吉林省长春十一高中高二上期初考试数学(文)试题

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长春市十一高中2016-2017学年度高二上学期期初考试 数学试题（文）
一、选择题（每题5分，共60分）
1. 椭圆125
162
2=+y x 的短轴长为（ ）
A .4
B .5
C .6
D .8
2.双曲线 116
42
2=-y x 的一条渐近线方程为（ ）
A . x y 2=
B . x y 21=
C . x y 4=
D . x y 4
1= 3.抛物线2
6x y =的焦点坐标为（ ）
A . （0 ，
23） B .（23，0） C .（0 ，241） D .（24
1
，0） 4.下列命题：①如果,y x =则y x sin sin =；②如果b a >，则22b a >；③B A ,是两个不同定点，动点P 满足PB PA +是常数，则动点P 的轨迹是椭圆.其中正确命题的个数是（ ）
A . 0
B . 1
C . 2 D. 3
5. 椭圆4x 212
=+y 的离心率为（ ）
A .
41 B . 2
1
C . 23
D .
22 6. 过（2，2）点与双曲线x 2
14
2
=-y 有共同渐近线的双曲线方程为（ ）
A .2
x 142-=-y
B .142
2=-y x C .112322=-y x D . 131222=-x y 7“点P 到两条坐标轴距离相等”是“点P 的轨迹方程为x y =”的（ ）
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C . 充要条件
D .既不充分也不必要条件
8.椭圆11022=+m
y x 的焦距为6，则m 的值为（ ） A . m=1 B . m=19 C . m=1 或 m=19 D . m=4或m=16
9.将双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点，右顶点，虚轴一个端点所组成的三角形叫双曲线的“黄金
三角形”，则双曲线C ：x 2-y 2=4的“黄金三角形”面积是（ ）
A .12-
B .222-
C .1
D .2
10.双曲线1-22
22=b
y a x 的一条渐近线斜率为2，则该双曲线的离心率为（
A .3
B .5
C .
5或
2
5
D . 3或
3
3
2 11.已知抛物线y x C 12:2
=的焦点为F ，准线为，l P ∈，Q 是线段PF 与C 的一个交点，若FQ PF 3=.则FQ =（ ）
A .
29 B .2
7
C .4
D .5 12.直线1-=x y 与圆043
222=+-+x y x 及抛物线
x y 42=依次交于D C B A ,,,四点，则CD AB +（ ）
A .6
B .8
C .7
D .9
二、填空题（每题5分共20分）
13.离心率为43
的椭圆C : 12222=+b
y a x )0(>>b a ，P C ∈,且P 到椭圆的两个焦点距离之
和为8则椭圆C 的方程为____________________
14.抛物线x y C 16:2
=，C 与直线4:-=x y l 交于B A ,两点，则AB 中点到y 轴距离为__________________________
15.已知椭圆12222=+b
y a x ()0>>b a ，过()0,a P -作圆12
2=+y x 的切线，切点为B A ,,
若APB ∠=︒120，则椭圆的离心率为______________________
16.双曲线C 与椭圆C 1:1113622=+y x 有相等焦距，与双曲线C 2：132
182
2=-y x 有相同渐近线，则双曲线C 的标准方程为___________________
三、解答题（满分70分，解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 17.抛物线)0(2:2
>=p py x C 的通径为4，正三角形一个顶点是原点O ，另外两点B A ,也在抛物线C 上.
（1）求抛物线C 的方程；（5分）
（2）求正三角形OAB 边长.（9分）
18. 椭圆12222=+b
y a x ()0>>b a ，左右焦点分别为21,F F ，C 的离心率=e 23
，且过
P (2
1
,3)点
（1）求椭圆C 的方程；（6分）
（2）若Q 点在椭圆C 上，且=∠21F QF ︒30,求∆21F QF 的面积；（8分）
19.已知点P 是椭圆160025162
2
=+y x 上一点，且在x 轴上方，21,F F 是椭圆的左，右焦点，直线2PF 的斜率为34-. （1）求P 点的坐标；（10分） （2）求21F PF ∆的面积.（4分）
20.曲线x y C 12:2
=，直线()4:-=x k y l ，与C 交于两点()11,y x A ，()22,y x B
（1）求 21x x ； （6分）
（2）若424=AB ,求直线的方程.（8分）
21．如图，21,F F 为椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左，右焦点，E D ,是椭圆的两个顶
点，32||21=F F ，5||=
DE ，若点),(00y x M 在椭圆C 上，则点),(
0b
y a x N 称为点M 的一个“椭点”.直线与椭圆交于B A ,两点，B A ,两点的“椭点”分别为Q P ,，已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .
（1）求椭圆C 的标准方程；（5分）
（2）试探讨AOB ∆的面积S 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由. （9分）
2016高二期初考试参考答案及评分标准（文）
一、选择题 题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
0 1
1
1
2
答案
D A
C
B
C
C
B
C
C
B C C 二、填空题
13.171622=+y x 14. 12 15.2
1 16. 或116922=-y x 191622=-x y 三、解答题
17解：（1） 抛物线的通径为42=p ，∴抛物线C 的方程为y x 42
= 5分 （2） ∆AOB 为正三角形.由抛物线的几何性质知：OB OA ,关于y 轴对称
∴设直线OA 的方程为y=x 3, 由 ⎪⎩⎪⎨
⎧==x
y y
x 342
⇒ x 2=4x 3 8分 ∴x A =43 y A =12 10分
∴()()
38341222
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=OA , 12分
∴S ∆AOB =
()
⨯=
⨯4
3
384
3
2
643483=⨯ 14分
18.解：（1） 椭圆的离心率e=23
，∴a 2=4b 2， ∴椭圆C 的方程可写为142222=+b
y b x
把P(21,
3)代入C 中得141
4322=+b
b ，∴ b 2=1 ， ∴椭圆C 的方程为11
42
2=+y x 6分
（2）在∆QF 1F 2中， 由余弦定理cos ︒30=
1
2
2
22122)2(QF c QF c QF ⋅⨯-+=
1
2
122
122)2(4QF c QF a c QF ⋅⨯--+, 10分
∴21=QF 12分
且2c=23,∴S ∆QF1F2=2330sin 2
1
32=︒⨯⨯
⨯ 14分 19.解：()0,61-F ，()0,62F ，1221=F F
设P 点的坐标为()00,y x ， P 点在椭圆上，且直线PF 的斜率为34-，
⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+∴346160025160
02020x y y x 4分 消
去
y 得
()[]
1600
63425162
02
0=--+x x ，
01600364825251248761602
0=-⨯⨯+⨯⨯-⨯x x
化简得 06502251902
0=+-x x ， 6分 解得50=x 或19
130
0=x ， 8分 当19
130
0=
x 时，00<y 故舍去 把50=x 代入346
00
-=-x y ，得340=y ∴P 点的坐标为()
34,5 10分 （2）32434122
1
2102121=⨯⨯=⋅=
∆y F F S F PF 14分 20.解：（1）设()11,y x A ，()22,y x B 由 ()⎩
⎨⎧-==4122x k y x
y
联立消y 得 ()[]x x k 1242
=- 即k 2x 2-(8k 2+12)x+16k 2=0,∴ x 1x 2=16 6分
(2)由（1）知x 1+x 2=2
212
8k
k +, x 1x 2=16, 代入弦长公式得4=422
1k +⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅164128222k k 10分
即4=
422
1k
+[]=+⨯4
2
1216122
k k
()(
)[]2
22
1924k k k
+⋅+,
∴42k 4=(12k 2+9)(k 2+1), 即14k 4=(4k 2+3)(k 2+1),
整理有10k 4-7k 2-3=0, ∴k 2=1,∴k=1或k= -1
∴直线l 方程为y=x-4或y= -x-4 14分
21.解：（1）由题可得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-==+222223225
c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==1
42
2b a ，故椭圆C 的标准方程为142
2=+y x .
5分
（2）设),(11y x A ，),(22y x B ，则),2(
11y x P ，),2(22y x Q .由OQ OP ⊥，
即042121=+y y x
x .（*）
①当直线AB 的斜率不存在时，1||||2
1
211=-⨯=
y y x S . 7分 ②当直线AB 的斜率存在时，设其直线为)0(≠+=m m kx y ，联立⎩⎨⎧=++=442
2y x m
kx y 得 0448)14(222=-+++m kmx x k ，则)14(1622m k -+=∆， 10分
14442221+-=k m x x ，同理1
442
2
221+-=k k m y y ，代入（*），整理得22214m k =+，此时0162
>=∆m ，22212
1|
|,||12||1||k
m h m k x x k AB +=+=
-+=， ∴1=S . 综上，AOB ∆的面积为定值1. 14分。