高中数学 第一章 立体几何初步 1.7 简单几何体的再认识学案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数

第1课时 柱、锥、台的侧面展开与面积
[核心必知]
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
几何体 侧面展开图的形状
侧面积公式
圆柱 矩形 S 圆柱侧＝2πrl 圆锥 扇形 S 圆锥侧＝πrl 圆台
扇环
S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l
其中r 为底面半径，l 为侧面母线长，r 1，r 2分别为圆台的上，下底面半径． 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
几何体 侧面积公式
直棱柱 S 直棱柱侧＝c ·h 正棱锥
S 正棱锥侧＝12
c ·h ′ 正棱台
S 正棱台侧＝12
(c ＋c ′)·h ′
其中c ′，c 分别表示上，下底面周长，h 表示高，h ′表示斜高．
[问题思考]
1．一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？
提示：不同的展开方式，几何体的展开图不一定相同．表面积是各个面的面积和，几何体的侧面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定．
2．柱体、锥体、台体之间有如下关系：
那么台体、锥体、柱体的侧面积公式有什么联系？
提示：根据以上关系，在台体的侧面积公式中，令c ′＝c ，可以得到柱体的侧面积公式，令c ′＝0，可得到锥体的侧面积公式，其关系如下所示：
S 柱侧＝ch ′c ＝c ′,S 台侧＝12
(c ＋c ′)h ′――→c ′＝0
S 锥侧＝12
ch ′.
3．棱柱的侧面积一定等于底面周长与侧棱长的乘积吗？
提示：不一定．由棱柱的概念与性质可知棱柱的侧面展开图是一个平行四边形，此平行四边形的一边为棱柱的底面周长，另一边长为棱柱的侧棱长，但此平行四边形若不是矩形，则它的面积并不等于这两边长的乘积，所以棱柱的侧面积并不一定等于底面周长与侧棱长的乘积，只有直棱柱的侧面积才等于底面周长与侧棱长的乘积．
讲一讲
1．(1)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为( ) A ．6π(4π＋3) B ．8π(3π＋1)
C ．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)
D ．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)
(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为( ) A ．1∶1 B ．1∶2 C ．1∶3 D ．1∶4
[尝试解答] (1)选C 圆柱的侧面积S 侧＝6π×4π＝24π2
.①以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面周长，则2πr ＝4π，即r ＝2，∴S 底＝4π，S 全＝S 侧＋2S 底＝24π2
＋8π＝8π(3π＋1)．②以边长为4π的边为轴时，6π为圆柱底面周长，则2πr ＝6π，即r ＝3，∴S 底＝9π，∴S 全＝S 侧＋2S 底＝24π2
＋18π＝6π(4π＋3)．
(2)选C 如图所示，PB 为圆锥的母线，O 1，O 2分别为截面与底面的圆心．∵O 1为PO 2的中点，
∴
PO 1PO 2＝PA PB ＝O 1A O 2B ＝12
， ∴PA ＝AB ，O 2B ＝2O 1A . ∵S 圆锥侧＝1
2
×2π·O 1A ·PA ，
S 圆台侧＝12
×2π·(O 1A ＋O 2B )·AB ，
∴
S 圆锥侧S 圆台侧＝O 1A ·PA O 1A ＋O 2B ·AB ＝1
3
.
1．求柱、锥、台的表面积(或全面积)就是求它们的侧面积和(上、下)底面积之和． 2．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．
练一练
1．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？
解：如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，
故c ＝π·SA ＝2π×10， 所以SA ＝20(cm)， 同理可得SB ＝40(cm)， 所以AB ＝SB －SA ＝20(cm)， 所以S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 ＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 2
1＋πr 2
2 ＝π(10＋20)×20＋π×102
＋π×202
＝1 100π(cm 2
)．故圆台的表面积为1 100π cm 2
.
讲一讲
2．五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8 cm 和18 cm ，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13 cm ，求它的侧面积．
[尝试解答] 如图是五棱台的其中一个侧面，它是一个上底、下底分别为8 cm 和18 cm ，腰长为13 cm 的等腰梯形，由点A 向BC 作垂线，设垂足为E ，由点D 向BC 作垂线，设垂足为F ，易知BE ＝CF .
∵BE ＋EF ＋FC ＝2BF －AD ＝BC ， ∴BF ＝
BC ＋AD 2
＝
18＋8
2
＝13.∴BE ＝BF －AD ＝13－8＝5.
又AB ＝13，∴AE ＝12.
∴S 四边形ABCD ＝12(AD ＋BC )·AE ＝12×(18＋8)×12＝156(cm 2
)．
故其侧面积为156×5＝780(cm 2
)．
要求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积，需根据题目中的已知条件寻求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积公式所需条件，然后应用公式进行解答．
练一练
2．已知正三棱锥V ­ABC 的主视图，俯视图如图所示，其中VA ＝4，AC ＝23，求该三棱锥的表面积．
解：由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VA ＝VB ＝VC ＝4，
AB ＝BC ＝AC ＝23，
取BC 的中点D ，连接VD ，
则VD ＝VB 2－BD 2＝42
－
3
2
＝13，
∴S △VBC ＝12×VD ×BC ＝1
2
×13×23＝39，
S △ABC ＝12×(23)2×
3
2
＝33， ∴三棱锥V ­ABC 的表面积为
3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3).
讲一讲
3．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；
(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？
[尝试解答] 如图是圆锥及内接圆柱的轴截面图．
(1)设所求圆柱的底面半径为r ， 则r R ＝
H －x H ，∴ r ＝R －R
H
x ，
∴S 圆柱侧＝2πrx ＝2πRx －2πR H
·x 2. (2)∵S 圆柱侧是关于x 的二次函数，
∴当x ＝－2πR 2×－
2πR H
＝H 2
时，S 圆柱侧有最大值，
即当圆柱的高是圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．
解决组合体的表面积问题，要充分考虑组合体各部分的量之间的关系，将其转化为简单多面体与旋转体的表面积问题进行求解．
练一练
3．已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积．
解：如图，由题意易知圆锥的母线长为3 cm.
则S ＝S 底＋S 柱侧＋S 圆锥侧
＝π×(3)2
＋2π×3×6＋π×3×3 ＝(3＋62＋33)π(cm 2
)．
如图所示，圆柱OO ′的底面半径为2 cm ，高为4 cm ，点P 为母线B ′B 的中点，∠AOB ＝2
3
π，试求一蚂蚁从A 点沿圆柱表面爬到P 点的最短路程．
[巧思] 将圆柱的侧面展开，将A 、P 两点转化到同一个平面上解决．
[妙解] 将圆柱侧面沿母线AA ′剪开展平为平面图，如图，则易知最短路径为平面图中线段AP .
在Rt △ABP 中，AB ＝23π×2＝4
3π(cm)，PB ＝2(cm)，
∴AP ＝AB 2＋BP 2＝23 4π2
＋9(cm)．
故蚂蚁爬的最短路程为23
4π2
＋9 cm.
1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为( )
A ．1∶2
B ．1∶1
C ．1∶4
D ．4∶1
解析：选B 以边长为1的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积
S 1＝2π×2×1＝4π，
以边长为2的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S 2＝2π×1×2＝4π， ∴S 1∶S 2＝4π∶4π＝1∶1.
2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．8
解析：选C 设圆台的母线长为l ，上、下底面半径分别为r ，R ， 则l ＝1
2
(r ＋R )．
又32π＝π(r ＋R )l ＝2πl 2
， ∴l 2
＝16， ∴l ＝4.
3．(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )
A ．28＋6 5
B ．30＋6 5
C ．56＋12 5
D ．60＋12 5
解析：选B 由题中的三视图知，该三棱锥的立体图形如图所示．
由题中所给条件，可求得S △ABD ＝1
2
×4×5＝10，
S △ACD ＝S △BCD ＝12
×4×5＝10，AC ＝BC ＝41，
AB ＝25，可求得△ABC 中AB 边上的高为41－5＝6，所以S △ABC ＝12
×6×25＝6 5.
综上可知，该三棱锥的表面积为S △ABD ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABC ＝30＋6 5.
4．圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则圆锥的高是________． 解析：设底面半径是r ，则2πr ＝πR ，
∴r ＝R 2，∴圆锥的高h ＝R 2－r 2
＝32
R .
答案：
3
2
R 5．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积等于________．
解析：根据题意可知，该棱柱的底面边长为2，高为1，侧棱和底面垂直，故其表面积
S ＝
34
×22
×2＋2×1×3＝6＋2 3. 答案：6＋2 3
6.一个几何体的三视图如图所示．已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一
个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为2的正方形拼成的矩形．求该几何体的表面积S .
解：由三视图可知，该平行六面体中，
A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1
B 1，
所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形， 所以S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2) ＝6＋2 3.
一、选择题
1．圆台的母线长扩大为原来的n 倍，两底面半径都缩小为原来的1
n
倍，那么它的侧面积
变为原来的( )
A ．1倍
B ．n 倍
C ．n 2
倍 D.1n
倍
解析：选A 由S 侧＝π(r ′＋r )l .当r ，r ′缩小1
n
倍，l 扩大n 倍时，S 侧不变．
2．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( ) A ．12 B ．36 C ．24 D ．48
解析：选D 正四棱锥的斜高h ′＝52
－32
＝4，
S 侧＝4×1
2
×6×4＝48.
3．长方体的对角线长为214，长、宽、高的比为3∶2∶1，那么它的表面积为( ) A ．44 B ．88 C ．64 D ．48
解析：选B 设长，宽，高分别为3x,2x ，x ，则对角线长为9x 2
＋4x 2
＋x 2
＝14x ＝214，∴x ＝2.
∴表面积S ＝2(6x 2
＋3x 2
＋2x 2
)＝88.
4．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS
C ．πS D.23
3
πS
解析：选A 设圆柱的底面半径为R ，则S ＝πR 2
， ∴R ＝
S
π
，
则圆柱的母线长l ＝2πR ＝2S π.
S 侧面积＝(2πR )2＝4π2R 2＝4π2×S
π
＝4πS .
5．(重庆高考)某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．180
B ．200
C ．220
D ．240
解析：选D 几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为1
2×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8
＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S ＝40＋200＝240，故选D.
二、填空题
6．已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．
解析：设上底面半径为r ，则下底面半径为4r ，高为4r ，如图．
∵母线长为10，
∴有102
＝(4r )2
＋(4r －r )2
，解得r ＝2. ∴S 圆台侧＝π(r ＋4r )×10＝100π. 答案：100π
7．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是________．
解析：由条件可知，四面体的斜高为
32
， 所以其表面积为S 表＝4×12×1×3
2＝ 3.
答案： 3
8．如图，直三棱柱的主视图面积为2a 2
，则左视图的面积为________．
解析：此直三棱柱的底面是边长为a 的正三角形，该三角形的高为
3
2
a .左视图是一矩形，一边为
32a ，另一边为2a ，故左视图的面积为3
2
a ×2a ＝3a 2. 答案：3a 2
三、解答题
9．如图所示是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg ，问需要多少油漆？(尺寸如图，单位：m ，π取3.14，结果精确到0.01 kg)
解：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m ，母线长为5 m ，四棱柱的高为4 m ，底面是边长为3 m 的正方形．
圆锥的表面积为πr 2
＋πrl ＝3.14×32
＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36(m 2
)； 四棱柱的一个底面积为32
＝9(m 2
)； 四棱柱的侧面积为4×4×3＝48(m 2
)． 所以外壁面积＝75.36－9＋48＝114.36(m 2
)， 需油漆114.36×0.2＝22.872≈22.87(kg)， 答：共需油漆约22.87 kg.
10．正四棱台两底面边长分别为a 和b (a <b )．
(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
解：(1)如图，设O 1，O 分别为上，下底面的中心，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ，过E 作EF ⊥
BC 于F ，连接C 1F ，则C 1F 为正四棱台的斜高．
由题意知∠C 1CO ＝45°，
CE ＝CO －EO ＝CO －C 1O 1＝
2
2
(b －a )． 在Rt △C 1CE 中，C 1E ＝CE ＝
2
2
(b －a )， 又EF ＝CE ·sin 45°＝1
2(b －a )，
∴斜高C 1F ＝C 1E 2
＋EF 2
＝
⎣⎢⎡⎦⎥⎤22b －a 2＋⎣
⎢⎡⎦⎥⎤12
b －a 2＝32(b －a )． ∴S 侧＝12(4a ＋4b )×32(b －a )＝3(b 2－a 2
)．
(2)∵S 上底＋S 下底＝a 2
＋b 2
， ∴12
(4a ＋4b )·h 斜＝a 2＋b 2
， ∴h 斜＝a 2＋b 2
2a ＋b
.
又EF ＝
b －a
2
，h ＝h 2斜－EF 2
＝
ab a ＋b
. 第2课时 柱、锥、台的体积
[核心必知]
柱、锥、台的体积公式
几何体 公式 说明
柱体
V 柱体＝Sh
S 为柱体的底面积
h 为柱体的高
锥体
V 锥体＝13Sh
S 为锥体的底面积 h 为锥体的高 台体
V 台体＝13
(S 上＋S 下＋
S 上·S 下)·h
S 上，S 下分别为台体的上、
下底面面积，h 为台体的高
[问题思考]
仿照侧面积公式，你能用底面半径和高来表示圆柱、圆锥和圆台的体积公式吗？ 提示：(1)底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是：V 圆柱＝πr 2
h . (2)如果圆锥的底面半径是r ，高是h ，那么它的体积是：V 圆锥＝13
πr 2
h .
(3)如果圆台上、下底面半径分别是r ′、r ，高是h ，那么它的体积是：V 圆台＝13πh (r
2
＋rr ′＋r ′2
)．
讲一讲
1．已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，点C 到AB 的距离为3 cm ，侧面ABB 1A 1的面积为8 cm 2
，求直三棱柱的体积．
[尝试解答] 法一：如图，设点C 到AB 的距离为d ，侧面ABB 1A 1的面积为S 1，则△ABC 的面积S ＝1
2
|AB |d .
∴直三棱柱的体积V ＝Sh ＝S |AA 1|
＝12|AB |d |AA 1|＝1
2|AB |·|AA 1|d ＝12
S 1 d ＝12(cm 3
)． 法二：补上一个相同的直三棱柱可以得到一个直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1.可以看成以A 1ABB 1
为底面的四棱柱D 1DCC 1­A 1ABB 1.
则ABB 1A 1的面积就是底面积，C 到AB 的距离即为高． ∴四棱柱D 1DCC 1­A 1ABB 1的体积V ＝24(cm 3
)， 则直三棱柱的体积为12(cm 3
)．
(1)直棱柱的侧面与对角面都是矩形，所以方法一利用侧面积与点到直线的距离的乘积求得体积．
(2)四棱柱的底面与侧面是相对而言的，即任何一组对面都可以作为底面．所以方法二采用了“补形”求得四棱柱的体积(间接求解)．
练一练
1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．
解：设正方体边长为a ，圆柱高为h ，底面半径为r ，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＝πr 2
， ①2πrh ＝4a 2
， ②
由①得r ＝
π
π
a ， 由②得πrh ＝2a 2
， ∴V 圆柱＝πr 2
h ＝2ππ
a 3，
∴V 正方体∶V 圆柱＝a 3
∶(2ππa 3)＝π2
∶1＝π∶2.
讲一讲
2.如图，已知四棱锥P ­ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P ­ABCD 的体积．
[尝试解答] 因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6， 所以HA ＝HB ＝ 3. 因为∠APB ＝∠ADB ＝60°，
所以PA ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝3tan 30°＝1. 可得PH ＝PA 2
－AH 2
＝3，
等腰梯形ABCD 的面积为S ＝1
2AC ×BD ＝2＋ 3.
所以四棱锥的体积为V ＝13×(2＋3)×3＝3＋23
3
.
求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V ＝1
3Sh 进行计算即可，常用方
法为割补法和等积变换法：
(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积．
(2)等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面． ①求体积时，可选择容易计算的方式来计算； ②利用“等积性”可求“点到面的距离”． 练一练
2．已知三角形ABC 的边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的体积．
∵△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，∴绕AB 边旋转一周，所得几何体为两个同底的圆锥，且圆锥的底面半径r ＝12
5
.
∴V 锥＝13·AB ·πr 2
＝13×5×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝485
π.
讲一讲
3．圆台上底的面积为16π cm 2
，下底半径为6 cm ，母线长为10 cm ，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？
[尝试解答] 首先，圆台的上底的半径为4 cm ， 于是S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝100π(cm 2
)． 其次，如图，
圆台的高h ＝BC ＝BD 2
－OD －AB 2
＝102
－6－4
2
＝46(cm)，
所以V 圆台＝1
3
h (S ＋SS ′＋S ′)
＝1
3×46×(16π＋16π×36π＋36π) ＝
3046π3
(cm 3
)．
求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高，要注意充分运用棱台内的直角梯形和圆台的轴截面(等腰梯形)等求相关量之间的关系．因为台体是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体，所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差．
练一练
3．正四棱台的上下底面边长分别为6 cm 和12 cm ，侧面积为180 cm 2
，求棱台的体积． 解：如图，分别过正四棱台的底面中心O 1，O 作O 1E 1⊥B 1C 1，OE ⊥BC ，垂足分别为E 1，E ，则E 1E 为正四棱台的斜高．
由于正四棱台的侧面积为180 cm 2
，
所以1
2
×4×(6＋12)|E 1E |＝180，解得|E 1E |＝5.
在直角梯形O 1OEE 1中，O 1E 1＝3，OE ＝6，E 1E ＝5，解得O 1O ＝4.
所以正四棱台的体积为V ＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13
×4×(62＋6×12＋122)＝336(cm 3
)．
如图所示，在长方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C ­A ′DD ′，求棱锥
C ­A ′D
D ′的体积与剩余部分的体积之比．
[解] 法一：设AB ＝a ，AD ＝b ，DD ′＝c ， 则长方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′的体积V ＝abc ， 又S △A ′DD ′＝1
2
bc ，
且三棱锥C －A ′DD ′的高为CD ＝a ， ∴V 三棱锥C －A ′DD ′＝13S △A ′D ′D ·CD ＝1
6abc .
则剩余部分的体积V 剩＝abc －16abc ＝5
6abc .
故V 三棱锥C －A ′D ′D ∶V 剩＝16abc ∶5
6abc ＝1∶5.
[尝试用另外一种方法解题]
法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD ′A ′­BCC ′B ′，设它的底面
ADD ′A ′的面积为S ，高为h ，
则它的体积为V ＝Sh .
而棱锥C －A ′DD ′的底面面积为1
2S ，高是h ，
因此，棱锥C －A ′DD ′的体积V C －A ′DD ′＝13×12Sh ＝1
6Sh .
故余下的体积是Sh －16Sh ＝5
6
Sh .
∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为16Sh ∶5
6
Sh ＝1∶5.
1．正方体的表面积为96，则正方体的体积是( ) A ．48 6 B ．64 C ．16 D ．96
解析：选B 设正方体的棱长为a ，则6a 2
＝96，解得a ＝4，则正方体的体积是a 3
＝64. 2．(山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )
A ．45，8
B ．45，8
3
C ．4(5＋1)，8
3
D ．8,8
解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12
＝5，所以S 侧＝4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83.
3．(重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.13＋π
B.2
3＋π C.13＋2π D.2
3
＋2π 解析：选A 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据
可得三棱锥的体积V 1＝13×12×2×1×1＝13，半圆柱的体积V 2＝12×π×12
×2＝π，∴V ＝13＋
π.
4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．
解析：该空间几何体是一个底面为梯形的四棱柱，其底面积是1＋2
2×2＝3，高为1，故
其体积等于3.
答案：3
5．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________． 解析：设圆台的上底面半径为r ， 则(3r )2
＋(4r )2
＝100，解之得r ＝2.
∴S 上＝πr 2
＝4π，S 下＝π(4r )2
＝16πr 2
＝64π，
h ＝4r ＝8.
∴V ＝1
3(4π＋64π＋16π)×8＝224π.
答案：224π
6．已知一个三棱台的两底面是边长分别为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高和体积．
解：如图，在三棱台ABC ­A ′B ′C ′中，O ′、O 分别为上、下底面的中心，D 、D ′分别是BC 、B ′C ′的中点，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高，
所以S 侧＝1
2
(20＋30)·DD ′·3＝75DD ′.
又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34
(202＋302
)＝3253(cm 2
)．
由S 侧＝S 上＋S 下得，75DD ′＝3253(cm 2
)，所以DD ′＝
13
3
3(cm)． 在直角梯形O ′ODD ′中，OD ＝5 3 cm ，O ′D ′＝103
3
cm ，
O ′O ＝D ′D 2－OD －O ′D ′
2
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫13332－⎝
⎛
⎭⎪⎫53－10332
＝43(cm)，即棱台的高h ＝4 3 cm.
由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h
3(S ＋S ′＋SS ′)
＝
433·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
34·302＋34·202＋34·20·30 ＝1 900(cm 3
)．
一、选择题
1．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是( ) A ．955π B ．955 C ．355π D ．355
解析：选C 设圆锥底面圆的半径为r ，则2πr ＝6π，∴r ＝3. 设圆锥的高为h ，则h ＝82
－32
＝55， ∴V 圆锥＝13
πr 2
h ＝355π.
2．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )
A.23
B.76
C.45
D.56
解析：选D 用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，所得三棱锥的体积为13×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫124
＝148，故剩下的凸多面体的体积为1－8×148＝56
.
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
A ．6
B ．9
C ．12
D ．18
解析：选B 由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为13×1
2
×6×3×3＝9.
4．(浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )
A ．108 cm 3
B ．100 cm 3
C ．92 cm 3
D ．84 cm 3
解析：选B 根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，∴几何体的体积V ＝6×6×3－13×12
×4×4×3＝100 cm 3
.
5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是( )
A ．1∶2∶ 3
B ．6∶23∶ 3
C ．6∶23∶3
D ．3∶23∶6 解析：选C 设如图所示的Rt △ABC 中，
∠BAC ＝30°，BC ＝1，则AB ＝2，AC ＝3，求得斜边上的高CD ＝3
2
，旋转所得几何体的体积分别为V 1＝13
π(3)2
×1＝π，
V 2＝13π×12×3＝
33π，V 3＝13π(32)2×2＝12
π. V 1∶V 2∶V 3＝1∶
33∶1
2
＝6∶23∶3. 二、填空题
6．如图已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．
解析：采取补体方法，相当于一个母线长为a ＋b 的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V ＝
πr
2
a ＋b
2
.
答案：
πr 2
a ＋b
2
7．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面的尺寸如图所示，两容器盛有液体的体积正好相等，且液面高均为h ，则h ＝________.
解析：锥体的底面半径和高都是h ，圆柱体的底面半径是a 2，高为h ，依题意得π3h 2
·h
＝π·(a 2)2·h ，解得h ＝3
2
a .
答案：
3
2
a 8．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．
解析：此几何体的直观图如图，ABCD 为正方形，边长为20 cm ，
S 在底面的射影为CD 中点E ，SE ＝20 cm ，
V S ­ABCD ＝13S ABCD ·SE ＝
8 0003
cm 3
. 答案：8 0003 cm 3
三、解答题
9．如图所示，是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？(π＝3.14)
解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃的底面一样，是一直径为20 cm 的圆柱，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．
因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫622×20＝60π(cm 3
)，
设水面下降的高度为x ，则小圆柱的体积为π×(20÷2)2
×x ＝100πx (cm 3
)，所以有方程60π＝100πx ，解此方程得x ＝0.6(cm)．
答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm.
10．若E ，F 是三棱柱ABC ­A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，求四棱锥A ­BEFC 的体积．
解：如图所示，连接AB 1，AC 1.
∵B 1E ＝CF ，
∴梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积． 又四棱锥A ­BEFC 的高与四棱锥A ­B 1EFC 1的高相等， ∴V A ­BEFC ＝VA ­B 1EFC 1＝1
2
VA ­BB 1C 1C .
又VA ­A 1B 1C 1＝1
3S △A 1B 1C 1·h ，VABC ­A 1B 1C 1＝m ，
∴VA ­A 1B 1C 1＝m
3
，
∴VA ­BB 1C 1C ＝VABC ­A 1B 1C 1－VA ­A 1B 1C 1＝2
3m ，
∴V A ­BEFC ＝12×23m ＝m 3，即四棱锥A ­BEFC 的体积是m
3
.
第3课时 球
[核心必知]
1．球的表面积公式：S 球面＝4πR 2
. 2．球的体积公式：V 球＝43
πR 3
.
[问题思考]
用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？
提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．
若球的半径为R ，截面圆的半径为r ，OO ′＝d . 在Rt △OO ′C 中，OC 2
＝OO ′2
＋O ′C 2
， 即R 2
＝r 2
＋d 2
.
讲一讲
1．已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，
AB ＝4，求球面面积与球的体积．
[尝试解答] 如图所示，设球心为O ，截面圆圆心O 1，球半径为R ， 连接OO 1，则OO 1是球心到截面的距离．
由于OA ＝OB ＝OC ＝R ， 则O 1是△ABC 的外心．
设M 是AB 的中点，由于AC ＝BC ， 则O 1在CM 上．
设O 1M ＝x ，易知O 1M ⊥AB ，则O 1A ＝22
＋x 2
，
O 1C ＝CM －O 1M ＝62－22－x .
又O 1A ＝O 1C ，∴22
＋x 2
＝62
－22
－x . 解得x ＝724.则O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝92
4
.
在Rt △OO 1A 中，O 1O ＝R
2
，∠OO 1A ＝90°，OA ＝R .
由勾股定理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫9242＝R 2.解得R ＝362.
故S 球面＝4πR 2
＝54π，V 球＝43
πR 3＝276π.
计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的截面的性质进行求解．已知条件中的等量关系，往往是建立方程的依据，这种解题的思想值得重视．
练一练
1．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2
，试求此球的表面积和体积．
解：如图，设截面圆的圆心为O 1， 则OO 1⊥O 1A ，O 1A 为截面圆的半径，
OA 为球的半径．
∵48π＝π·O 1A 2
，∴O 1A 2
＝48. 在Rt △AO 1O 中，OA 2
＝O 1O 2
＋O 1A 2
，
即R 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12R 2＋48，∴R ＝8(cm)，
∴S 球＝4πR 2＝4π×64＝256π(cm 2)，V 球＝43πR 3＝20483
π(cm 3
).
讲一讲
2．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积． [尝试解答]
如图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC 、AC 相切于点D 、E . 连接AD ，OE ，
∵△ABC 是正三角形， ∴CD ＝12AC .
∵CD ＝1 cm ，
∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ， ∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ， ∴OE AO ＝CD
AC
.
设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )， ∴
r
3－r ＝12， ∴r ＝
3
3
cm ， V 球＝43
π(
33)3＝4327
π(cm 3)， 即球的体积等于4327
π cm 3
.
解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体之间的主要位置关系和数量关系．
练一练
2．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积．
解：作轴截面如图所示，
CC ′＝6，AC ＝2·6＝23，
设球的半径为R，
则R2＝OC2＋CC′2＝(3)2＋(6)2＝9，∴R＝3，
∴S球＝4πR2＝36π，V球＝4
3
πR3＝36π.
一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．
[错解] 如图所示，设OD＝x，
由题知π·CA2＝49π，
∴CA＝7 cm.
π·BD2＝400π，
∴BD＝20 cm.
设球半径为R，则有
(CD＋DO)2＋CA2＝R2＝OD2＋DB2，
即(9＋x)2＋72＝x2＋202，
∴x＝15，R＝25.
∴S球＝4πR2＝2 500π cm2.
[错因] 本题错解的原因在于考虑不周，由于球心可能在两个截面之间，也可能在两个截面的同一侧，因此解决此题要分类讨论．
[正解] (1)当球心在两个截面的同侧时，解法同错解．
(2)当球心在两个截面之间时，如图所示，设OD＝x，则OC＝9－x，
设球半径为R，
可得x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，
此方程无正数解，即此种情况不可能．
综上可知，球的表面积是2 500π cm 2
.
1．球的表面积扩大2倍，球的体积扩大( ) A ．2倍 B. 2 倍 C ．2 2 倍 D ．3 2 倍
解析：选C 球的表面积扩大2倍，半径扩大2倍，从而体积扩大(2)3
＝22倍． 2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为 ( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3 D ．1∶1
解析：选A 设两球的半径分别为R 1，R 2. ∵R 1∶R 2＝1∶3，∴两个球的表面积之比为
S 1∶S 2＝4πR 21∶4πR 22＝R 21∶R 2
2＝1∶9.
3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )
A ．202π
B ．252π
C ．50π
D ．200π
解析：选C 设球的半径为R ，则2R ＝33
＋42
＋52
＝5 2. ∴S 球＝4πR 2
＝π·(2R )2
＝50π.
4．(福州高一检测)已知正四棱锥O ­ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球
心，OA 为半径的球的表面积为________．
解析：过O 作底面ABCD 的垂线段OE ，则E 为正方形ABCD 的中心．由题意可知
13
×(3)2×OE ＝323，所以OE ＝322，故球的半径R ＝OA ＝OE 2＋EA 2
＝6，则球的表面积S
＝4πR 2
＝24π.
答案：24π
5．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.
解析：设球的半径为r cm ，
则有8πr 2＋3×43πr 3＝πr 2
×6r ，由此解得r ＝4.
答案：4
6．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)：
(1)求该几何体的表面积(结果保留π)； (2)求该几何体的体积(结果保留π)．
解：由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的组合体，且半球的直径为2，该四棱柱为棱长为2的正方体．
(1)该几何体的表面积为
S ＝2πR 2＋6×2×2－π×R 2＝π＋24 (m 2)．
(2)该几何体的体积为
V ＝12×43πR 3＋23＝23
π＋8 (m 3)．
一、选择题
1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为( ) A.
323π B.8π3
C ．82π D.82
3
π
解析：选D 所得截面圆的半径为r ＝1，因此球的半径R ＝12
＋12
＝2，球的体积为 43πR 3＝823
π. 2．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是( ) A ．1∶2∶3 B ．1∶2∶ 3 C ．1∶22∶3 3 D ．1∶4∶7
解析：选C ∵三个球的表面积之比是1∶2∶3， 即r 2
1∶r 2
2∶r 2
3＝1∶2∶3.∴r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3， ∴V 1∶V 2∶V 3＝1∶22∶3 3.
3．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )
A.6π B ．43π C ．46π D ．63π
解析：选B 设球的半径为R ，由球的截面性质得R ＝2
2
＋12
＝3，所以球的体
积V ＝43
πR 3
＝43π.
4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A ．πa 2 B.73πa 2
C.
113
πa 2 D ．5πa 2
解析：选B 正三棱柱内接于球，则球心在正三棱柱两底面中心连线的中点处，在直角三角形中可得R ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝712
a ， ∴S ＝4πR 2
＝4π×7a 2
12＝7π3
a 2
.
5．(新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A.
500π3 cm 3 B.866π3 cm 3
C.
1 372π3 cm 3 D.
2 048π3
cm 3
解析：选 A 解题时，先根据已知条件分析出正方体的上底面到球心的距离为(R －2) cm(其中R 为球半径)，再利用球半径、球心距、和截面圆半径构成的直角三角形求出球半径，进而计算出球的体积．设球半径为R cm ，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm ，球心到截面的距离为(R －2) cm ，所以由42
＋(R －2)2
＝R 2
，得R ＝5，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π×53
＝500π3
cm 3，选择A.
二、填空题
6．一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ，则球的体积为________ cm 3
.
解析：如图所示，
由已知：O 1A ＝3，OO 1＝4，从而R ＝OA ＝5. ∴V 球＝4π3×53＝500π3 (cm 3
)．
答案：500π
3
7．一个底面直径是32 cm 的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9 cm ，则这个球的表面积是________．
解析：球的体积等于以16 cm 为底面半径，高为9 cm 的圆柱的体积，设球的半径为R ，所以43
πR 3＝π·162
·9，。