{x∈R|｜x|≤2}，B ＝｛x∈R|x≤1}，则A∩B等于(）
A．{x∈R｜x≤2}B．{x∈R|1≤x≤2}
C．｛x∈R｜－2≤x≤2｝D．｛x∈R｜－2≤x≤1}
（2)设集合M＝｛x｜－3≤x＜7｝，N＝｛x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________．解析（1）A＝｛x∈R|｜x｜≤2｝＝｛x∈R｜－2≤x≤2｝,∴A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2｝∩｛x∈R|x≤1｝＝{x∈R｜－2≤x≤1}．
(2)因为N＝｛x|2x＋k≤0｝＝｛x｜x≤－错误!}，
且M∩N≠∅，所以－错误!≥－3⇒k≤6。

答案(1）D（2)k≤6
要点四求函数的定义域
求函数定义域的类型与方法
（1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
（2)实际问题:求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．
（3）复合函数问题:
①若f(x）的定义域为[a，b］,f(g（x））的定义域应由a≤g(x)≤b解出；
②若f(g(x))的定义域为［a，b］，则f(x)的定义域为g（x)在[a，b]上的值域．
注意:①f（x）中的x与f(g（x））中的g(x)地位相同；
②定义域所指永远是x的范围．
【例4】(1)函数f（x)＝错误!＋（2x－1)0的定义域为（)
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!∪错误!
（2）已知函数y＝f（x－1）的定义域是[－1，2]，则y＝f（1－3x)的定义域为(）
A．错误!B．错误!
C．[0,1］D．错误!
解析（1)由题意知错误!解得x〈1且x≠错误!，即f(x）的定义域是错误!∪错误!。

（2)由y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则x－1∈［－2,1］，即f(x）的定义域是[－2，1]，令－2≤1－3x≤1解得0≤x≤1，即y＝f（1－3x）的定义域为[0,1]．答案（1)D(2）C
【训练4】已知函数f(x）＝－2x＋3的值域为[－5,5]，则它的定义域为(）
A．[－5,5]B．[－7,13］C．［－1,4]
D．［－4，1］
解析可以画出函数y＝－2x＋3的图象，再根据图象来求；还可以运用观察法来求，当f（x）＝－5时，x＝4；当f（x)＝5时，x＝－1，所以定义域为［－1,4］．
答案C
要点五求函数的解析式
求函数解析式的题型与相应的解法
（1)已知形如f(g（x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．
(2）已知函数的类型（往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法)．
(3)含f(x）与f（－x）或f(x)与f错误!，使用解方程组法．
(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．
【例5】 (1）已知f （2x －3)＝2x 2－3x ，则f （x ）＝________.
（2）已知f （x ）－3f （－x ）＝2x －1，则f (x )＝________。

解析 （1)令2x －3＝t ，得x ＝错误!（t ＋3)，则f
（t )＝2×14(t ＋3）2－32
（t ＋3)＝错误!t 2＋错误!t ，所以f (x )＝错误!x 2＋错误!x 。

（2）因为f (x )－3f （－x )＝2x －1,以－x 代替x 得f (－x ）－3f （x ）＝－2x －1，两式联立得f (x )＝错误!x ＋错误!。

答案 （1)错误!x 2＋错误!x （2)错误!x ＋错误!
【训练5】 已知f (x )是一次函数，且满足3f （x ＋1)－2f (x －1）＝2x ＋17，求f (x ）的解析式．
解 设f (x )＝ax ＋b （a ≠0),则3f （x ＋1)－2f （x －
1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，不论x 为何值都成立，所以错误!解得｛ a ＝2，，b ＝7所以f (x )＝2x ＋7.
要点六 函数的概念与性质
函数单调性与奇偶性应用的常见题型
（1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性．（2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间．
(3）利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式．
（4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．
【例6】已知函数f(x)＝错误!是奇函数，且f（2)＝错误!。

(1)求实数m和n的值；
（2)求函数f（x）在区间[－2，－1］上的最值．解(1）∵f(x）是奇函数,
∴f(－x)＝－f(x），
∴错误!＝－错误!＝错误!。

比较得n＝－n,n＝0。

又f（2）＝错误!，∴错误!＝错误!，解得m＝2.
因此,实数m和n的值分别是2和0。

(2）由（1）知f（x）＝错误!＝错误!＋错误!.
任取x1，x2∈[－2，－1］，且x1＜x2，
则f(x1）－f（x2)＝错误!(x1－x2)错误!
＝错误!(x1－x2）·错误!.
∵－2≤x1＜x2≤－1,
∴x1－x2＜0,x1x2＞1，x1x2－1＞0，
∴f(x1)－f(x2）＜0，即f（x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)在［－2，－1］上为增函数,
∴f(x）max＝f（－1）＝－错误!，f（x）min＝f(－2）＝－错误!。

【训练6】设f(x)是定义在R上的函数，且满足f（－x）＝f（x）,f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f （2a2＋a＋1)<f（2a2－4a＋3)，求a的取值范围．解∵f（x）是定义在R上的函数，且f(－x)＝f （x）,
∴f（x）为偶函数．
又f(x)在(－∞，0)上单调递增，
∴f（x）在(0,＋∞）上单调递减．
又2a2＋a＋1＝2错误!2＋错误!>0，
2a2－4a＋3＝2（a－1）2＋1>0，
由f（2a2＋a＋1）〈f（2a2－4a＋3）知，
2a2＋a＋1〉2a2－4a＋3，
得5a>2，a〉错误!。

∴a的取值范围是a〉错误!。

要点七函数的图象及应用
作函数图象的方法
（1)描点法--求定义域；化简；列表、描点、连线．
(2)变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．
①平移：y＝f（x) 错误!y＝f（x±h）；
y＝f（x) 错误!y＝f（x)±k。

(其中h〉0，k〉0）
②对称：y＝f（x）错误!y＝f（－x）;
y＝f（x)错误!y＝－f(x）；
y＝f（x）错误!y＝－f(－x）．
特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．
【例7】已知函数f(x）＝x2－2|x｜＋a，其中x ∈[－3,3]．
(1)判断函数f(x)的奇偶性．
（2)若a＝－1,试说明函数f（x)的单调性,并求出函数f(x）的值域．
解(1）因为定义域［－3,3］关于原点对称，
f（－x）＝（－x)2－2｜－x｜＋a
＝x2－2｜x｜＋a＝f（x），
即f（－x)＝f（x)，
所以f（x）是偶函数．
（2)当0≤x≤3时，f(x）＝x2－2x－1＝(x－1）2－2；
当－3≤x〈0时，f（x)＝x2＋2x－1＝（x＋1)2－2。

即f(x)＝错误!
根据二次函数的作图方法，可得函数的图象，如图所示．
函数f（x)的单调区间为［－3,－1]，（－1,0），[0,1］,(1,3］．
f(x）在区间[－3，－1］，[0，1]上为减函数,在（－1，0），(1,3]上为增函数．
当0≤x≤3时,函数f(x)＝（x－1)2－2的最小值为f （1）＝－2，最大值为f（3）＝2；
当－3≤x〈0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为
f（－1）＝－2,最大值为f（－3)＝2.
故函数f(x)的值域为［－2，2］．
【训练7】对于任意x∈R，函数f(x）表示－x ＋3,错误!x＋错误!，x2－4x＋3中的较大者，则f（x）的最小值是________．
解析首先应理解题意,“函数f(x)表示－x＋3,错误! x＋错误!，x2－4x＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f（x)表示－x＋3，错误!x＋错误!，x2－4x＋3中最大的一个．
如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0，3），B（1,2），C（5，8)．
从图象观察可得函数f(x）的表达式：f（x）＝错误!
f（x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f（x）的最小值是2。

答案2
攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。