湖南省衡阳县第四中学高二数学下学期期末考试试题理

衡阳县四中2014-2015下学期高二期末考试
理科数学试卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题（每小题5分，共60分） 1.设随机变量
，若，则
等于
A.0.3
B.0.4
C.0.6
D.0.7
2．已知a ,b 均为非零实数，则“a b =”是“22
a b =”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 3.设曲线
在点(0，0)处的切线方程为，则的值为
A.0
B.1
C.2
D.3
4.设
为实数，若复数
i bi
a i
+=++121，则
5．已知递减的等差数列{}n a 满足2
92
1a a =，则数列{}n a 的前n 项和n S 取最大值时，
n =（ ）
A.3
B. 4或5
C.4
D.5或6
6. 阅读下图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的结果是( )
A ．3
B ．8
C ．12
D ．20
7．如图，在△ABC 中，1=AB ，3=AC ，D 是BC 的中点，则=⋅BC AD （ ）
． A ．3 B ．4 C ．5 D ．不能确定
8.2015年6月20日是我们的传统节日——”端午节”,这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件=A “取到的两个为同一种馅”，
事件=B “取到的两个都是豆沙馅”，则=)|(A B P （ ）
A.
4
3 B.
4
1 C.
10
1 D.
103
9．若直线20(0,0)-+=>>ax by a b 被圆224410++--=x y x y 所截得的弦长为6，则
23
+a b
的最小值为（ ） A.10
B.4+
5+
10．函数x x f sin )(=在区间)10,0(π上可找到n 个不同数1x ，2x ，…，n x ，使得
n
n x x f x x f x x f )()
()(2211=== ，则n 的最大值等于（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D.11
11．如图，已知双曲线C ：22
221x y a b
-=()0,0>>b a 的右顶点为,A O
为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于两点
Q P ,．若60PAQ ∠=︒且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为（ ） A
12．已知点(,)P x y 是平面区域4
0(4)y x y x m y ≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥-⎩
内的动点，点(1,1)A -，O 为坐标原点，设
||()OP OA R λλ-∈的最小值为M
，若M ≤,则实数m 的取值范围是（ ） A ．11[,]35- B ．11(,][,)35-∞-+∞ C ．1
[,)3
-+∞ D ．1[,)2-+∞
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．抛物线2
4x y =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 到x 轴的距离是 ．
14．已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，且||1,||2a b ==，则a 与b 的夹角为 ．
15．已知函数⎩⎨⎧<+≥+-=)
0()0()(22x x x x x x x f ，对任意的]1,0[∈x ，恒有)()(x f
a x f ≤+成立，
则实数a 的取值范围是 ．
16．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足
()
2
21*
-=∈n n a S n N
．若不等式18(1)n
n n a n
++⋅-≤
λ
对任意的*∈n N 恒成立，则实数λ的最大值为 ．
三、解答题（本大题共有70分，请写出必要的证明或计算过程） 17.(本题满分12分) 等差数列{}n a 中，8172,35a a a ==.
（1） 求数列{}n a 的通项公式；
设)(11*+∈=N n a a b n
n n ，求数列{}n b 的前n 项和n S .
18.（本小题共12分）设向量⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈==2,
0),sin ,(cos ),sin ,sin 3(πx x x b x x a (1)若a b →
→
=，求x 的值； (2)设函数()f x a b →→
=⋅,求()f x 的最大值.
19.（本题满分12分）
甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为3
2，甲胜丙的概率为4
1
，乙胜丙的概率为
5
1 （Ⅰ）求甲获第一名且丙获第二名的概率：
（Ⅱ）设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

20. (本题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1＝2，
AC ⊥BC ，D 为AB 的中点.
( 1 )求证：AC 1∥平面B 1CD ； ( 2 )求二面角B －B 1C －D 的正弦值.
21.（本小题满分12分）已知函数()x ax x f ln 1+-=， (1).若函数在2=x 处的切线斜率为2
1
-
，求实数a 的值； (2).若存在()+∞∈,0x 使()0≥x f 成立，求实数a 的范围；
(3).
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时请写清题号
22.（本小题满分10分）选修4 - 1：几何证明选讲
如图所示，AB 是半径为1的圆O 的直径，过点A ，B 分别引弦AD 和BE ，相交于点C ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为点F .
(1).求证:BD AC BC AE ⋅=⋅; (2).求BC ·BE ＋AC ·AD 的值。

23. (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为θρcos 2=，π0,2
θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
.
（Ⅰ）求C 的参数方程；
（Ⅱ）设点D 在半圆C 上，半圆C 在D 处的切线与直线l ：2y +垂直，根据(1)中你得到的参数方程，求直线CD 的倾斜角及D 的坐标．
24.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数1)(-=x x f
（1）解关于x 的不等式01)(2>-+x x f ; （2）若)
()(,3)(x g x f m x x g <++-=的解集非空，求实数m 的取值范围.
高二期末考试数学参考答案
一、选择题：DADAB-------BBACCBC
二、填空题： 13．1615
14．3π 15．),1[}0,1{+∞- 16．-21 17.解：（1）21
+=n a n …………6分
（2）2
2+=n n
S n ………….12分
18.
19. 解：(1)甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，
∴甲获第一的概率为
6141.32=⋅⨯⋅ ……………2分 丙获第二，则丙胜乙，其概率为
54
511=
-
…………4分
∴甲获第一名且丙获第二名的概率为
1525461=⨯ ……………6分 (2)ξ可能取的值为O 、3、6…………………………7分
甲两场比赛皆输的概率为
41
)411)(321()0(=
--==⋅ξP ……8分 甲两场只胜一场的概率为
127)321(41)411(32)3(=-⨯+-⨯=
=ξP ………9分
甲两场皆胜的概率为
614132)6(=
⨯=
=ξP 0
∴ξ的分布列为
ξ 0 3 6
P
41 127 6.1
411
6161273410=
⨯+⨯+⨯=∴ξE (2)
20. 解：(1)证明：如图，连接BC 1交B 1C 于点E ， 则E 为BC 1的中点.∵D 为AB 的中点，∴在△ABC 1中，AC 1∥DE 又AC 1⊄平面B 1CD ，DE ⊂平面B 1CD ， ∴AC 1∥平面B 1CD
(2)∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点， ∴CD ⊥AB .又平面ABC ⊥平面ABB 1A 1， ∴CD ⊥平面ABB 1A 1. ∴平面B 1CD ⊥平面B 1BD ，
过点B 作BH ⊥B 1D ，垂足为H ，则BH ⊥平面B 1CD ， 连接EH ，
∵B 1C ⊥BE ，B 1C ⊥EH ，
∴∠BEH 为二面角B －B 1C －D 的平面角. 在Rt △BHE 中，BE ＝2，BH ＝
BB 1·BD B 1D ＝2
3
， 则sin ∠BEH ＝BH
BE ＝
63
. 即二面角B －B 1C －D 的正弦值为63
.
21.解（1)..由已知：1()f x a x '=
-，∴由题知11
(2)22
f a '=-=-，解得1=a ，
(2).由已知()x
ax
x f -=
'1， 当0≤a 时，()x f '0>，所以()x f 在()+∞,0单调递增,()0≥x f ，一定符合题意； ,所以()x f 单调递增区间为⎪⎭
⎫
⎝⎛a 1,0，单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1a 。

()⎪⎭
⎫
⎝⎛=∴a f x f 1max a 1ln =,由题意知，
只需满足()⎪⎭
⎫
⎝⎛=∴a f x f 1max a 1ln =0≥10≤<⇒a 综上：1≤a .
（3 只需证2222ln 2ln3
ln 21
23
4(1)
n n n n n --++
+<+(n∈N *，n ≥2)． 只需证
22222ln 22ln3
2ln 21
23
2(1)
n n n n n --+++<
+， 只需证22
22222ln 2ln3ln 21
232(1)
n n n n n --++
+<
+． 由（1）当()1x ∈+∞，时，()0f x '<，f(x)为减函数，()0ln 1≤+-=x x x f 即1ln -≤x x ，∴ 当n ≥2时，22ln 1n n <-，
22222ln 11111111(1)1
n n n n n n n n n -<=-<-=-+++，
22
2222ln2ln3ln 23n n
+++<111221⎛⎫-++
⎪
+⎝⎭111331⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭1
111n n ⎛⎫⋅⋅⋅+-+ ⎪+⎝⎭
21121
1212(1)
n n n n n --=--+=
++， ∴ 2222ln 2ln3
ln 21
234(1)
n n n n n --++
+<+．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答
时请写清题号
22.解(1)连接BD ，BCD ACE ADB AEC ∠=∠∠=∠,,BDC ∽∆∆∴AEC
∴BD AC BC AE ⋅=⋅
(2)由题意知∠AEC ＋∠AFC ＝180°，故A ，F ，C ，E 四点共圆， 所以BC ·BE ＝BF ·BA ，①易知∠ADB ＝90°，
同理可得AC ·AD ＝AF ·AB ，②
联立①②，知BC ·BE ＋AC ·AD ＝(BF ＋AF )·AB ＝AB 2
＝22
＝4. 23.解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C 的参数方程为1cos ,sin x t y t =+⎧⎨
=⎩(t 为参数，0≤t≤π)．……5分
(2)设D(1＋cos t ，sin t)，由(1)知C 是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线CD 与l
的斜率相同，tan t π
3t =
.……8分
故D 的直角坐标为ππ1cos ,sin 33⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
，即
3,22⎛ ⎝⎭……10分
24.解：(Ⅰ)由题意原不等式可化为：2
-11-x x >
即：
1-1--11-2
2x x x x <>或……………2分
由2
-11-x x >得2-1<>x x 或 由1-1-2
x x <得01<>x x 或
综上原不等式的解为{}01<>x x x 或……………5分
(Ⅱ)原不等式等价于-13x x m ++<的解集非空.
令3
1-)(++=x x x h ，即
m
x x x h <++=min 31-)(，…………8分
由
4
3--1-31-=≥++x x x x ，所以4)(min =x h ，
所以4>m .………………10分。