【单元练】襄樊市第五中学九年级数学上册第二十四章《圆》经典测试(课后培优)

一、选择题
1．如图在ABC中，∠B=90°，AC=10，作ABC的内切圆圆O，分别与AB、BC、AC相切于点D、E、F，设AD=x，ABC的面积为S，则S关于x的函数图像大致为（）
A．B．
C．
D．A
解析：A
【分析】
连接OD、OE，根据三角形内切圆证得四边形DBEO是正方形，在根据勾股定理即可得解；【详解】
连接OD、OE，如图，O的半径为r，
∵△ABC的内切圆O分别于AB、BC、AC相切与点D、E、F，
∴⊥OD AB ，OE BC ⊥，AF=AD=x ，CE=CF=10-x ，
易得四边形DBEO 是正方形，
∴DB BE OD r ===， ∵()()2△1110101022ABC S r AB BC AC r x r r x r r =
++=+++-+=+，
∵222AB BC AC +=，
∴
()()2221010x r x r ++-+=， ∴
221010r r x x +=-+， ∴()2210525S x x x =-+=--+（0＜x ＜10）．
故答案选A ．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，三角形的内切圆与圆心，函数图像，准确分析判断是解题的关键．
2．如图，一条公路的拐弯处是一段圆弧AB ，点O 是这段弧所在的圆的圆心，
20cm AB =，点C 是AB 的中点，点D 是AB 的中点，且5cm CD =，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A ．10cm
B ．12.5cm
C ．15cm
D ．17cm B
解析：B
【分析】 根据题意，可以推出AD ＝BD ＝10，若设半径为r ，则OD ＝r ﹣5，OA ＝r ，结合勾股定理可推出半径r 的值．
【详解】
解：∵OC ⊥AB ，AB ＝20，
∴AD ＝DB ＝10，
在Rt AOD 中，OA 2＝OD 2+AD 2，
设半径为r 得：r 2＝（r ﹣5）2+102，
解得：r ＝12.5，
∴这段弯路的半径为12.5，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OA的长度．
3．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D、C．若
∠ACB=30°，AB= 3，则阴影部分的面积（）
A．
3
2
B．
3
3
C．
3π
26
-D．
3π
36
-C
解析：C
【分析】
首先求出∠AOB，OB，然后利用S阴＝S△ABO−S扇形OBD计算即可．【详解】
连接OB．
∵AB是⊙O切线，
∴OB⊥AB，
∵OC＝OB，∠C＝30°，
∴∠C＝∠OBC＝30°，
∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°，
在Rt△ABO中，∵∠ABO＝90°，AB3∠A＝30°，
∴OB＝ABtan30°=1，
∴S阴＝S△ABO−S扇形OBD＝1
23
2
601
360
π⋅
＝
3π
26
-．
故选：C．
【点睛】
本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，直角三角形30度角性质，解题的关键是学会分割法求面积，记住扇形面积公式，属于中考常考题型．
4．如图，不等边ABC内接于O，下列结论不成立的是（）
A ．12∠=∠
B ．14∠=∠
C ．2AOB ACB ∠=∠
D ．23ACB ∠=∠+∠B
解析：B
【分析】 利用OB=OC 可对A 选项的结论进行判断；由于AB≠BC ，则∠BOC≠∠AOB ，而∠BOC=180°-2∠1，∠AOB=180°-2∠4，则∠1≠∠4，于是可对B 选项的结论进行判断；根据圆周角定理可对C 选项的结论进行判断；利用∠OCA=∠3，∠1=∠2可对D 选项的结论进行判断．
【详解】
解：∵OB=OC ，
∴∠1=∠2，所以A 选项的结论成立；
∵OA=OB ，
∴∠4=∠OBA ，
∴∠AOB=180°-∠4-∠OBA=180°-2∠4，
∵△ABC 为不等边三角形，
∴AB≠BC ，
∴∠BOC≠∠AOB ，
而∠BOC=180°-∠1-∠2=180°-2∠1，
∴∠1≠∠4，所以B 选项的结论不成立；
∵∠AOB 与∠ACB 都对弧AB ，
∴∠AOB=2∠ACB ，所以C 选项的结论成立；
∵OA=OC ，
∴∠OCA=∠3，
∴∠ACB=∠1+∠OCA=∠2+∠3，所以D 选项的结论成立．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和等腰三角形的性质．
5．如图，AB 为O 的弦，半径OC 交AB 于点D ，AD DB =，5OC =，3OD =，则AB 的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2A
解析：A
【分析】
连接OB，根据⊙O的半径为5，CD＝2得出OD的长，再由垂径定理的推论得出OC⊥AB，由勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．
【详解】
解：连接OB，如图所示：
∵⊙O的半径为5，OD＝3，
∵AD＝DB，
∴OC⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∴2222
=-=-=，
.534
BD OB OD
∴AB＝2BD＝8．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是垂径定理以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
6．如图，⊙O的半径为1，点 O到直线a的距离为2，点 P是直线a上的一个动点，PA切⊙O于点 A，则 PA的最小值是（）
A．1 B3C．2 D5
解析：B
【分析】
因为PA 为切线，所以△OPA 是直角三角形．又OA 为半径为定值，所以当OP 最小时，PA 最小．根据垂线段最短，知OP=2时PA 最小．运用勾股定理求解．
【详解】
解：作OP ⊥a 于P 点，则OP=2．
根据题意，在Rt △OPA 中， AP=22OP OA -=2221=3-
故选：B ．
【点睛】
此题考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PA 最小时点P 的位置是解题的关键，难度中等偏上．
7．如图，大半圆中有n 个小半圆，若大半圆弧长为1L ，n 个小半圆弧长的和为2L ，大半圆的弦AB ，BC ，CD 的长度和为3L ．则（ ）
A ．123L L L =>
B ．123L L L =<
C ．无法比较1L 、2L 、3L 间的大小关系
D ．132L L L >>A
解析：A
【分析】
利用圆周长公式计算1L 和2L 的长．根据圆周长公式分别写出1L 和2L 的表达式进行比较，再根据“两点之间线段最短的性质”得出13L L >，即可选出答案．
【详解】
解：设n 个小半圆半径依次为1r ，2r ，⋯，n r ．
则大圆半径为()12n r r r ++⋯+
()112n L r r r π∴=++⋯+，
212n L r r r πππ=++⋯+
()12n r r r π=++⋯+，
12L L ∴=；
根据“两点之间线段最短的性质”可得：13L L >，
123L L L ∴=>．．
故选A ．
【点睛】
本题考查了半圆弧长的计算，两点之间线段最短的性质，是基础题，难度不大． 8．如图，ABC 的顶点A 是O 上的一个动点，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，边AC ，AB 分别交O 于点E ，D ，分别过点E ，D 作O 的切线交于点F ，且点F 恰好在边BC 上，连接OC ，若O 的半径为6，则OC 的最大值为（ ）
A 393
B ．2103
C ．353
D ．53A
解析：A
【分析】 先推出∠DOE=2∠DAE=60°，连接OE ，OD ，OF ，证明Rt △EFO ≌Rt △DFO ，得到∠EOF=∠DOF=30°，根据EO=6，在Rt △EFO 中，∠EOF=30°，得出EF=23C 在以EF 为直径的半圆上，设EF 中点为G ，得出当OC 经过半圆圆心G 时，OC 最长，即OC 的值最大，求出OG ，CG 即可得出答案．
【详解】
在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠DAE 是DE 所对的圆周角，∠DOE 是DE 所对的圆心角，
∴∠DOE=2∠DAE=60°，
连接OE ，OD ，OF ，
∵过点E，D作O的切线交于点F，∴∠FEO=∠FDO=90°，
∴在Rt△EFO和Rt△DFO中
EO DO FO FO
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴Rt△EFO≌Rt△DFO（HL），
∴∠EOF=∠DOF=30°，
又∵EO=6，在Rt△EFO中，∠EOF=30°，∴EF=23，
又∵点F恰好是腰BC上的点，∠ECF=90°，∴点C在以EF为直径的半圆上，
∴设EF中点为G，则EG=FG=CG=1
2EF=
1
2
×23=3，
∴当OC经过半圆圆心G时，OC最长，即OC的值最大，
在Rt△OEG中，OE=6，EG=3，
∴OG=22
OE EG
+=39，
∴OC=OG+CG=39+3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆的性质，证明
Rt△EFO≌Rt△DFO是解题关键．
9．如图，⊙P与y轴相切于点C（0，3），与x轴相交于点A（1，0），B（7，0），直线y=kx-1恰好平分⊙P的面积，那么k的值是（）
A．1
2
B．
4
5
C．1 D．
4
3
C
解析：C
【分析】
连接PC ，PA ，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，根据切线的性质可知PC ⊥y 轴，故可得出四边形PDOC 是矩形，所以PD=OC=3，再求出AB 的长，由垂径定理可得出AD 的长，故可得出OD 的长，进而得出P 点坐标，再把P 点坐标代入直线y=kx-1即可得出结论．
【详解】
解：连接PC ，PA ，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，
∵⊙P 与y 轴相切于点C （0，3），
∴PC ⊥y 轴，
∴四边形PDOC 是矩形，
∴PD=OC=3，
∵A （1，0），B （7，0），
∴AB=7-1=6，
∴AD=12AB=12
×6=3， ∴OD=AD+OA=3+1=4，
∴P （4，3），
∵直线y=kx-1恰好平分⊙P 的面积，
∴3=4k-1，解得k=1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出P 点坐标即可得出结论．
10．如图，四边形ABCD 内接于O ，若108B ∠=︒，则D ∠的大小为（ ）
A ．36°
B ．54°
C ．62°
D ．72°D
解析：D
【分析】 运用圆内接四边形对角互补计算即可．
【详解】
∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠B ＝108°，
∴∠D＝180°−∠B＝180°−108°＝72°，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．
二、填空题
11．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°，则AB的长为________
【分析】连接AB并延长BO交圆于C连接
ACPAPB是⊙O的切线由切线长定理知PA=PB；又∠P=60°则等腰三角形APB是等边三角形则有∠ABP=60°BC是直径；由直径对的圆周角是直角得∠PBC=
解析：23
【分析】
连接AB，并延长BO交圆于C，连接AC，PA、PB是⊙O的切线，由切线长定理知PA=PB；又∠P=60°，则等腰三角形APB是等边三角形，则有∠ABP=60°，BC是直径；由直径对的圆周角是直角得∠PBC=90°，则在Rt△ABC中，有∠ABC=30°，进而可知AB的长．
【详解】
解：连接AB，并延长BO交圆于C，连接AC，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，
又∵∠P=60°，
∴∠PBA=60°；
又∵BC是圆的直径，
∴CB⊥PB，∠BAC=90°，
∴∠ABC=30°，
而BC=4，
∴在Rt △ABC 中，cos30°=AB BC ， ∴AB=4×32
=23． 故答案为：23
【点睛】
本题利用了切线长定理，等边三角形的判定和性质，弦切角定理，直角三角形的性质，正弦的概念求解．注意本题的解法不唯一．掌握相关知识是解题的关键． 12．已知O 的面积为π，则其内接正六边形的边长为______．1【分析】首先根据圆的面积求出圆的半径再证明△AOB 是等边三角形即可得到结论【详解】解：如图的面积为设半径为r ∴解得∵OA=OB 为等边三角形故故答案为：1【点睛】本题考查的是正多边形和圆熟知正六边形
解析：1
【分析】
首先根据圆的面积求出圆的半径，再证明△AOB 是等边三角形即可得到结论．
【详解】
解：如图，
O 的面积为π，设半径为r ，
2S r ππ∴==，
∴21r =，
解得，1r =，
∵360606
AOB ︒∠==︒，OA=OB AOB ∴为等边三角形，
故1AB OA ==．
故答案为：1
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的半径与边长相等是解答此题的关键． 13．如图，PA ，PB 分别与O 相切于A 、B 两点，点C 为劣弧AB 上任意一点，过点C 的切线分别交AP ，BP 于D ，E 两点．若8AP =，则PDE △的周长为______．
16【分析】根据切线的性质和切线长定理得到
DA=DCBE=ECAP=BP然后根据三角形周长公式等量代换线段和差解答即可【详解】解：∵DADCEBECAPPB分别是的切线∴DA=DCEB=ECPA=P
解析：16
【分析】
根据切线的性质和切线长定理得到DA=DC、BE=EC、AP=BP，然后根据三角形周长公式、等量代换、线段和差解答即可．
【详解】
解：∵DA、DC、EB、EC、AP、PB分别是O的切线，8
AP=
∴DA=DC，EB=EC，PA=PB=8，
∵DE=EC+CD
∴DE=BE+DA，
∴PDE
△的周长为PD+PE+DE=PD+DA+PE+BE=PA+PB=16．
故答案为：16．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质、切线长定理等知识点，掌握切线长定理是解答本题的关键．14．如图，点C，D是半圈O的三等分点，直径43
AB=．连结AC交半径OD于E，则阴影部分的面积是_______．
【分析】连接OC由点CD是半圆O的三等分点得到根据
垂径定理得到OD⊥AC∠DOC=60°求得OE=CE=3根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【详解】解：连接OC∵点CD是半圆O的三等分点∴∴OD
解析：
33 2
2π-
【分析】
连接OC，由点C，D是半圆O的三等分点，得到AD CD CB
==，根据垂径定理得到OD⊥AC，∠DOC=60°，求得3CE=3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：连接OC，
∵点C ，D 是半圆O 的三等分点，
∴AD CD CB ==，
∴OD ⊥AC ，∠DOC=60°，
∴∠OCE=30°， ∵3AB =
∴3∴3CE=3，
∴S 阴影=S 扇形COD -S △OCE 260(23)1333322ππ⋅⋅-⨯=-． 故答案为：3322π-
． 【点睛】
本题考查了扇形的面积的计算，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
15．在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，以点C 为圆心，2.5为半径作圆，那么直线AB 与这个圆的位置关系分别是_________．相交【分析】根据勾股定理作于点则的长即为圆心到的距离利用等积法求出的长与半径比较大小再作判断【详解】解：如图作于点∵的两条直角边斜边即半径是直线与圆相交【点睛】此题考查的是勾股定理直线与圆的位置关系
解析：相交
【分析】
根据勾股定理，5AB =．作CD AB ⊥于点D ，则CD 的长即为圆心C 到AB 的距离．利用等积法求出CD 的长，与半径比较大小，再作判断．
【详解】
解： 如图， 作CD AB ⊥于点D ．
∵Rt ABC 的两条直角边3BC =，4AC =，
∴斜边5AB =．
1122
ABC S AC BC AB CD ∆==，即 512CD ，
2.4CD ．
半径是2.5 2.4>，
∴直线与圆C 相交 ．
【点睛】
此题考查的是勾股定理，直线与圆的位置关系，熟悉相关性质是解题的关键．
16．如图，AB是O的直径，CD是O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知2
AB DE
=，若COD
∆为直角三角形，则E
∠的度数为______︒．
【分析】由于AB是⊙O的直径则AB＝2DO而AB＝
2DE可得DO＝DE根据等腰三角形的性质得到∠DOE＝∠E又由于△COD为直角三角形而OC＝OD所以△COD为等腰直角三角形于是可得∠CDO＝45°
解析：22.5︒
【分析】
由于AB是⊙O的直径，则AB＝2DO，而AB＝2DE，可得DO＝DE，根据等腰三角形的性质得到∠DOE＝∠E，又由于△COD为直角三角形，而OC＝OD，所以△COD为等腰直角三角
形，于是可得∠CDO＝45°，利用三角形外角性质有∠CDO＝∠DOE＋∠E，则∠E＝1 2
∠CDO＝22.5°．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∵AB＝2DO，
而AB＝2DE，
∴DO＝DE，
∴∠DOE＝∠E，
∵△COD为直角三角形，
而OC＝OD，
∴△COD为等腰直角三角形，∴∠CDO＝45°，
∵∠CDO＝∠DOE＋∠E，
∴∠E＝1
2
∠CDO＝22.5°．故答案为：22.5°．
【点睛】
本题考查了圆的认识：圆上任意两点的连线段叫圆的弦；过圆心的弦叫圆的直径；直径的长等于半径的2倍．也考查了等腰直角三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．17．已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为_____．【分析】利用三角形三边分别为345可得三角形是直角三角形根据内切圆的性质可判定四边形OECE是正方形所以用r分别表示：CE＝CD＝rAE＝AN＝3−rBD＝BN ＝4−r；再利用AB作为相等关系求出r
解析：5
2
【分析】
利用三角形三边分别为3、4、5，可得三角形是直角三角形，根据内切圆的性质可判定四边形OECE是正方形，所以用r分别表示：CE＝CD＝r，AE＝AN＝3−r，BD＝BN＝4−r；再利用AB作为相等关系求出r＝1，则可得AN＝2，N为圆与AB的切点，M为AB的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M为外接圆的圆心；在Rt△OMN中，先
求得MN＝AM−AN＝1
2
，由勾股定理可求得OM的长．
【详解】
解：∵三角形三边分别为3、4、5，
∴32+42＝52，
∴三角形是直角三角形，
如图，设Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
设Rt△ABC的内切圆的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵∠C＝90°，
∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝3﹣r，BD＝BN＝4﹣r，
∴4﹣r+3﹣r＝5，
解得r＝1，
∴AN＝2，
在Rt△OMN中，MN＝AM﹣AN＝1
2
，
∴OM＝5
2
．
则该三角形内心与外心之间的距离为52
． 故答案为：
52
． 【点睛】 此题考查了直角三角形的外心与内心概念、勾股定理的逆定理、内切圆的性质．解决本题的关键是掌握直角三角形的外心与内心概念．
18．如图，四边形ABCD 内接于O ，若76A ∠=︒，则C ∠=_______ °．
104【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算即
可【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ∴∠A+∠C ＝180°∴∠C ＝180°﹣∠A ＝180°﹣76°＝104°故答案为：104【点睛】本题考查的是
解析：104
【分析】
根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，
∴∠A +∠C ＝180°，
∴∠C ＝180°﹣∠A
＝180°﹣76°
＝104°，
故答案为：104．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 19．小红在手工制作课上，用面积为215cm π，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为_______cm ．1【分析】根据扇形的面积公式与圆的周长公式即可求解【详解】由得：扇形的弧长=（厘米）圆锥的底面半径=（厘米）故答案是：1【点睛】本题主要考查圆锥的底面半径掌握圆锥的侧面扇形弧长等于底面周长是解题的关键
解析：1
【分析】
根据扇形的面积公式与圆的周长公式，即可求解．
【详解】 由1=2
S lR 扇形得：扇形的弧长=215152ππ⨯÷=（厘米）， 圆锥的底面半径=221ππ÷÷=（厘米）．
故答案是：1．
【点睛】
本题主要考查圆锥的底面半径，掌握圆锥的侧面扇形弧长等于底面周长，是解题的关键． 20．湖州南浔镇河流密如蛛网，民间有“千步一桥”之说．如图，某圆弧形桥拱的跨度AB =12米，拱高CD =4米，则该拱桥的半径为____米．
65【分析】根据垂径定理的推论此圆的圆心在CD 所在的直
线上设圆心是O 连接OA 根据垂径定理和勾股定理求解【详解】根据垂径定理的推论知此圆的圆心在CD 所在的直线上设圆心是O 连接OA 拱桥的跨度AB=12m
解析：6.5
【分析】
根据垂径定理的推论，此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ．连接OA ．根据垂径定理和勾股定理求解．
【详解】
根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ，连接OA ． 拱桥的跨度AB =12m ，拱高CD =4m ，
根据垂径定理，得AD=6 m ，
利用勾股定理可得：()2
2264AO AO =--，
解得：AO =6.5m ．
即圆弧半径为6.5米，
故答案为：6.5．
【点睛】
本题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意由半径、半弦、弦心距构造的直角三角形进行有关的计算． 三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，3），点B （4，0），点C （0，﹣1）． （1）以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C ；
（2）在（1）中的条件下，
①点A 经过的路径1AA 的长为 （结果保留π）；
②写出点B′的坐标为 ．
解析：（1）见解析；（2）①
52
π；②（﹣1，3） ． 【分析】 （1）根据旋转的定义作出点A 、B 绕点C 逆时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接即可；
（2）①根据弧长公式列式计算即可；②根据（1）中所作图形可得点B '的坐标；
【详解】
（1）如图所示，△A B C ''即为所求；
（2）① ∵AC 2234=5+，∠ACA′＝90°，
∴点A 经过的路径ACA ' 的长为
90551802ππ⨯⨯= ， 故答案为：52
π ；
②由图知点B '的坐标为(﹣1，3)，
故答案为：(﹣1，3)．
【点睛】
本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是根据旋转角度、旋转方向、旋转中心作出对应点；
22．如图，已知AB 是O 的一条弦，DE 是O 的直径且DE AB ⊥于点C ． （1）若3,5OC OA ==，求AB 的长；
（2）求证：EAO BAD ∠=∠．
解析：（1）8AB =；（2）见解析
【分析】
（1）由DE ⊥AB ，得∠OCA ＝90°，OC ＝3，OA ＝5，通过勾股定理即可求出AC ；由DE 是⊙O 的直径，所以DE 平分AB ，得到AB ＝2AC ，即可得到AB ；
（2）由OA ＝OE ，得∠EAO ＝∠E ，而直径DE ⊥AB ，则AD BD =，所以∠E ＝∠BAD ，由此得到∠EAO ＝∠BAD ．
【详解】
（1）∵DE ⊥AB
∴∠OCA=90°，
则OC 2+AC 2=OA 2
又∵OC ＝3，OA ＝5，
∴AC=4，
∵DE 是⊙O 的直径，且DE ⊥AB ，
∴AB ＝2AC=8
（2）证明∵ EO=AO ，
∴∠E=∠EAO
又∵DE 是⊙O 的直径，且DE ⊥AB ，
∴AD BD =，
∴∠E=∠BAD
∴∠EAO ＝∠BAD ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了垂径定理以及勾股定理．
23．正方形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，E 是⊙O 上的一点．
（1）如图1，若点E 在AB 上，F 是DE 上的一点，DF ＝BE ．
①求证：ADF ≌ABE ；
②求证：DE ﹣BE ＝2AE ．
（2）如图2，若点E 在AD 上，直接写出线段DE 、BE 、AE 之间的等量关系．
解析：（1）①见解析；②见解析；（2）BE ﹣DE ＝2AE
【分析】
（1）①易证AD ＝AB ，EB ＝DF ，所以只需证明∠ADF ＝∠ABE ，利用同弧所对的圆周角相等不难得出，从而证明全等；
②易证AEF 是等腰直角三角形，所以EF ＝2AE ，所以只需证明DE ﹣BE ＝EF 即可，由BE ＝DF 不难证明此问题；
（2）类比（1）不难得出（2）的结论．
【详解】
（1）①证明：在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，
∵∠1和∠2都对AE ，
∴∠1＝∠2，
在ADF 和ABE 中，
12AB AD BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ADF ≌ABE （SAS ）；
②由①有ADF ≌
ABE ， ∴AF ＝AE ，∠3＝∠4．
在正方形ABCD中，∠BAD＝90°．
∴∠BAF+∠3＝90°．
∴∠BAF+∠4＝90°．
∴∠EAF＝90°．
∴EAF是等腰直角三角形．
∴EF2＝AE2+AF2．
∴EF2＝2AE2．
∴EF＝2AE．
即DE﹣DF＝2AE．
∴DE﹣BE＝2AE．
（2）BE﹣DE＝2AE．理由如下：
在BE上取点F，使BF＝DE，连接AF．
∵AB＝AD，BF＝DE，∠ABE＝∠EDA，
∴ADE≌ABF（SAS），
∴AF＝AE，∠DAE＝∠BAF．
在正方形ABCD中，∠BAD＝90°．
∴∠BAF+∠DAF＝90°．
∴∠DAE+∠DAF＝90°．
∴∠EAF＝90°．
∴EAF是等腰直角三角形．
∴EF2＝AE2+AF2．
∴EF2＝2AE2．
∴EF2AE．
即BE﹣BF2AE．
∴BE﹣DE2．
【点睛】
本题为圆的综合题，本题主要考查圆周角定理、全等三角形的判定及勾股定理的运用等，有一定的综合性，难度适中．
24．已知，AB是O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把AOP沿OP对折，点A的对应点C怡好落在O上．
（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系是______；
（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论：
（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是
O的切线，证明：4
=．
AB PD
解析：（1）平行；（2）PO∥BC，理由见详解；（3）见详解．
【分析】
（1）由折叠的性质可得∠AOP=∠POC，则有∠AOC=2∠B，进而可得∠AOP=∠B，则问题可得；
（2）由题意及折叠的性质可得∠APO=∠CPO，∠A=∠APO，则有∠A=∠PCB=∠CPO，进而问题可证；
（3）由题意易得AD∥OC，则有∠APO=∠POC，由∠AOP=∠POC可得∠APO=∠AOP，进而可得△AOP是等边三角形，然后可得四边形AOCP是菱形，∠A=∠DPC=60°，最后根据含30°角的直角三角形的性质可求证．
【详解】
解：（1）由折叠的性质可得∠AOP=∠POC，
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB，
∴∠AOC=2∠B，
∴∠AOP=∠B，
∴PO∥BC，
故答案为平行；
（2）PO∥BC，理由如下：
由折叠的性质可得∠APO=∠CPO，
∵OA=OP，
∴∠A=∠APO，
∴∠A=∠CPO，
∵∠A=∠PCB，
∴∠PCB=∠CPO，
∴PO ∥BC ；
（3）证明：∵CD 是⊙O 的切线，
∴OC ⊥CD ，
∵CD ⊥AP ，
∴AP ∥OC ，
∴∠APO=∠POC ，
∵∠AOP=∠POC ，
∴∠APO=∠AOP ，
∴AP=AO=OP ，
∴△AOP 是等边三角形，
∴∠A=60°，AP=AO=OC=PC ，
∴四边形AOCP 是菱形，
∴∠DPC=∠A=60°，
∴∠DCP=30°，
∴2PC PD =，即2AO PD =，
∵AB=2AO ，
∴4AB PD =．
【点睛】
本题主要考查切线的性质定理及含30°角的直角三角形的性质、菱形的性质与判定，熟练掌握切线的性质定理及含30°角的直角三角形的性质、菱形的性质与判定是解题的关键． 25．如图，AB 是圆的直径，且AD//OC ，求证：CD BC =．
解析：证明见解析．
【分析】
主要是根据弧相等只需要证明弧所对的圆周角相等或者弧所对的圆心角相等即可证明．连接AC 或者OD 都可以证明．
【详解】
解：连接AC
AD//OC
∴∠DAC=∠OCA
OA=OC
∴∠BAC=∠ACO
∴∠DAC=∠BAC
∴CD BC =．
【点睛】
主要是考察学生对圆周角定理的内容的掌握．同时角相等和弧相等之间的转化． 26．第十届亚运会在广东召开，有三名运动员分别下榻在A 、B 、C 三个宾馆，三个宾馆由三条道路相连，如图所示．
（1）为建一个公共活动场地P 到三个宾馆的距离相等．请用尺规作图方法作出点P ，使得点P 落在△ABC 内部．保留作图痕迹，不要求写作法．
（2）如果ACB α∠=，那么APB ∠=______．
解析：（1）作两边的垂直平分线，交点即为所求，见解析；（2）2α．
【分析】
（1）分别作三角形两条边的垂直平分线，两条直线的交点即为所求；
（2）根据（1）的作法，可以确定点P 是△ABC 的外接圆的圆心，再根据圆周角定理即可确定∠APB 是∠ACB 的2倍，即可求得结论．
【详解】
解：（1）如图所示，点P 即为所求
（2）由（1）可知PA=PB=PC ，所以点A 、B 、C 在以P 为圆心，PA 为半径的圆上，即A 、B 、C 三点共圆，
∴∠APB 与∠ACB 是AB 所对的圆心角和圆周角，
∴∠APB=2∠ACB ，
又∵ACB α∠=，
∴∠APB=2α．
故答案为：2α．
【点睛】
本题考查垂直平分线的作法和定义，三角形外心定义、三角形外接圆、圆周角定理，难度中等．
27．如图，在33⨯的网格中有一个圆，请仅用无刻度直尺作图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中，圆过格点A ，B ，请作出圆心O ；
（2）在图2中，⊙O 的两条弦AB CD =，请作一个45圆周角．
解析：（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）如图3，连接AN 、BM ，通过圆内接三角形是直角三角形时，斜边就是直径来确定圆心位置；
（2）连接BC 、AD 、BD ，通过同（等）弧所对圆周角相等推出ABD CDB ∠=∠，进而推出45BDC ∠=︒．
【详解】
（1）如图3，连接AN 、BM 交点O 即为圆心
∵9090ABN BAM ∠=︒∠=︒，，
∴AN 、BM 是直径，
∴直径交点O 就是圆心．
（2）如图4，连接BC 、AD 、BD
∵AB=CD ，
∴AB CD =，
∴ADB CBD ∠=∠，
又∵AC CA =，
∴ABC CDA ∠=∠，
∴ABD CDB ∠=∠，
又∵90BED ∠=︒，
∴45ABD CDB ∠=∠=︒，
故连接BD ，则45BDC ∠=︒．
【点睛】
本题考查确定圆心和确定圆弧圆周角等问题，解题的关键是圆内接三角形是直角三角形时，斜边就是直径以及同（等）弧所对圆周角相等．
28．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ．
（1）求证：AC 平分DAB ∠；
（2）若4CD =，8AD =，试求O 的半径． 解析：（1）证明见解析；（2）5．
【分析】
（1）连接OC ，根据切线的性质可得OC CD ⊥，再证//AD OC ，然后再根据平行线的性质和等腰三角形的性质说明12∠=∠即可；
（2）作OE AD ⊥于点E ，设O 的半径为x ，先证四边形OEDC 是矩形，进而求得OE 和AE ，然后根据勾股定理解答即可．
【详解】
（1）证明：如图1：连接OC ，
∵CD 是切线，
∴OC CD ⊥．
∵AD CD ⊥，
∴//AD OC ，
∴13∠=∠．
∵OA OC =，
∴23∠∠=，
∴12∠=∠，
∴AC 平分DAB ∠；
（2）解：如图2，作OE AD ⊥于点E ，
设O 的半径为x ．
∵AD CD ⊥，OE AD ⊥，
∴90OED EDC DCO ∠=∠=∠=︒，
∴四边形OEDC 是矩形，
∴4OE CD ==，8AE AD DE x =-=-，
∴()2
2248x x +-=， ∴228016x x x -+=，解得5x =，
∴O 的半径是5．
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及勾股定理等内容，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．。