七年级下册数学期中试卷(含答案)doc完整

七年级下册数学期中试卷(含答案)doc 完整
一、选择题
1．4的算术平方根是（）
A ．2
B ．4
C ．2±
D ．4±
2．下列图案可以由部分图案平移得到的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 3．若点(),P a b 在第四象限，则点(),Q b a -在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 4．有下列四个命题：①对顶角相等；②同位角相等；③两点之间，直线最短；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．其中是真命题的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个． D ．3个
5．如图，如果AB ∥EF ，EF ∥CD ，下列各式正确的是（ ）
A ．∠1+∠2−∠3=90°
B ．∠1−∠2+∠3=90°
C ．∠1+∠2+∠3=90°
D ．∠2+∠3−∠1=180° 6．下列说法中正确的是（ ）
①1的平方根是1；
②5是25的算术平方根；
③（﹣4）2的平方根是﹣4；
④（﹣4）3的立方根是﹣4；
⑤0.01是0.1的一个平方根．
A ．①④
B ．②④
C ．②③
D ．②⑤ 7．如图所示，长方形ABCD 中，点
E 在CD 边上，AE ，BE 与线段FG 相交构成∠α，∠β，则∠1，∠2，∠α，∠β之间的关系是（ ）
A ．∠1＋∠2＋180°＝∠α＋∠β
B ．∠α＋∠2＝∠β＋∠1
C ．∠α＋∠β＝2（∠1＋∠2）
D ．∠1＋∠2＝∠a ﹣∠β
8．如图，()11,0A ，()21,1A ，()31,1A -，()41,1A --，()52,1A -…按此规律，点2022A 的坐标
为（ ）
A ．()505,505
B ．()506,505-
C ．()506,506
D ．()506,506-
二、填空题
9．36的平方根是_________
10．点()2,3P -关于x 轴对称的点的坐标为_________．
11．如图，在△ABC 中，∠A=50°，∠C=72°，BD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ADB=__度．
12．如图，BD 平分∠ABC ，ED ∥BC ，∠1=25°，则∠2=_____°，∠3=______°．
13．如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若∠1=54°，则∠2=____度．
14．当1x ≠-时，我们把11x -+称为x 为“和1负倒数”．如：1的“和1负倒数”为11112-=-+；-3的“和1负倒数”为11312
-=-+．若134x =-，2x 是1x 的“和1负倒数”，3x 是2x 的“和1负倒数”…依次类推，则4x ＝______；123•••x x x …•2021x ＝ _____．
15．已知点A （0，1），B （0 ，2），点C 在x 轴上，且2ABC S ∆=，则点C 的坐标________. 16．如图，在平面直角坐标系中，x AB //EG //轴，BC DE HG AP y ////////轴，点D 、C 、P 、H 在x 轴上，()1,2A ，()1,2B -，()3,0D -，()3,2E --，()3,2G -．把一条长为2018个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A 处，并按A B C D E F G H P A -------⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是_______．
三、解答题
17．计算：
（1）3181624
-+-； （2）1333⎛⎫+ ⎪⎝⎭
． 18．求下列各式中x 的值：
（1）()2
125x -=；
（2）381250x -=．
19．如图，已知∠1+∠AFE =180°，∠A =∠2，求证：∠A=∠C +∠AFC
证明：∵ ∠1+∠AFE =180°
∴ CD ∥EF （ ， ）
∵∠A=∠2 ∴（ ）
（ ， ）
∴ AB ∥CD ∥EF （ ， ）
∴ ∠A = ，∠C = ，
（ ， ）
∵∠AFE =∠EFC+∠AFC，∴ = ．
20．如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，
（1）请写出三角形ABC各点的坐标；
（2）将三角形ABC经过平移后得到三角形A1B1C1，若三角形ABC中任意一点M（a，b）与三角形A1B1C1的对应点的坐标为M1（a-1，b+2），写出A1B1C1的坐标，并画出平移后的图形；
（3）求出三角形ABC的面积．
21．数学活动课上，王老师说：“2是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你能把2的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，小明同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用2﹣1表示它的小数部分．”王老师说：“小明同学的说法是正确的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，”请你解答：
（1）填空题：3的整数部分是 ;小数部分是
（2）已知8+3＝x+y，其中x是一个整数，且0＜y＜1，求出2x+（y-3）2012的值．22．如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的边长．
23．点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段AB沿直线l向右平移得到线段CD．
（1）如图1，若点E在线段AC上，求证：∠B+∠D=∠BED；
（2）若点E不在线段AC上，试猜想并证明∠B，∠D，∠BED之间的等量关系；
（3）在（1）的条件下，如图2所示，过点B作PB//ED，在直线BP，ED之间有点M，使得∠ABE=∠EBM，∠CDE=∠EDM，同时点F使得∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，其中
n≥1，设∠BMD=m，利用（1)中的结论求∠BFD的度数（用含m，n的代数式表示）．24．如图，△ABC和△ADE有公共顶点A，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC=45°，∠DAE=30°．（1）若DE//AB，则∠EAC＝；
（2）如图1，过AC上一点O作OG⊥AC，分别交A B、A D、AE于点G、H、F．
①若AO＝2，S△AGH＝4，S△AHF＝1，求线段OF的长；
②如图2，∠AFO的平分线和∠AOF的平分线交于点M，∠FHD的平分线和∠OGB的平分线交于点N，∠N+∠M的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若改变，请说明理由．
【参考答案】
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
依据算术平方根的定义解答即可．
【详解】
4的算术平方根是2，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是求一个数的算术平方根的问题，解题关键是明确算术平方根的定义．
2．C
根据平移的定义，逐一判断即可．
【详解】
解：、是旋转变换，不是平移，选项错误，不符合题意；
、轴对称变换，不是平移，选项错误，不符合题意；
、是平移，选项正确，符合题意；
、图形的大
解析：C
【分析】
根据平移的定义，逐一判断即可．
【详解】
解：A、是旋转变换，不是平移，选项错误，不符合题意；
B、轴对称变换，不是平移，选项错误，不符合题意；
C、是平移，选项正确，符合题意；
D、图形的大小发生了变化，不是平移，选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查平移变换，解题的关键是判断图形是否由平移得到，要把握两个“不变”，图形的形状和大小不变；一个“变”，位置改变．
3．A
【分析】
首先得出第四象限点的坐标性质，进而得出Q点的位置．
【详解】
解：∵点P（a，b）在第四象限，
∴a＞0，b＜0，
∴-b＞0，
∴点Q（-b，a）在第一象限．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了点的坐标，正确把握各象限点的坐标特点是解题关键．
4．C
【分析】
根据对顶角的性质、线段的性质、平行线的性质、垂线段的性质进行解答即可．
【详解】
解：①对顶角相等，原命题是真命题；
②两直线平行，同位角相等，不是真命题；
③两点之间，线段最短，原命题不是真命题；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，原命题是真命题．
【点睛】
此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．D
【分析】
根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．【详解】
∵EF∥CD
∴∠3=∠COE
∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE
∵AB∥EF
∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，两条直线平行：内错角相等；两直线平行：同旁内角互补．6．B
【分析】
根据平方根，算术平方根，立方根的概念进行分析，从而作出判断．
【详解】
解：1的平方根是±1，故说法①错误；
5是25的算术平方根，故说法②正确；
（-4）2的平方根是±4，故说法③错误；
（-4）3的立方根是-4，故说法④正确；
0.1是0.01的一个平方根，故说法⑤错误；
综上，②④正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查了算术平方根，平方根，立方根的概念，理解相关定义，注意符号是解题关键．7．A
【分析】
根据平行线的性质可得∠AFG+∠BGF=180°，再根据三角形外角的性质可得
∠AFG+∠1=∠α，∠2+∠BGF=∠β，由此可得12180αβ
∠+∠+︒=∠+∠．
【详解】
解：∵在长方形ABCD中AD//BC，
∴∠AFG+∠BGF=180°，
又∵∠AFG+∠1=∠α，∠2+∠BGF=∠β，
∴12180αβ
∠+∠+︒=∠+∠．
故选：A．
【点睛】
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质．三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，能正确识图是解题关键．
8．C
【分析】
经观察分析所有点，除A1外，其它所有点按一定的规律分布在四个象限，且每个象限的点满足：角标÷4=循环次数+余数，余数0，1，2，3确定相应的象限，由此确定点A2022在第一象限；第一象
解析：C
【分析】
经观察分析所有点，除A 1外，其它所有点按一定的规律分布在四个象限，且每个象限的点满足：角标÷4=循环次数+余数，余数0，1，2，3确定相应的象限，由此确定点A 2022在第一象限；第一象限的点A 2（1，1），A 6（2，2），A 10（3，3）…观察易得到点的坐标=24
n +． 【详解】
解：由题可知
第一象限的点：A 2，A 6，A 10…角标除以4余数为2；
第二象限的点：A 3，A 7，A 11…角标除以4余数为3；
第三象限的点：A 4，A 8，A 12…角标除以4余数为0；
第四象限的点：A 5，A 9，A 13…角标除以4余数为1；
由上规律可知：2022÷4=505 (2)
∴点A 2022在第一象限．
观察图形，可知：点A 2的坐标为（1，1），点A 6的坐标为（2，2），点A 10的坐标为（3，3），…，
∴第一象限点的横纵坐标数字隐含规律：点的坐标=
24n +（n 为角标） ∴点A 4n-2的坐标为（24n +，24
n +）（n 为正整数）， ∴点A 2022的坐标为（506，506）．
故选C ．
【点睛】
本题考查了点的坐标正方形为单位格点变化规律，反应出点的坐标变化从特殊到一般再到特殊规律计算方法，同时也体现出第一象限点的横纵坐标数字隐含规律：点的坐标=24
n +（n 为角标）求解． 二、填空题
9．．
【详解】
【分析】先确定，再根据平方根定义可得的平方根是±.
【详解】因为，6的平方根是±，所以的平方根是±.
故正确答案为±.
【点睛】此题考核算术平方根和平方根定义.此题关键要看清符号所表示
解析：
【详解】
6=.
6=，6的平方根是
故正确答案为.
【点睛】此题考核算术平方根和平方根定义.此题关键要看清符号所表示的意义. 10．【分析】
关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而可求解．
【详解】
解：由点关于轴对称点的坐标为：，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标关于坐标轴对称问题，熟练掌握 解析：()2,3--
【分析】
关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而可求解．
【详解】
解：由点()2,3P -关于x 轴对称点的坐标为：()2,3--，
故答案为()2,3--．
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标关于坐标轴对称问题，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的方法是解题的关键．
11．101
【分析】
直接利用三角形内角和定理得出∠ABC 的度数，再利用角平分线的性质结合三
角形内角和定理得出答案．
【详解】
∵在△ABC中,∠A=50°,∠C=72°，
∴∠ABC=180°−50°
解析：101
【分析】
直接利用三角形内角和定理得出∠ABC的度数，再利用角平分线的性质结合三角形内角和定理得出答案．
【详解】
∵在△ABC中,∠A=50°,∠C=72°，
∴∠ABC=180°−50°−72°=58°，
∵BD是△ABC的一条角平分线，
∴∠ABD=29°，
∴∠ADB=180°−50°−29°=101°.
故答案为：101.
【点睛】
此题考查三角形内角和定理，解题关键在于掌握其定理.
12．50
【分析】
由两直线平行，内错角、同位角分别相等可得出∠2=∠DBC，
∠3=∠ABC=∠1+∠DBC，又由BD平分∠ABC得出∠DBC=∠1=25°，利用等价替换法分别求出∠2和∠3即可
解析：50
【分析】
由两直线平行，内错角、同位角分别相等可得出∠2=∠DBC，∠3=∠ABC=∠1+∠DBC，又由BD平分∠ABC得出∠DBC=∠1=25°，利用等价替换法分别求出∠2和∠3即可．
【详解】
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠1=25°；
又∵ED∥BC，
∴∠2=∠DBC=25°，∠3=∠ABC=∠1+∠DBC=50°．
故答案为：25、50．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同位角相等，解题过程中采用了等量代换的方法．
13．72
【分析】
根据平行线的性质可得，由折叠的性质可知，由平角的定义即可求得．
【详解】
解：如图，
长方形的两边平行，
，
折叠，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，折叠的
解析：72
【分析】
根据平行线的性质可得13∠=∠，由折叠的性质可知34∠=∠，由平角的定义即可求得2∠．
【详解】
解：如图，
长方形的两边平行，
∴13∠=∠，
折叠，
∴34∠=∠，
218034180545472∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．
故答案为：72．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握以上知识是解题的关键．
14．【分析】
根据“和1负倒数”的定义分别计算、、、…，可得到数字的变化规律：从开始每3个数为一周期循环，由此即可解答．
【详解】
解：由“和1负倒数”定义和可得：
，
，
，
……
由此可得出从开 解析：34
-
【分析】
根据“和1负倒数”的定义分别计算2x 、3x 、4x 、5x …，可得到数字的变化规律：从1x 开始每3个数为一周期循环，由此即可解答．
【详解】
解：由“和1负倒数”定义和134x =-可得： 214314
x =-=--+， 311413x =-
=-+， 41
31413x =-=-+，
514314
x =-=--+ ……
由此可得出从1x 开始每3个数为一周期循环，
∵2021÷3=673…2，
∴20214x =-，202034x =-，又1x ·2x ．3x = 31(4)43
-⨯-⨯=1， ∴123•••x x x …•2021x ＝3(4)4
-⨯-=3， 故答案为：34
-；3． 【点睛】
本题考查新定义的实数运算、数字型规律探究，理解新定义的运算法则，正确得出数字的变化规律是解答的关键．
15．（4,0）或（﹣4,0）
【详解】
试题解析：设C 点坐标为（|x|，0）
∴
解得：x=±4
所以，点C 的坐标为（4，0）或（-4，0）.
解析：（4,0）或（﹣4,0）
【详解】
试题解析：设C 点坐标为（|x |，0） ∴1=(21)22
ABC S x ∆⨯⨯-= 解得：x =±4
所以，点C 的坐标为（4，0）或（-4，0）.
16．（1，0）
【分析】
先求出凸形ABCDEFGHP 的周长为20，得到2018÷20的余数为18，由此即可解决问题．
【详解】
解：∵A （1，2），B （-1，2），D （-3，0），E （-3，-2），G
解析：（1，0）
【分析】
先求出凸形ABCDEFGHP 的周长为20，得到2018÷20的余数为18，由此即可解决问题．
【详解】
解：∵A （1，2），B （-1，2），D （-3，0），E （-3，-2），G （3，-2），
∴“凸”形ABCDEFGHP 的周长为20，
2018÷20的余数为18，
∴细线另一端所在位置的点在P 处，坐标为（1，0）．
故答案为：（1，0）．
【点睛】
本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是理解题意，求出“凸”形的周长，属于中考常考题型．
三、解答题
17．（1）0.5；（2）4
【分析】
（1）根据立方根，算术平方根的定义对各项进行化简，最后相加减即可； （2）根据实数的混合运算法则进行求解．
【详解】
解：（1）；
（2）．
【点睛】
本题考查实数
解析：（1）0.5；（2）4
【分析】
（1）根据立方根，算术平方根的定义对各项进行化简，最后相加减即可；
（2）根据实数的混合运算法则进行求解．
【详解】
解：（13242=-+-0.5=；
（2
31=+4=． 【点睛】
本题考查实数的运算，熟练掌握立方根，算术平方根的定义是解题的关键．
18．（1）或；（2）
【分析】
（1）直接根据求平方根的方法解方程即可；
（2）直接根据求立方根的方法解方程即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴或；
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题主
解析：（1）6x =或4x =-；（2）52
x =
【分析】
（1）直接根据求平方根的方法解方程即可；
（2）直接根据求立方根的方法解方程即可．
【详解】
解：（1）∵()2125x -=，
∴15x -=±，
∴15x =±，
∴6x =或4x =-；
（2）∵381250x -=， ∴31258x =
， ∴52
x =． 【点睛】
本题主要考查了利用求平方根和求立方根的方法解方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
19．同旁内角互补两直线平行；AB ∥CD ；同位角相等，两直线平行；两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行；∠AFE ，∠EFC ；两直线平行，内错角相等；∠A ，∠C+∠AFC ．
【分析】
根据同旁
解析：同旁内角互补两直线平行；AB ∥CD ；同位角相等，两直线平行；两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行；∠AFE ，∠EFC ；两直线平行，内错角相等；∠A ，∠C +∠AFC ．
【分析】
根据同旁内角互补，两直线平行可得 CD ∥EF ，根据∠A=∠2利用同位角相等，两直线平行，AB ∥CD ，根据平行同一直线的两条直线平行可得AB ∥CD ∥EF 根据平行线的性质可得∠A =∠AFE ，∠C =∠EFC ，根据角的和可得 ∠AFE =∠EFC +∠AFC 即可．
【详解】
证明：∵ ∠1+∠AFE =180°
∴ CD ∥EF （同旁内角互补，两直线平行），
∵∠A=∠2 ，
∴（ AB ∥CD ） （同位角相等，两直线平行），
∴ AB ∥CD ∥EF （两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行）
∴ ∠A = ∠AFE ，∠C = ∠EFC ，（两直线平行，内错角相等）
∵ ∠AFE =∠EFC +∠AFC ，
∴ ∠A = ∠C +∠AFC ．
故答案为同旁内角互补两直线平行；AB ∥CD ；同位角相等，两直线平行；两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行；∠AFE ，∠EFC ；两直线平行，内错角相等；∠A ，∠C +∠AFC ．
【点睛】
本题考查平行线的性质与判定，角的和差，掌握平行线的性质与判定是解题关键． 20．（1）A （-2，-2），B （3，1），C （0，2）；（2）A1（-3，0），B1（2，3），C1（-1，4），图见详解；（3）7
【分析】
（1）利用点的坐标的表示方法分别写出点A、B、C的坐标；
解析：（1）A（-2，-2），B（3，1），C（0，2）；（2）A1（-3，0），B1（2，3），C1（-1，4），图见详解；（3）7
【分析】
（1）利用点的坐标的表示方法分别写出点A、B、C的坐标；
（2）先利用点的坐标平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（3）利用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积计算三角形ABC的面积．
【详解】
解：（1）如图观察可得：A（-2，-2），B（3，1），C（0，2）；
（2）根据三角形ABC中任意一点M（a，b）与三角形A1B1C1的对应点的坐标为M1（a-1，b+2）可知，△ABC向左平移一个单位长度，向上平移两个单位长度，
平移后坐标为：A1（-3，0），B1（2，3），C1（-1，4），
平移后的△A1B1C1如下图所示：
；
（3）
111
545313247
222
ABC
S= =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯．
【点睛】
本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
21．（1）1；-1（2）19
【分析】
(1)根据已知的条件就可以求出；
（2）先估算的范围，进一步确定8+的范围，即可求出x，y的值，即可解答．【详解】
解：（1）∵1＜＜2，
∴的整数部分是1；小
解析：（1）1（2）19
【分析】
(1)根据已知的条件就可以求出；
（2x，y的值，即可解答．【详解】
解：（1）∵12，
∴1；
（2）解：∵12，
∴9＜10，
∵x+y，且x是一个整数，0＜y＜1，
∴x＝9，y＝91，
∴2x+（
2012=2×9+2012=18+1=19．
【点睛】
22．（1）棱长为4；（2）边长为：（或）
【分析】
（1）由立方体的体积为棱长的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接计算得到答案．
【详解】
解：（1）设正方体的棱长为，则，所以，即正方体的棱长为4．
解析：（1）棱长为4；（2
【分析】
（1）由立方体的体积为棱长的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接计算得到答案．【详解】
解：（1）设正方体的棱长为x，则364
x=，即正方体的棱长为4．
x=，所以4
（2）因为正方体的棱长为4，所以AB=
【点睛】
本题考查的是立方根与算术平方根的理解与计算，由实际的情境去理解问题本身就是求一个数的立方根与算术平方根是关键．
23．（1）见解析；（2）当点E在CA的延长线上时，∠BED=∠D-∠B；当点E 在AC的延长线上时，∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D；（3）
【分析】
（1）如图1中，过点E作ET∥AB．利用平行
解析：（1）见解析；（2）当点E在CA的延长线上时，∠BED=∠D-∠B；当点E在AC的
延长线上时，∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D；（3）
()1
2
m n
n
-
【分析】
（1）如图1中，过点E作ET∥A B．利用平行线的性质解决问题．
（2）分两种情形：如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可．
（3）利用（1）中结论，可得∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BFD=∠ABF+∠CDF，由此解决问题即可．
【详解】
解：（1）证明：如图1中，过点E作ET∥A B．由平移可得AB∥CD，
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．
（2）如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，过点E作ET∥A B．
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B．
如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，过点E作ET∥A B．
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D．
（3）如图，设∠ABE =∠EBM =x ，∠CDE =∠EDM =y ，
∵AB ∥CD ，
∴∠BMD =∠ABM +∠CDM ，
∴m =2x +2y ，
∴x +y =12m ， ∵∠BFD =∠ABF +∠CDF ，∠ABE =n ∠EBF ，∠CDE =n ∠EDF ，
∴∠BFD =
()111n n n x y x y n n n ---+=+=112n m n -⨯=()12m n n -． 【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 24．（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°
【分析】
（1）利用平行线的性质求解即可．
（2）①利用三角形的面积求出GH ，HF ，再证明AO=OG=2，可得结论． ②利用角平分线的定
解析：（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M +∠N =142.5°
【分析】
（1）利用平行线的性质求解即可．
（2）①利用三角形的面积求出GH ，HF ，再证明AO =OG =2，可得结论．
②利用角平分线的定义求出∠M ，∠N （用∠FAO 表示），可得结论．
【详解】
解：（1）如图，
∵AB ∥ED
∴∠E =∠EAB =90°（两直线平行，内错角相等），
∵∠BAC =45°，
∴∠CAE=90°-45°=45°．故答案为：45°．（2）①如图1中，
∵OG⊥AC，
∴∠AOG=90°，
∵∠OAG=45°，
∴∠OAG=∠OGA=45°，∴AO=OG=2，
∵S△AHG=1
2•GH•AO=4，S△AHF=1
2
•FH•AO=1，
∴GH=4，FH=1，
∴OF=GH-HF-OG=4-1-2=1．
②结论：∠N+∠M=142.5°，度数不变．理由：如图2中，
∵MF，MO分别平分∠AFO，∠AOF，
∴∠M=180°-1
2（∠AFO+∠AOF）=180°-1
2
（180°-∠FAO）=90°+1
2
∠FAO，
∵NH，NG分别平分∠DHG，∠BGH，
∴∠N=180°-1
2
（∠DHG+∠BGH）
=180°-1
2
（∠HAG+∠AGH+∠HAG+∠AHG）
=180°-1
2
（180°+∠HAG）
=90°-1
2
∠HAG
=90°-1
2
（30°+∠FAO+45°）
=52.5°-1
2
∠FAO，
∴∠M+∠N=142.5°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，最后一个问题的解题关键是用∠FAO表示出∠M，∠N．。