2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步1_6_2垂直关系的性质课件北师大版必修2

[针对训练 1] 如图，已知平面 α∩平面 β＝l，EA⊥α，垂足 为 A，EB⊥β，垂足为 B，直线 a β，a⊥AB.求证：a∥l.
[证明] 因为 EA⊥α，α∩β＝l，即 l α，所以 l⊥EA. 同理 l⊥EB.又 EA∩EB＝E，所以 l⊥平面 EAB. 因为 EB⊥β，a β，所以 EB⊥a， 又 a⊥AB，EB∩AB＝B，所以 a⊥平面 EAB. 由线面垂直的性质定理，得 a∥l.
第
一
立体几何初步
章
§6
垂直关系
6．2
垂直关系的性质
课前自主预习
1．直线和平面垂直的性质定理
2.平面和平面垂直的性质定理
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) ((2)垂直于同一平面的两个平面平行．( ) (3)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于 第二个平面的直线在第一个平面内．即 α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥ β⇒b α.( )
题型二 平面与平面垂直的性质定理及应用 【典例 2】 如图，在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC， 平面 PAB⊥平面 PBC.求证：BC⊥AB.
[思路导引] 由 PA⊥平面 ABC 得 PA⊥BC，要证 BC⊥AB， 只需证明 BC⊥平面 PAB.
[证明] 如图，在平面 PAB 内，
作 AD⊥PB 于 D. ∵平面 PAB⊥平面 PBC， 且平面 PAB∩平面 PBC＝PB. ∴AD⊥平面 PBC. 又 BC 平面 PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面 ABC，BC 平面 ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面 PAB. 又 AB 平面 PAB，∴BC⊥AB.
垂直关系的互化及解题策略
(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这
三种关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如
下：
线线垂直
判定定理 线面垂直定义
线面垂直
判定定理 性质定理
面面垂直
(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本 原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形 的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通 过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问 题，注意应用转化思想解决问题．
(2)取 CA 的中点 N，连接 MN，BN，则 MN 綊12CE 綊 DB.
所以四边形 MNBD 为平行四边形，所以 MD∥BN. 又因为 EC⊥平面 ABC，所以 EC⊥BN，EC⊥MD.
又 DE＝DA，M 为 EA 的中点，所以 DM⊥AE，AE∩EC＝E. 所以 DM⊥平面 AEC，所以平面 BDM⊥平面 ECA. (3)由(2)知 DM⊥平面 AEC，而 DM 平面 DEA， 所以平面 DEA⊥平面 ECA.
∴VB∥平面 MOC. (2)∵AC＝BC，O 为 AB 的中点，∴OC⊥AB. 又∵平面 VAB⊥平面 ABC，且平面 VAB∩平面 ABC＝AB， OC 平面 ABC，∴OC⊥平面 VAB. ∵OC 平面 MOC，∴平面 MOC⊥平面 VAB.
求证：(1)BG⊥平面 PAD； (2)AD⊥PB.
[证明] (1)平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD ＝AD，
又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD 是正三角形，∴BG⊥AD. ∴BG⊥平面 PAD. (2)由(1)可知 BG⊥AD，由题意知△PAD 为正三角形，G 是 AD 的中点，∴PG⊥AD.又 BG∩PG＝G， ∴AD⊥平面 PBG，又 PB 平面 PBG，∴AD⊥PB.
(4)如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内的所有直线都垂直于 平面 β.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
课堂互动探究
题型一 直线与平面垂直的性质定理 【典例 1】 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是 矩形，AB⊥平面 PAD，AD＝AP，E 是 PD 的中点，M，N 分别在 AB，PC 上，且 MN⊥AB，MN⊥PC.
(2)(3)只需证明 DM⊥平面 ECA 即可．
[证明] (1)设 BD＝a，如图，作 DF∥BC 交 CE 于 F， 则 CF＝DB＝a.因为 CE⊥平面 ABC， 所以 BC⊥CF，DF⊥EC， 所以 DE＝ EF2＋DF2＝ 5a. 又因为 DB⊥平面 ABC， 所以 DA＝ DB2＋AB2＝ 5a， 所以 DE＝DA.
题型三 垂直关系的综合应用 【典例 3】 如图，△ABC 为正三角形，EC⊥平面 ABC，BD ∥CE，且 CE＝CA＝2BD，M 是 EA 的中点，求证：
(1)DE＝DA； (2)平面 BDM⊥平面 ECA； (3)平面 DEA⊥平面 ECA.
[思路导引] (1)设出 BD，分别求出 DE、DA 的长度或证明 DM⊥AE，即证 DM 为 AE 的中垂线即可．
证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一 种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考 虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直 的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其 中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．
[针对训练 2] 如图所示，P 是四边形 ABCD 所在平面外的一 点，ABCD 是∠DAB＝60°且边长为 a 的菱形．侧面 PAD 为正三 角形，其所在平面垂直于底面 ABCD，G 为 AD 边的中点．
求证：AE∥MN. [思路导引] 由 MN⊥AB，MN⊥PC，可推出 MN⊥平面 PCD， 要证 AE∥MN，只需证明 AE⊥平面 PCD 即可．
[证明] 因为 AB⊥平面 PAD，AE 平面 PAD，所以 AE⊥AB， 又 AB∥CD，所以 AE⊥CD.
因为 AD＝AP，E 是 PD 的中点，所以 AE⊥PD. 又 CD∩PD＝D，所以 AE⊥平面 PCD. 因为 MN⊥AB，AB∥CD，所以 MN⊥CD. 又因为 MN⊥PC，PC∩CD＝C， 所以 MN⊥平面 PCD，所以 AE∥MN.
[针对训练 3] 如图，在三棱锥 V－ABC 中，平面 VAB⊥平面 ABC，△VAB 为等边三角形，AC⊥BC 且 AC＝BC＝ 2，O，M 分别为 AB，VA 的中点．
(1)求证：VB∥平面 MOC； (2)求证：平面 MOC⊥平面 VAB.
[证明] (1)∵O，M 分别为 AB，VA 的中点， ∴OM∥VB. ∵VB 平面 MOC，OM 平面 MOC，
证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点． (2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平 行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂 直． (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平 行．