人教版数学八年级下册课件：正方形的判定

定义 性质
有一组邻边相等，并且有一个角 是直角的平行四边形叫做正方形.
1.四个角都是直角 2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
课堂小结
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种判 定方法
一个角是直角且一组邻边相等
当堂练习
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ A） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
E
F
B
C
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
延长BE交DF于点M, ∵△BCE≌△DCF , ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF =90° , ∴∠CDF +∠F =90°, ∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
A
D
EM
B
CF
9.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分
思考 前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形
各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各
边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能
得到怎样的特殊平行四边形？
A
H
A
E平行四边形 D G
E
B
F
CB
任意四边形
H 菱形
F 矩形
A HD D G E 正方形 G
CB F C 正方形
课堂小结
正方形 的性质
ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂
足分别为M、N.
(1) 求证：ADB=CDB;
(2) 若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.
证明：（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC.
为什么?
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌ △CMF≌△DNM，得四边形EFMN 是菱形，再证有一个角是直角即可. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=BE=CF=DM.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
5.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA
=90°，请添加一个条件__A_B_=_B_C__(答__案__不__唯__一_A
B
O
D
C
6.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②
∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选
两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其
18.2.3.2正方形的判定
预习检查
1.了解正方形的性质及其判定方法，能利用正方形 的性质及判定解决实际问题. 2.在探索正方形性质与判定方法过程中，获取成功 的体验，增强学习数学的兴趣.
二 正方形的判定
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展 开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等 对角线互相垂直
正方 形
证一证
对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
A
B
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
O
∴ AD=AB=BC=CD,
D
C
∴四边形ABCD是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观 察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
一个角是直角 对角线相等
正方 形
证一证
对角线相等的菱形是正方形. 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
中错误的是______②__③__或__①__④___（只填写序号）．
7.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，
AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm. ∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE， ∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF. ∴FC＝BE. 在Rt△ABC中，AC AB2 BC2 2cm, ∴FC＝AC－AF＝( 2 －1)cm， ∴BE＝( 2 －1)cm．
AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM, ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM, ∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF, ∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°. ∴四边形EFMN是正方形 .
AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
A
B
O
∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO,
D
C
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
8. 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延
长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？
请说明理由.
A
D
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE =90° . ∴∠DCF=180°-∠BCE=90°. ∴∠BCE=∠DCF.
2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是
（ A）
A.2cm2 B.4cm2
C.6cm2
D.8cm2
3．在正方形ABCD中,∠ADB= 45°,∠DAC= 45° , ∠BOC= 90°.
A
D
O
B
C
第3题图
A
D
O E
B
C
第4题图
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，
则∠EBC的度数是 22.5°.
总结归纳 正方形判定的几条途径：
一个直角，
+ 对角线相等 先判定菱形 矩形条件(二选一)
正方形
+ 一组邻边相等，
对角线垂直
正方形
先判定矩形 菱形条件(二选一)
平行四 边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形
例4 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边
上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?