备考2014高考数学--高考总复习课标版数学：83 圆的方程(限时作业)详细解析
高考数学总复习 83 圆的方程课件 苏教版
【点评】 求轨迹方程的步骤： (1)建系，设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标 M(x，y)； (2)写出适合条件的动点所满足的关系式，并用坐标表示，列出 方程f(x，y)＝0； (3)化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式； (4)验证：验证以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的 点． 本题关键是：PM＝ 2PN的转化．
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2
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5．(课本改编题)圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2 ＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是________．
解析：圆心(－1,2)在直线2ax－by＋2＝0上， ∴－2a－2b＋2＝0，∴a＋b＝1， ∴ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－(a－12)2＋14.∴ab≤14. 答案：－∞，14
得最大值和最小值，此时 |2－0＋b|＝ 2
3 ，即b＝－2± 6 ，故y－x的
最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6. (3)x2＋y2表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它
在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心
到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋ 3)2＝7＋4 3，(x2＋y2)min＝ (2－ 3)2＝7－4 3.
将 P、Q 点的坐标分别代入得
2D－4E－F＝20，
①
3D－E＋F＝－10.
②
又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.③
设 x1，x2 是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6 有 D2－4F＝36，④ 由①、②、④解得 D＝－2，E＝－4，F＝－8，
或 D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为
x2＋y2－2x－4y－8＝0，或 x2＋y2－6x－8y＝0.
高考数学一轮复习讲解与练习 8.3圆的方程理 新人教A版.pdf
[备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.掌握确定圆的几何要素． 2.掌握圆的标准方程与一般方程.圆的方程、圆心坐标、半径、圆的性质等是高考考查圆的基础知识时最常涉及的要素．大多以选择题或填空题的形式考查，有时也会穿插在解答题中，如2012年江苏T12等. [归纳·知识整合] 1．圆的定义 (1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． (2)确定一个圆的要素是圆心和半径． 2．圆的方程 (1)标准方程 两个条件：圆心(a，b)，半径r； 标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圆的一般方程 一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； 方程表示圆的充要条件为：D2＋E2－4F>0； 圆心坐标，半径r＝. [探究] 1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？ 提示：不一定．只有当D2＋E2－4F>0时，上述方程才表示圆． 2．如何实现圆的一般方程与标准方程的互化？ 提示：一般方程与标准方程互化，可用下图表示： 3．点与圆的位置关系 (1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三个结论 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0) (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆上； (x0－a)2＋(y0－b)2>r2点在圆外； (x0－a)2＋(y0－b)2<r2点在圆内． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( ) A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析：选D 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 2．已知方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是( ) A．－1<k<4 B．－4<k<1 C．k1 D．k4 解析：选D 由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k4. 3．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是( ) A．－10)， 则 解得D＝－4，E＝－2，F＝－5. 所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0. (2)根据题意可知圆心坐标为(－1,0)，圆的半径长为＝，故所求圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2. [答案] (1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10) (2)(x＋1)2＋y2＝2 ——————————————————— 求圆的方程的两种方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法： 几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量． 1．求下列圆的方程： (1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)； (2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)． 解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有 解得a＝1，b＝－4，r＝2. 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为 y＋2＝x－3. 与y＝－4x联立可得圆心为(1，－4)， 所以半径r＝＝2. 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. (2)法一：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 则 解得D＝－2，E＝－4，F＝－95， 所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0. 法二：由A(1,12)，B(7,10)得AB的中点坐标为(4,11)， kAB＝－，则AB的中垂线方程为3x－y－1＝0. 同理得AC的中垂线方程为x＋y－3＝0. 联立得 即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10， 所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100. 与圆有关的最值问题 [例2] 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求： (1)的最大值和最小值； (2)y－x的最大值和最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． [自主解答] (1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±. 所以的最大值为，最小值为－. (2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±. 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4， x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. 本例条件不变，求点P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值． 解：圆心(2,0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝＝， P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为＋，最小值为－. ——————————————————— 与圆有关的最值问题及解题方法 (1)形如u＝型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题； ?2?形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；?3?形如?x－a?2＋?y－b?2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题. 2．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是多少？ 解：由题意知，r2＝＝， 所以当m＝－1时，r＝，所以Smax＝πr2＝π. 与圆有关的轨迹问题 [例3] 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． [自主解答] (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)． 因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. ——————————————————— 求轨迹方程的一般步骤 (1)建系设点：建立平面直角坐标系，设动点坐标为(x，y)； (2)列式：列出几何等式； (3)坐标化：用坐标表示得到方程； (4)化简：化简几何等式得到的方程； (5)证明作答：除去不合题意的点，作答． 3．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程． 解：设动点P(x，y)，由题意可知P是ABD的重心． 由A(－1,0)，B(1,0)，令动点C(x0，y0)， 则D(2x0－1,2y0)，由重心坐标公式得， 则 代入x2＋y2＝1，整理得，所求轨迹方程为 2＋y2＝(y≠0)． 1种方法——待定系数法求圆的方程 (1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； (2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 3个性质——常用到的圆的三个性质 在解决与圆有关的问题时，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化思路，简便运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任意一弦的垂直平分线上； (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 创新交汇——高考中与圆有关的交汇问题 1．近年来高考对圆锥曲线的要求相对降低，因此圆的相关问题成了高考命题的一个新热点．圆的性质使其具有很强的交汇性，对圆的考查可以与集合、直线、向量、三角函数、不等式、线性规划等知识交汇命题． 2．对于这类问题，要特别注意圆的定义及其性质的运用，同时要有丰富的相关知识储备，解题时只有做到平心静气地认真研究，不断寻求解决问题的方法和技巧，才能真正把握好问题． [典例] (2011·江苏高考)设集合A＝，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，yR}．若A∩B≠，则实数m的取值范围是________． [解析] 由题意知A≠，则≤m2，即m≤0或m≥.因为A∩B≠，则有： (1)当2m＋1<2，即m2，即m>1时， 圆心(2,0)到直线x＋y＝2m的距离为d2＝≤|m|， 化简得m2－4m＋2≤0， 解得2－≤m≤2＋， 所以10，b>0)始终平分圆C：x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则ab的最大值为( ) A．4 B．2 C．1 D. 解析：选C 圆C的圆心坐标为(－4，－1)， 则有－4a－b＋4＝0，即4a＋b＝4. 所以ab＝(4a·b)≤2＝×2＝1. 当且仅当a＝，b＝2时取等号． 2．如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为________． 解析：由点P在平面区域 上，画出点P所在的平面区域．由点Q在圆x2＋(y＋2)2＝1上，画出点Q所在的圆，如图所示． 记Q所在曲线的圆心为点M(0，－2)，又(－1,0)为图中的阴影区域的左顶点，(－1,0)与M的连线垂直于阴影区域的下边界．因此，|PQ|的最小值为圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离减去半径1.又圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离为＝，此时垂足(－1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ|的最小值为－1. 答案：－1 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．若直线2x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0的相切，则a的值为( ) A．± B．±5 C．3 D．±3 解析：选B 圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线与圆相切，所以＝，即a＝±5. 2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值是( ) A．8 B．－4 C．6 D．无法确定 解析：选C 因为圆上两点A，B关于直线x－y＋3＝0对称，所以直线x－y＋3＝0过圆心，从而－＋3＝0，即m＝6. 3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A．π B．4π C．8π D．9π 解析：选B 设P(x，y)，由题意知有，(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4.可知圆的面积为4π. 4．(2012·广州模拟)若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是( ) A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5 C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5 解析：选D 设圆心为(a,0)(a0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是( ) A．x2＋y2－x－2y－＝0 B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0 C．x2＋y2－x－2y＋1＝0 D．x2＋y2－x－2y＋＝0 解析：选D 抛物线y2＝2x(y>0)的准线为x＝－，圆与抛物线的准线及x轴都相切，则圆心在直线y＝x＋(y>0)上，与y2＝2x(y>0)，联立可得圆心的坐标为，半径为1，则方程为2＋(y－1)2＝1，化简得x2＋y2－x－2y＋＝0. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·开封模拟)若PQ是圆O：x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是________． 解析：由圆的几何性质知kPQkOM＝－1.kOM＝2， kPQ＝－，故直线PQ的方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. 答案：x＋2y－5＝0 8．(2013·金华十校联考)已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A、B，且AB＝，则该圆的标准方程是________． 解析：依题可设C：(x－1)2＋(y－b)2＝1(b>0)，且2＋b2＝1，可解得b＝， 所以C的标准方程为(x－1)2＋2＝1. 答案：(x－1)2＋2＝1 9．定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合A，则称A为一个开集，给出下列集合： ；； ； . 其中是开集的是________(请写出所有符合条件的序号)． 解析：集合表示以(x0，y0)为圆心，以r为半径的圆面(不包括圆周)， 由开集的定义知，集合A应该无边界，故由表示的图形知，只有符合题意． 答案： 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C的方程． 解：因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－＝－6， 其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23. 又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y－＝－，即5x＋7y－50＝0上， 则解得圆心为(3,5)， 所以半径为(9－3)2＋(6－5)2＝， 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37. 11．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4. (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程． 解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)， 直线CD的方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋y－3＝0. (2)设圆心P(a，b)则由P在CD上得a＋b－3＝0. 又直径|CD|＝4，|PA|＝2. (a＋1)2＋b2＝40. 由解得或 圆心P(－3,6)或P(5，－2)． 圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40. 12．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切． (1)求圆O的方程； (2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求·的取值范围． 解：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线 x－y＝4的距离，即r＝＝2， 所以圆O的方程为x2＋y2＝4. (2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)． 设P(x，y)，则|PA|，|PO|，|PB|成等比数列得， · ＝x2＋y2， 即x2－y2＝2. ·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)， 由于点P在圆O内，故 由此得y2<1，所以·的取值范围为[－2,0)． 1．一动圆与两圆x2＋y2＝1和x2＋y2＋8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 解析：选C 设圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，圆x2＋y2＋8x＋12＝0的圆心为O1(－4,0)，O′为动圆的圆心，r为动圆的半径，则|O′O1|－|O′O|＝(r＋2)－(r＋1)＝1，由双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支. 2．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________． 解析：过点M的最短的弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，kCM＝＝1，最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0. 答案：x＋y－1＝0 3．已知圆C：(x－1)2＋y2＝2，过点A(－1,0)的直线l将圆C分成弧长之比为13的两段圆弧，则直线l的方程为________． 解析：设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，圆心C(1,0)到直线l的距离为，因为直线l将圆C分成弧长之比为13的两段圆弧，所以直线l被圆所截得的弦所对的圆心角为，又圆C的半径为，所以 cos＝，得k2＝，即k＝±， 故直线l的方程为y＝(x＋1)或y＝－(x＋1)． 答案：y＝(x＋1)或y＝－(x＋1) 4．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P为圆上的动点，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大值、最小值及对应的P点坐标． 解：若设P(x0，y0)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝(x0＋1)2＋y02＋(x0－1)2＋y02＝2(x02＋y02)＋2，欲求d的最值，只需求w＝x＋y的最值，即求圆C上的点到原点距离平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1，P2即为所求． 设过O，C两点的直线交圆C于P1，P2两点， 则wmin＝(|OC|－1)2＝16＝|OP1|2， 此时dmin＝2×16＋2＝34，P1； wmax＝(|OC|＋1)2＝36＝|OP2|2， 此时dmax＝2×36＋2＝74，P2.。
高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：8.3 圆的方程 word版含答案
第三节 圆的方程圆的方程(1)掌握确定圆的几何要素． (2)掌握圆的标准方程与一般方程．知识点一 圆的方程定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆 方程标准(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)圆心C (a ，b ) 半径为r一般,x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝充要条件：D 2＋E 2－4F >0 圆心坐标：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 半径r ＝12D 2＋E 2－4F易误提醒 (1)标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)中易忽视右端为半径r 的平方，而不是半径．(2)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F >0这一成立条件． 必备方法 求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．[自测练习]1．圆x 2＋y 2－4x ＋8y －5＝0的圆心与半径分别为( ) A ．(－2,4)，5 B ．(2，－4)，5 C ．(－2,4)，15D ．(2，－4)，15解析：圆心坐标为(2，－4)， 半径r ＝12(－4)2＋82－4×(－5)＝5.答案：B2．圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________． 解析：法一：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )．又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |，即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2， 所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法二：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 答案：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10 知识点二 点与圆的位置关系1．确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系． 2．三种关系：圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)． (1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上． (2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点在圆外． (3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点在圆内．易误提醒 若圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，点M (x 0，y 0)．注意点M 与圆的位置关系满足条件．[自测练习]3．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <1 C ．a >1或a <－1D ．a ＝±1解析：因为点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2<4，∴－1<a <1. 答案：A考点一 圆的方程|1．(2015·高考北京卷)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案：D2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．26B ．8C ．4 6D ．10解析：设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，，解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M (0，y 1)，N (0，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4 6.故选C.答案：C3．(2015·广州测试)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析：∵圆心(1,2)关于直线y ＝x 对称的点为(2,1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.答案：A待定系数法求圆的方程的三个步骤(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. (2)根据已知条件，建立关于a ，b ，r 的方程组．(3)解方程组，并把它们代入所设的方程中，整理后，就得到所求结果．考点二 与圆有关的最值范围问题|与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．归纳起来常见的命题角度有：1．斜率型最值问题． 2．截距型最值问题． 3．距离型最值问题． 4．距离和(差)的最值问题． 5．利用目标函数求最值． 探究一 斜率型最值问题1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求yx 的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.探究二 截距型最值问题2．在[探究一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. 探究三 距离型最值问题3．在[探究一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解析：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.探究四 距离和(差)最值问题4．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：圆心C 1(2,3)，C 2(3,4)，作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，连接C ′2C 2与x 轴交于点P ，此时|PM |＋|PN |取得最小值，为|C ′2C 2|－1－3＝52－4.答案：A探究五 利用目标函数求最值5．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2解析：将x 2＋y 2－2y －5＝0化为x 2＋(y －1)2＝6，圆心(0,1)，代入ax ＋by ＋c －1＝0得b ＋c ＝1.∴4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝5＋4c b ＋bc≥5＋24c b ·bc＝9. 答案：A求解与圆有关的最值问题的两大规律(1)借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．考点三 与圆有关的轨迹问题|已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x 0，y 0)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x 0－2,2y 0)． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x 0－2)2＋(2y 0)2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ′，y ′)． 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x ′2＋y ′2＋(x ′－1)2＋(y ′－1)2＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法(1)直接法：根据题设条件直接列出方程． (2)定义法：根据圆的定义写出方程． (3)几何法：利用圆的性质列方程．(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．(2016·唐山一中调研)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4.化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：A25.方程思想在圆中的应用【典例】 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．[思维点拨] 曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴有3个交点，可设圆的一般式方程或标准式方程，通过列方程或方程组可求．[解] 法一：曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，(3＋22)2＋D ×(3＋22)＋F ＝0，(3－22)2＋D ×(3－22)＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.法二：曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，故可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1，则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.[方法点评] (1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算．显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．[跟踪练习] 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为________．解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43A 组 考点能力演练1．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 答案：B2．(2016·北京西城期末)若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－3，3)C ．(－2，2)D.⎝⎛⎭⎫－22，22 解析：∵(0,0)在(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则有(0－m )2＋(0＋m )2<4，解得－2<m <2，选C.答案：C3．(2016·开封模拟)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为( )A. 2B. 3 C ．1D ．3解析：由题意知，圆C 上的点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋(－1)2－2＝ 2.答案：A4．(2016·洛阳期末)在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－a |>2|2a |>2⇒a <－2，故选A.答案：A5．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析：由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为32，则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为|2＋2－14|2＋32＝82，最小距离为|2＋2－14|2－32＝22，故最大距离与最小距离的差为6 2.答案：C6．(2016·绍兴模拟)点P (1,2)和圆C ：x 2＋y 2＋2kx ＋2y ＋k 2＝0上的点的距离的最小值是________．解析：圆的方程化为标准式为(x ＋k )2＋(y ＋1)2＝1. ∴圆心C (－k ，－1)，半径r ＝1. 易知点P (1,2)在圆外． ∴点P 到圆心C 的距离为： |PC |＝(k ＋1)2＋32＝(k ＋1)2＋9≥3. ∴|PC |min ＝3.∴点P 和圆C 上点的最小距离d min ＝|PC |min －r ＝3－1＝2. 答案：27．若圆C ：x 2－2mx ＋y 2－2my ＋2＝0与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________． 解析：圆C 的标准方程为(x －m )2＋(y －m )2＝m 2＋m －2，依题意有⎩⎨⎧m 2＋m －2>0，m ≤m 2＋m －2，得m ≥ 2.m ≥0.答案：[2，＋∞)8．圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，则圆C 的方程为________．解析：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则k,2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根， ∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ， 又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0. ∴E ＝－2k －1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0， 圆心坐标为⎝⎛⎭⎫k ＋22，2k ＋12.∵圆C 在点P 处的切线斜率为1， ∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k ，∴k ＝－3.∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0. 答案：x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.9．(2016·洛阳统考)已知圆S 经过点A (7,8)和点B (8,7)，圆心S 在直线2x －y －4＝0上． (1)求圆S 的方程；(2)若直线x ＋y －m ＝0与圆S 相交于C ，D 两点，若∠COD 为钝角(O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围．解：(1)线段AB 的中垂线方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －4＝0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，所以圆S 的圆心为S (4,4)， 圆S 的半径为|SA |＝5，故圆S 的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝25.(2)由x ＋y －m ＝0变形得y ＝－x ＋m ，代入圆S 的方程，消去y 并整理得2x 2－2mx ＋m 2－8m ＋7＝0.令Δ＝(－2m )2－8(m 2－8m ＋7)>0，得8－52<m <8＋5 2.设C ，D 的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－8m ＋72.依题意，得OC →·OD →<O ，则x 1x 2＋(－x 1＋m )(－x 2＋m )<0，即m 2－8m ＋7<0，解得1<m <7.故实数m 的取值范围是{m |8－52<m <8＋52}∩{m |1<m <7}＝{m |1<m <7}． 10．(2016·唐山一模)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A (3，0)，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 的中点时，求直线AB 的方程．解：(1)设AB 的中点为M ，切点为N ，连接OM ，MN (图略)，则|OM |＋|MN |＝|ON |＝2，取A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B ，故|A ′B |＋|AB |＝2(|OM |＋|MN |)＝4.所以点B 的轨迹是以A ′，A 为焦点，长轴长为4的椭圆． 其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1，则 曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ， 则OB →⊥AB →.设B (x 0，y 0)，则x 0(x 0－3)＋y 20＝0. 又x 204＋y 20＝1，解得x 0＝23，y 0＝±23.则k OB＝±2 2，kAB＝∓2，则直线AB的方程为y＝±2(x－3)，即2x－y－6＝0或2x＋y－6＝0.B组高考题型专练1．(2014·高考北京卷)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7 B．6C．5 D．4解析：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝12|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.答案：B2．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53 B.213C.253 D.43解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∴⎩⎨⎧1＋D＋F＝0，3＋3E＋F＝0，7＋2D＋3E＋F＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D＝－2，E＝－433，F＝1，∴△ABC外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫1，233，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎫2332＝213.答案：B3．(2014·高考陕西卷)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：根据题意得点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点(0,1)为圆心，又半径r ＝1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝14．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a >0，由4－a ＝a 2＋4，解得a ＝32，所以该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254。
【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：8.3 圆的方程
第八章 第3讲(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1. [2013·长春模拟]已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A. x 2＋y 2＝2 B. x 2＋y 2＝ 2 C. x 2＋y 2＝1 D. x 2＋y 2＝4答案：A解析：圆心为(0,0)，半径为2，应选A 项．2. [2013·吉林模拟]圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A. (－∞，4)B. (－∞，0)C. (－4，＋∞)D. (4，＋∞) 答案：A解析：由题意，得圆心(1，－3)在直线y ＝x ＋2b 上，得b ＝－2，由圆成立的条件可得(－2)2＋62－4×5a >0，解得a <2，∴a －b <4，故选A.3. 过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线的方程是( )A. x ＝1B. y ＝1C. x －y ＋1＝0D. x －2y ＋3＝0 答案：D解析：设圆心为C ，当CM ⊥l 时，圆截l 的弦最短，其所对的劣弧最短，又k CM ＝－2，∴k l ＝12.∴直线l 的方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0.4. [2013·安徽淮北模拟]若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A. (x －2)2＋(y －1)2＝1B. (x －2)2＋(y －3)2＝1C. (x －3)2＋(y －2)2＝1D. (x －3)2＋(y －1)2＝1 答案：A解析：设圆心坐标为(a ，b )，由题意知a >0，且b ＝1.又∵圆和直线4x －3y ＝0相切，∴|4a －3|5＝1，即|4a －3|＝5，∵a >0， ∴a ＝2.所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.5. [2013·海淀检测]点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A. (x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B. (x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C. (x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D. (x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案：A解析：设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2. 因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y＋1)2＝1.6. [2013·金版原创]若圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB →＝3AD →，E 、F 为另一直径的两个端点，则DE →·DF →＝( )A. －3B. －4C. －6D. －8答案：D解析：依题意得，DE →·DF →＝(DO →＋OE →)·(DO →＋OF →)＝(DO →＋OE →)·(DO →－OE →)＝1－9＝－8，故选D.二、填空题7. [2013·东北四校模拟]已知圆C 过点A (1,0)和B (3,0)，且圆心在直线y ＝x 上，则圆C 的标准方程为________．答案：(x －2)2＋(y －2)2＝5解析：由题意可设圆心坐标为(a ，a )，则圆的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝r 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋a 2＝r 2(3－a )2＋a 2＝r 2解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2r 2＝5 故圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5.8. 已知圆C 的圆心与点M (1，－1)关于直线x －y ＋1＝0对称，并且圆C 与x －y ＋1＝0相切，则圆C 的方程为________．答案：(x ＋2)2＋(y －2)2＝92解析：所求圆的圆心为(－2,2)，设圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝r 2(r >0)，则圆心(－2,2)到直线x －y ＋1＝0的距离为r ，得r ＝322，故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝92.9. [2013·温州模拟]若直线2ax ＋by －2＝0(a ，b 为正实数)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是________． 答案：3＋2 2解析：圆心为(1,2)，代入直线方程得a ＋b ＝1，则2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(a ＋b )＝3＋a b ＋2ba ≥3＋2 2.等号成立的条件为a ＝2－2，b ＝2－1.三、解答题10. 已知圆的方程为(x －m )2＋(y ＋m －4)2＝2. (1)求圆心C 的轨迹方程；(2)当|OC |最小时，求圆C 的一般方程(O 为坐标原点)．解：(1)设C (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝4－m .消去m ，得y ＝4－x .∴圆心C 的轨迹方程为x ＋y －4＝0.(2)当|OC |最小时，OC 与直线x ＋y －4＝0垂直， ∴直线OC 的方程为x －y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＝0，得x ＝y ＝2. 即|OC |最小时，圆心的坐标为(2,2)，∴m ＝2. 圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 其一般方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.11. [2013·吉林实验中学模拟]已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12. [2013·绍兴模拟]已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解：(1)直线PQ 的方程为：x ＋y －2＝0，设圆心C (a ，b )，半径为r ， 由于线段PQ 的垂直平分线的方程是 y －12＝x －32， 即y ＝x －1，所以b ＝a －1.① 又由在y 轴上截得的线段长为43， 知(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2.② 由①②得：a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13满足题意 当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37不满足题意， 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)，由题意可知OA ⊥OB ，即k OA ·k OB ＝－1， ∴m －x 1x 1·m －x 2x 2＝－1. 整理得m 2－m (x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0 将y ＝－x ＋m 代入(x －1)2＋y 2＝13 可得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝1＋m ，x 1x 2＝m 2－122，即m 2－m ·(1＋m )＋m 2－12＝0，∴m ＝4或m ＝－3，∴y ＝－x ＋4或y ＝－x －3.。
高考数学一轮复习 83 圆的方程课件 文
(3)设圆 C 的圆心为(a，b)(b＞0)，由题意得 a＝2b＞0，且 a2＝( 3)2 ＋b2，解得 a＝2，b＝1.
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
此时，圆 P 的半径 r＝ 3. 故圆 P 的方程为 x2＋(y－1)2＝3 或 x2＋(y＋1)2＝3.
• 规律方法 (1)解答与圆有关的轨迹问题时，根据题设条 件的不同常采用以下方法：直接法——直接根据题目提供 的条件列出方程；定义法——根据圆、直线等定义列方程； 几何法——利用圆的几何性质列方程；代入法——找到所求 点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
• 答案 (1)A (2)x2＋(y－1)2＝1 (3)(x－2)2＋(y－1)2 ＝4
• 规律方法 (1)求圆的方程，一般采用待定系数法．
• 若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程， 依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a， b，r的值．
• (2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆 的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组， 从而求出D，E，F的值．
)
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．圆 x2＋y2－4x＋8y－5＝0 的圆心与半径分别为( )
A．(－2,4)，5
B．(2，－4)，5
C．(－2,4)， 15
D．(2，－4)， 15
解析：圆心坐标为(2，－4)， 半径 r＝12 －42＋82－4×－5＝5.
• 答案：B
二、点与圆的位置关系 3．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20＋y02＋Dx0＋ Ey0＋F>0.( ) (2)已知圆的方程为 x2＋y2－2y＝0，过点 A(1,2)作该圆的切线只有一 条．( )
2014届高三数学一轮复习精讲精练：8.3圆的方程-教学文档
第3课 圆的方程【考点导读】1.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。
2.本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程，利用三角换元或数形结合求最值问题，题型难度以容易题和中档题为主.【基础练习】1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB 为直径的圆的方程为(x + 1)2 + (y －1)2 = 252.过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（x －1）2＋（y －1）2＝43.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为0422=-+x y x4.圆22420x y x y c +-++=与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=120°，则实数c 值为_-11__5.如果方程220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有__D=E__【范例导析】【例1】 设方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程。
分析:配成圆的标准方程再求解解：配方得：[]2222(3)(14)167x m y m m m ⎡⎤-++--=+-⎣⎦ 该方程表示圆，则有21670m m +->，得1(,1)7m ∈-，此时圆心的轨迹方程为2341x m y m =+⎧⎨=-⎩，消去m ，得24(3)1y x =--，由1(,1)7m ∈-得x =m +320,47⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴所求的轨迹方程是24(3)1y x =--，20,47x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中20,47x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭变式1：方程224(1)40ax ay a x y +--+=表示圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。
【全程复习方略】(陕西专用)高考数学 第八章 第三节 圆的方程课时提升作业 文 北师大版
【全程复习方略】（陕西专用）2014高考数学第八章第三节圆的方程课时提升作业文北师大版一、选择题1.(2013·吉安模拟)若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为( )(A)-1 (B)1 (C)3 (D)-32.若原点在圆(x-m)2+(y+m)2=8的内部,则实数m的取值范围是( )(A)-2错误！未找到引用源。
<m<2错误！未找到引用源。
(B)0<m<2错误！未找到引用源。
(C)-2<m<2 (D)0<m<23.已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为( )(A)(-1,1) (B)(-1,0)(C)(1,-1) (D)(0,-1)4.(2013·榆林模拟)直线l将圆x2+y2-2x+4y-4=0平分,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程是( )(A)x-y+1=0,2x-y=0(B)x-y-1=0,x-2y=0(C)x+y+1=0,2x+y=0(D)x-y+1=0,x+2y=05.已知点M是直线3x+4y-2=0上的动点,点N为圆(x+1)2+(y+1)2=1上的动点,则|MN|的最小值是( )(A)错误！未找到引用源。
(B)1 (C)错误！未找到引用源。
(D)错误！未找到引用源。
6.在同一坐标系下,直线ax+by=ab和圆(x-a)2+(y-b)2=r2(ab≠0,r>0)的图象可能是( )7.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4(C)(x+4)2+(y-2)2=4 (D)(x+2)2+(y-1)2=18.若直线2ax-by+2=0(a,b>0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长,则错误！未找到引用源。
2014高考数学一轮总复习 8.3 圆的方程教案 理 新人教A版
8.3 圆的方程典例精析题型一 求圆的方程【例1】求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程.【解析】方法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为(－D 2，－E 2)， 由已知得即解得 D ＝0，E ＝－2，F ＝－9，所求圆的方程为x2＋y2－2y －9＝0.方法二：经过A(－1,4)，B(3,2)的圆，其圆心在线段AB 的垂直平分线上，AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1.令x ＝0，y ＝1，圆心为(0,1)，r ＝(3－0)2＋(2－1)2＝10 ，圆的方程为x2＋(y －1)2＝10.【点拨】圆的标准方程或一般方程都有三个参数，只要求出a 、b 、r 或D 、E 、F ，则圆的方程确定，所以确定圆的方程需要三个独立条件.【变式训练1】已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程.【解析】设圆的方程为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，①将P 、Q 两点的坐标分别代入①得令x ＝0，由①得y2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y1－y2|＝43，其中y1、y2是方程④的两根.所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F ＝48，⑤解②、③、⑤组成的方程组，得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或D ＝－10，E ＝－8，F ＝4，故所求圆的方程为x2＋y2－2x －12＝0或x2＋y2－10x －8y ＋4＝0.题型二 与圆有关的最值问题【例2】若实数x ，y 满足(x －2)2＋y2＝3.求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)(x －4)2＋(y －3)2的最大值和最小值.【解析】(1)y x ＝y －0x －0，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此y x的最值为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率，设y x＝k ，y ＝kx ，kx －y ＝0. 由|2k|k2＋1＝3，得k ＝±3，所以y x 的最大值为3，y x 的最小值为－ 3. (2)令x －2＝3cos α，y ＝3sin α，α∈[0,2π).所以y －x ＝3sin α－3cos α－2＝6sin(α－π4)－2， 当sin(α－π4)＝－1时，y －x 的最小值为－6－2.(3)(x －4)2＋(y －3)2是圆上点与点(4,3)的距离的平方，因为圆心为A(2,0)，B(4,3)， 连接AB 交圆于C ，延长BA 交圆于D.|AB|＝(4－2)2＋(3－0)2＝13，则|BC|＝13－3，|BD|＝13＋3，所以(x －4)2＋(y －3)2的最大值为(13＋3)2，最小值为(13－3)2.【点拨】涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：①形如U ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如(x －a)2＋(y －b)2形式的最值问题，可转化为圆心已定的动圆半径的最值问题.【变式训练2】已知实数x ，y 满足x2＋y2＝3(y≥0).试求m ＝y ＋1x ＋3及b ＝2x ＋y 的取值范围. 【解析】如图，m 可看作半圆x2＋y2＝3(y≥0)上的点与定点A(－3，－1)连线的斜率，b 可以看作过半圆x2＋y2＝3(y≥0)上的点且斜率为－2的直线的纵截距.由图易得3－36≤m≤3＋216，－23≤b≤15. 题型三 圆的方程的应用【例3】在平面直角坐标系xOy 中，二次函数f(x)＝x2＋2x ＋b(x ∈R)与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C.(1)求实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论.【解析】(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是(0，b)，由题意b≠0，且Δ＞0，解得b ＜1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x2＋Dx ＋F ＝0，这与x2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b.令x ＝0，得y2＋Ey ＋F ＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝－b －1.所以圆C 的方程为x2＋y2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 必过定点，证明如下：假设圆C 过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x20＋y20＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0，(*)为使(*)式对所有满足b ＜1(b≠0)的b 都成立，必须有1－y0＝0，结合(*)式得x20＋y20＋2x0－y0＝0，解得或经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C 上，因此圆C 过定点.【点拨】本题(2)的解答用到了代数法求过三点的圆的方程，体现了设而不求的思想.(3)的解答同样运用了代数的恒等思想，同时问题体现了较强的探究性.【变式训练3】(2010安徽)动点A(x ，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间t ＝0时，点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( ) A.[0,1] B.[1,7] C.[7,12] D.[ 0,1]和[7,12]【解析】选D.由题意知角速度为2π12＝π6，故可得y ＝sin(π6t ＋π3),0≤t≤12，π3≤π6t＋π3≤π2或32π≤π6t＋π3≤52π，所以0≤t≤1或7≤t≤12.所以单调递增区间为[0,1]和[7,12].总结提高1.确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法.一般来讲，条件涉及圆上的多个点，可选择一般方程；条件涉及圆心和半径，可选圆的标准方程.2.解决与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.解决与圆有关的最值问题时，可根据代数式子的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合解决.也可以利用圆的参数方程解决最值问题.。
2014高考复习理科数学(人教A版)9.3圆的方程
【解】设另一端点 C 的坐标为(x,y). 依题意,得|AC|=|AB|. 由两点间的距离公式,得
(������-4)2 + (y-2)2
= (4-3)2 + (2-5)2,
整理得(x-4)2+(y-2)2=10. 这是以点 A(4,2)为圆心, 10为半径的圆,如图所示.
又因为 A,B,C 为三角形的三个顶点,所以 A,B,C 三点不共线,即点 B,C 不能重合且 B,C 不能为圆 A 的一直径的两个端点.
1+������2
可得 2- 3≤k≤2+ 3,
所以 ������-3 的最大值为
������+2
2+
3,最小值为 2-
3.
T 题型三与
圆有关的轨迹问题
例 3 等腰三角形的顶点是 A(4,2),底边一个端点是 B(3,5),求另 一个端点 C 的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.
设出 C 点的坐标(x,y),根据|AB|=|AC|列方程化简整理,即可 得点 C 的轨迹方程,然后由轨迹方程指明轨迹.
1.求轨迹方程的一般步骤: (1)建系 :建立适当的直角坐标系; (2)设点:用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点 M 的坐标; (3)列式:列出关于 x,y 的方程; (4)化简 :把方程化简为最简形式; (5)证明 :证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 2.因为除个别情况外,化简过程都是同解变形过程,所以步骤(5)可以 不写 ,如果有特殊情况,可适当予以说明. 比如 :看一看该方程有没有多余的点,有没有漏掉一些特殊的点,多余 的去掉,漏掉的再添上. 3.求轨迹与求轨迹方程是不同的,求轨迹方程得出方程即可,而求轨迹 在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形 .
高考数学一轮复习随堂演练：8.4圆的方程.doc
8.4 圆的方程一、选择题1．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的曲线关于x ＋y ＝0成轴对称图形，则( ) A ．D ＋E ＝0 B ．D ＋F ＝0 C ．E ＋F ＝0D ．D ＋E ＋F ＝0答案：A2．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3到达Q 点，则Q 的坐标为( ) A ．(－12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32)D ．(－32，12) 解析：由题意知∠POQ ＝2π3，∴Q 点为(－12，32)．答案：A3．(·合肥调研)过点A (1，－1)、B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4答案：C4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0 答案：D 二、填空题5．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10＝0距离的最小值为________． 答案：16．过两圆C 1：(x －4)2＋(y －5)2＝10，C 2：(x ＋2)2＋(y －7)2＝12，交点所在的直线方程为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋31＝0，x 2＋y 2＋4x －14y ＋41＝0，两式相减得12x －4y ＋10＝0，即6x －2y ＋5＝0.答案：6x －2y ＋5＝07．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________． 解析：由圆的几何意义知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝ 5. ∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 三、解答题8．根据下列条件，求圆的方程：(1)经过A (6,5)、B (0,1)两点，并且圆心C 在直线3x ＋10y ＋9＝0上； (2)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6.解答：(1)∵AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－3.∴圆心为C (7，－3)．又|CB |＝65， 故所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，③ 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36.④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8. 或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.9．已知圆满足①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55.求该圆的方程．解答：设所求圆心为P (a ，b )，半径为r ，则圆心到x 轴、y 轴的距离分别为|b |、|a |，因圆P 截y 轴得弦长为2，由勾股定理得r 2＝a 2＋1，又圆被x 轴分成两段圆弧弧长的比为3∶1，∴劣弧所对圆心角90°，故r ＝2b ，即r 2＝2b 2，∴2b 2－a 2＝1① 又∵P (a ，b )到直线x －2y ＝0的距离为55， 得|a －2b |5＝55，即a －2b ＝±1.②解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－1，于是r 2＝2b 2＝2，所以，所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.10．如图，已知点P 到两个定点M (－1,0)，N (1,0)的距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程． 解答：设P 点坐标为(x ，y )，根据已知条件可得|PM |∶|PN |＝ 2.即(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y2＝2，整理得x 2＋y 2－6x ＋1＝0.①设PM 的方程为y ＝k (x ＋1)，即k x －y ＋k ＝0. 由N 到PM 的距离为1得|k －0＋k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.∴y ＝33(x ＋1)，② 或y ＝－33(x ＋1)．③解①②联立方程组可得⎩⎨⎧ x ＝2＋3，y ＝3＋1，或⎩⎨⎧x ＝2－3，y ＝3－1，解①③联立方程组可得⎩⎨⎧ x ＝2＋3，y ＝－3－1， 或⎩⎨⎧x ＝2－3，y ＝1－ 3.∴P 点坐标为(2＋3，3＋1)、(2－3，3－1)、(2＋3，－3－1)、(2－3，1－3)． 因此所求直线PN 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.即x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. ★选做题1．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案：B2．(·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4. (1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为2 3，求直线l 的方程．(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无数多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标． 解答：(1)由于直线x ＝4与圆C 1没有交点，则直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y ＝k (x －4)，即k x －y －4k ＝0，圆心C 1到直线的距离为d ＝|－3k －1－4k |k 2＋1＝|7k ＋1|k 2＋1.由已知条件：d 2＝1，即(7k ＋1)2k 2＋1＝1.整理得48k 2＋14k ＝0，解得k ＝0，或k ＝－724.所求直线方程为y ＝0，或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，即k x －y ＋b －a k ＝0，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k (x －a )，即x ＋k y －a －k b ＝0.根据已知条件得|－3k －1＋b －k a |k 2＋1＝|4＋5k －a －k b |1＋k 2，去绝对值整理得(a ＋b －2)k ＋(a －b －3)＝0或(a －b ＋8)k －(a ＋b －5)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0a －b －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0a ＋b －5＝0.解得⎩⎨⎧ a ＝52b ＝－12或⎩⎨⎧a ＝－32b ＝132.所以满足条件的点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫52，－12或⎝⎛⎭⎫－32，132.。
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 83 圆的方程课件 理
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解析：因为 A(1，－1)，B(－1,1)，所以 AB 的中垂线方程为 y＝x。由
x＋y－2＝0， y＝x，
x＝1， 得y＝1，
所以圆心坐标为(1,1)，r＝
1－12＋1＋12＝
2。则圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4。
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3．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 D2＋E2－4F＞0 ，其中圆
心为 －D2 ，－E2 ，半径 r＝
D2＋E2－4F
2
。
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4．点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种。
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0)，
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一、走进教材
1．(必修 2P124A 组 T1 改编)圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标是( )
A．(2,3)
B．(－2,3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)。 故选 D。
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考点一 圆的方程 【例 1】 (1)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x－y－1＝0 相切于点 B(2,1)，则 圆 C 的方程为________。
解析 (1)由已知 kAB＝0，所以 AB 的中垂线方程为 x＝3①。过 B 点且 垂直于直线 x－y－1＝0 的直线方程为 y－1＝－(x－2)，即 x＋y－3＝0②，
二、走近高考 3．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆1x62 ＋y42＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________。
高考领航人教数学理总复习 第08章平面解析几何83圆的方程含解析
第3课时圆的方程1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．初步了解用代数方法处理几何问题的思路．[对应学生用书P132]【梳理自测】一、圆的定义及圆的标准方程1．(教材改编)圆心为点(0，1)，半径为2的圆的标准方程为( )A．(x－1)2＋y2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋y2＝22．已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝ 2C．x2＋y2＝2 D．x2＋y2＝4答案：1.C 2.C◆以上题目主要考查了以下内容：(1)圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．(2)圆的标准方程①方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程．②特别地，以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为x2＋y2＝r2．二、圆的一般方程1．(教材改编)方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的范围是( )A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞)2．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2，3)B ．(－2，3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)3．(教材精选题)过三点O(0，0)，A(1，0)，B(0，1)的圆的方程是________． 答案：1.B 2.D 3.x 2＋y 2－x －y ＝0 ◆以上题目主要考查了以下内容：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.故有：(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以12D 2＋E 2－4F 为半径的圆；(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2；(3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 三、点与圆的位置关系若点(1，1)在圆(x －a)2＋(y ＋a)2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜1C ．a ＞1或a ＜－1D ．a ＝±1答案：A◆此题主要考查了以下内容：P(x 0，y 0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r ＞0)的位置关系 (1)若(x 0－a)2＋(y 0－b)2＞r 2，则点P 在圆外； (2)若(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2，则点P 在圆上； (3)若(x 0－a)2＋(y 0－b)2＜r 2，则点P 在圆内．【指点迷津】1．一种互化圆的标准方程展开配方或公式一般方程． 2．两种方法求圆的方程可选用两种方法直接法：直接求出圆心和半径，用圆的标准方程．待定系数法：设出圆的标准方程或一般方程，求出a ，b ，r 或D ，E ，F. 3．三个常用性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)直径所对的圆周角为直角．[对应学生用书P 133]考向一 求圆的方程根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P(－2，4)、Q(3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P(3，－2)． 【审题视点】 (1)设圆的一般方程 (2)设圆的标准方程也可利用圆的性质求【典例精讲】 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.① ②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8， 或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.(2)方法一：如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.方法二：设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，（3－x 0）2＋（－2－y 0）2＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.【类题通法】 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程；(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b)和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a 、b 、r 的方程组，从而求出a 、b 、r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．1．求过两点A(1，4)、B(3，2)且圆心在直线y ＝0上的圆的标准方程． 解析：方法一：设圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.∵圆心在y ＝0上，∴b ＝0. ∴圆的方程为(x －a)2＋y 2＝r 2.又∵该圆过A(1，4)、B(3，2)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋16＝r 2，（3－a ）2＋4＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r 2＝20. 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20.方法二：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为圆心在x 轴上，则－F2＝0，即E ＝0.又该圆过A(1，4)和B(3，2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＋17＋F ＝0，3D ＋13＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝0，F ＝－19.所以圆的方程为x 2＋y 2＋2x －19＝0.故标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝20.方法三：∵圆过A(1，4)、B(3，2)两点， ∴圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上， 又∵k AB ＝4－21－3＝－1.∴l 的斜率为1.又AB 的中点为(2，3)，故AB 的垂直平分线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0. 又知圆心在直线y ＝0上，∴圆心坐标为C(－1，0)． ∴半径r ＝|AC|＝（1＋1）2＋42＝20.即所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20.考向二 与圆有关的最值问题已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．【审题视点】 首先求出圆心和半径后，利用代数或几何意义求解．【典例精讲】 (1)原方程化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以点(2，0)为圆心，半径为3的圆．设yx ＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时有|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.故yx的最大值为3，最小值为－ 3. (2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值， 此时|2－0＋b|2＝3，即b ＝－2± 6.故(y －x)max ＝－2＋6，(y －x)min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知在原点和圆心连线与圆的两个交点处x 2＋y 2取得最大值或最小值．又圆心到原点的距离为2， 故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.【类题通法】 研究与圆有关的最值问题时，可以借助代数式的几何意义，利用数形结合求解．常见的最值问题与处理方法如下：(1)形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b)和(x ，y)的直线的斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题．(3)形如(x －a)2＋(y －b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．2．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)． (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)若M(m ，n)，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解析：(1)由C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8， ∴圆心C 的坐标为(2，7)，半径r ＝2 2. 又|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝4 2.∴|MQ|max ＝42＋22＝62， |MQ|min ＝42－22＝2 2. (2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k(x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k.由直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2. 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.考向三 与圆有关的轨迹问题设定点M(－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．【审题视点】 M 、O 是定点，P 因N 而动，利用OP 和MN 的中点相同，用P 点坐标表示N 点坐标代入圆的方程．【典例精讲】 如图所示，设P(x ，y)，N(x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42. 由于平行四边形的对角线互相平分， 故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42. 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3y 0＝y －4.N(x ＋3，y －4)在圆上， 故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆： (x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况)．【类题通法】 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程；(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．3．已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9，过点A(2，3)作圆C 的任意弦，求这些弦的中点P 的轨迹方程．解析：法一(直接法)： 设P(x ，y)，圆心C(1，1)． ∵P 点是过A 的弦的中点，∴PA →⊥PC →.又∵PA →＝(2－x ，3－y)，PC →＝(1－x ，1－y)． ∴(2－x)(1－x)＋(3－y)(1－y)＝0，∴P 点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝54. 法二(定义法)：∵PA⊥PC ，∴由圆的性质知点P 在以AC 为直径的圆上，圆心C(1，1)，而AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，|AC|＝（2－1）2＋（3－1）2＝5，所以半径为52. 所求动点P 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝54.[对应学生用书P 134]有关圆的轨迹及最值的求法(2014·武汉市调研)从圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋24＝0外一点P 向该圆引切线PT ，T 为切点，且|PT|＝|PO|(O 为坐标原点)，则(1)|PT|的最小值为________；(2)|PT|取得最小值时点P 的坐标为________．【方法分析】 ①题目条件：已知圆的一般方程，动点P 满足|PT|＝|PO|，T 为切点． ②解题目标：|PT|切线长的最小值及对应的P 点．③关系探究：切线长|PT|2＝|PC|2－1，由|PT|2＝|PO|2，推导P 点的轨迹方程，要使|PT|最小，则就需|PO|最小，转化圆上的点到P 点轨迹上的点的距离最小，可求P 点坐标．【解答过程】 圆C 的标准方程为：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设P(x ，y)，由|PT|＝|PO|得(x －3)2＋(y －4)2－1＝x 2＋y 2，得3x ＋4y －12＝0，P 的轨迹为直线：3x ＋4y －12＝0，当圆心C到直线的距离最小时，切线PT取最小值，为d＝|3×3＋4×4－12|5＝135，|PT|min＝（135）2－1＝125此时，由⎩⎪⎨⎪⎧y＝43x3x＋4y－12＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3625y＝4825，∴P⎝⎛⎭⎪⎫3625，4825.【答案】(1)125(2)⎝⎛⎭⎪⎫3625，4825【回归反思】(1)P点为动点，要求|PT|最小，必求P点轨迹．(2)利用直接法把|PT|＝|PO|转化P(x，y)的表达式，即为P点轨迹方程．(3)当|PT|最小时，即C点向轨迹线3x＋4y－12＝0作垂线，垂足即为P，此是O、C、P共线，故利用直线OC和3x＋4y－12＝0求交点即为P点．1．(2012·高考辽宁卷)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0解析：选C.圆的圆心为(1，2)．直线x－y＋1＝0过圆心．故选C.2．(2012·高考江西卷)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．解析：如图所示，|OP|＝|OA|sin∠OPA＝2，设P(x，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x ＋y －22＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，故P(2，2)． 答案：(2，2)3．(2013·高考江西卷)若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．解析：根据圆的弦的性质和直线与圆的位置关系求解．因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0，0)和(4，0)，所以设圆心为(2，m)．又因为圆与直线y ＝1相切，所以（4－2）2＋（0－m ）2＝|1－m|，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254. 答案：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254 4．(2013·高考全国新课标卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解析：(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P(x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.。
【优化探究】高考数学 83 圆的方程提素能高效训练 新人教A版 理
"【优化探究】2015高考数学 8-3 圆的方程提素能高效训练 新人教A 版 理 "[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1．(2014年阜阳模拟)方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(3＋∞) D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞) 解析：由题意知，m 2＋(－2)2－4×3>0. ∴m>22或m<－2 2. 答案：B2．若圆x 2＋y 2－6x ＋6y ＋14＝0关于直线l ：ax ＋4y －6＝0对称，则直线的斜率是( ) A ．6 B.23 C ．－23 D ．－32解析：依题意知，直线l 过圆的圆心． 又圆心坐标为(3，－3)，代入直线方程得a ＝6. 所以直线的斜率是－32.答案：D3．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C 的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上， ∴设C(m,3m)．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切，∴|4m －9m|5＝1，∴m ＝±1， ∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.故选C. 答案：C4．(2014年昆明一模)方程|x|－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆D ．两个半圆解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(|x|－1)2＋(y －1)2＝1，|x|－1≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －1)2＝1，x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆． 答案：D5．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析：将圆的方程配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，若圆关于已知直线对称，即圆心在直线上，代入整理得：a ＋b ＝1，故ab ＝a(1－a)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，故选A.答案：A6．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 答案：C 二、填空题7．(2013年高考江西卷)若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．解析：由已知可设圆心为(2，b)，由22＋b 2＝(1－b)2＝r 2得b ＝－32，r 2＝254.故圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.答案：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝2548．已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C(1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．解析：设圆心M 坐标为(x ，y)， 则(x －1)2＋(y ＋1)2＝⎝⎛⎭⎪⎫|AB|22，即 (x －1)2＋(y ＋1)2＝9. 答案： (x －1)2＋(y ＋1)2＝99．过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.解析：∵(1－2)2＋(2)2＝3<4，∴点(1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部，当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2,0)与点(1，2)的连线垂直于直线l.∵2－01－2＝－2， ∴所求直线l 的斜率k ＝22. 答案：22三、解答题10．已知一等腰三角形的顶点A(3,20)，一底角顶点B(3,5)，求另一底角顶点C(x ，y)的轨迹．解析：由|AB|＝|AC|得(x －3)2＋(y －20)2＝(3－3)2＋(20－5)2， 整理得(x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)，故另一底角顶点C 的轨迹是以点(3,20)为圆心，半径为15的圆，除去点(3,35)和(3,5)． 11．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C 的方程． 解析：因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－116＝－6，其方程为y ＋1＝－6(x －4)， 即y ＝－6x ＋23.又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57⎝⎛⎭⎪⎫x －132，即5x＋7y －50＝0上，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ＋23，5x ＋7y －50＝0，解得圆心为(3,5)，所以半径为(9－3)2＋(6－5)2＝37， 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37.12．(能力提升)(2014年大连模拟)已知圆M 过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．解析：(1)设圆M 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)， 根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形PAMB 的面积 S ＝S △PAM ＋S △PBM＝12|AM|·|PA|＋12|BM|·|PB|， 又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|， 所以S ＝2|PA|，而|PA|＝|PM|2－|AM|2＝|PM|2－4， 即S ＝2|PM|2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM|的值最小， 所以|PM|min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 所以四边形PAMB 面积的最小值为 S ＝2|PM|2min －4＝232－4＝2 5.[B 组 因材施教·备选练习]1．已知两点A(0，－3)、B(4,0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )A ．6 B.112 C ．8 D.212解析：如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为 d ＝|3×0－4×1－12|32＋(－4)2＝165， ∴△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫165－1＝112.答案：B2．(2014年大理模拟)已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．解析：作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α＋β所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别为12、13，得tan α＝12，tan β＝13，tan θ＝tan(α＋β)＝12＋131－12×13＝1，得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径)．答案：π2。
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限时作业41 圆的方程 一、选择题
1.以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5＝0相切的圆的方程为( )
A.(x-2)2+(y+1)2＝3
B.(x+2)2+(y-1)2＝3
C.(x-2)2+(y+1)2＝9
D.(x+2)2+(y-1)2＝3 解析:34
3|
5)1(423|2
2
=++-⨯-⨯=r ,故选C.
答案:C
2.已知向量OA ,OB 满足1||||==OB OA ,0=∙OB OA ,OB OA OC μλ+=(λ,μ∈R ),若M 为AB 的中点,并且1||=,则点(λ,μ)在( )
A.以(21-
,21
)为圆心,半径为1的圆上 B.以(21,21
-)为圆心,半径为1的圆上
C.以(21-,21
-)为圆心,半径为1的圆上
D.以(21,2
1
-)为圆心,半径为1的圆上
解析:分别以OA 、OB 所在直线为x 、y 轴建立平面直角坐标系,则点M(21,2
1
)为圆心,半径为1.
答案:D
3.若函数ax
e b
x f 1)(-
=的图象在x ＝0处的切线l 与圆C:x 2+y 2＝1相离,则P(a,b)与圆C 的位置关系是( )
A.在圆外
B.在圆内
C.在圆上
D.不能确定
解析:ax
e b a x
f -=')(,∴b a f -=')0(. 又∵切点为(0,b
1
-),
∴切线l 的方程为x b
a
b y -=+1,
即ax+by+1＝0.
∴圆心C(0,0)到直线l 的距离112
2
>+=
b
a d .
∴a 2+b 2＜1.
∴P(a,b)在圆C:x 2+y 2＝1内.故选B. 答案:B
4.圆x 2+y 2-4x+2y+c ＝0与y 轴交于A 、B 两点,圆心为P,若∠APB ＝120°,则实数c 等于( ) A.1 B.-11 C.9 D.11
解析:过圆心作PP′⊥y 轴,垂足为P′,则P′(0,1),∠APP′＝60°,|PP′|＝2,所以圆半径|PA|＝4,由圆的普通方程,得
244
4416=-+c
,故c ＝-11,选B. 答案:B
5.设A 为圆(x-1)2+y 2＝1上的动点,PA 是圆的切线且|PA|＝1,则P 点的轨迹方程是… ( ) A.(x-1)2+y 2＝4 B.(x-1)2+y 2＝2 C.y 2＝2x D.y 2＝-2x 解析:作图可知圆心(1,0)到P 点距离为2,所以P 在以(1,0)为圆心,以2为半径的圆上,其轨迹方程为(x-1)2+y 2＝2.
答案:B
6.圆x 2+y 2-2x-1＝0关于直线2x-y+3＝0对称的圆的方程是( ) A.(x+3)2+(y-2)2＝
21 B.(x-3)2+(y+2)2＝2
1 C.(x+3)2+(y-2)2＝
2 D.(x-3)2+(y+2)2＝2
解析:圆x 2+y 2-2x-1＝0⇒(x-1)2+y 2＝2,圆心(1,0),半径2,关于直线2x-y+3＝0对称的圆半径不变,排除A 、B,两圆圆心连线段的中点在直线2x-y+3＝0上,C 中,圆(x+3)2+(y-2)2＝2的圆心
为(-3,2),验证适合,故选C. 答案:C
7.若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y ＝0和x 轴相切,则该圆的标准方程是( )
A.(x-3)2+(3
7-
y )2
＝1 B.(x-2)2+(y-1)2＝1 C.(x-1)2+(y-3)2＝1 D.(2
3
-x )2+(y-1)2＝1
解析:设圆心(a,b)(a ＞0,b ＞0),则134|
34|22==+-b b a ,∴⎩
⎨
⎧==.1,
2b a . ∴该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2＝1.
答案:B
8.要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头,使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面,则需安装这种喷水龙头的个数最少是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:因为喷水龙头的喷洒面积为36π≈113,正方形面积为256,故至少3个龙头.由于2R ＜16,
故3个龙头肯定不能保证整个草坪能喷洒到水.当用4个龙头时,可将正方形均分为四个小正方形,同时将4个龙头分别放在它们的中心,由于28122>=R ,故可以保证整个草坪能喷洒到水
.
答案:B 二、填空题
9.已知两圆x 2+y 2＝10和(x-1)2+(y-3)2＝20相交于A,B 两点,则直线AB 的方程是___________. 解析:两个圆方程作差,得x+3y ＝0. 答案:x+3y ＝0
10.与直线x+y-2＝0和曲线x 2+y 2-12x-12y+54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是______.
解析:曲线可化为(x-6)2+(y-6)2＝18,其圆心到直线x+y-2＝0的距离为
252
266|=+
-+=
d . 所求的最小圆的圆心在直线y ＝x 上,其到直线的距离为2,圆心坐标为(2,2). ∴标准方程为(x-2)2+(y-2)2＝2. 答案:(x-2)2+(y-2)2＝2
11.设直线ax-y+3＝0与圆(x-1)2+(y-2)2＝4相交于A 、B 两点,且弦AB 的长为32,则a ＝_________.
解析:由于弦AB 的长为32,则圆心(1,2)到直线ax-y+3＝0的距离等于1,即11
|32|2
=++-a a ,
解得a ＝0. 答案:0
三、解答题
12.已知圆C 的方程x 2+y 2-2ax+(2-4a)y+4a-4＝0(a ∈R ). (1)证明对任意实数a,圆C 必过定点; (2)求圆心C 的轨迹方程; (3)对a ∈R ,求面积最小的圆C 的方程.
(1)证明:分离参数a,化为x 2+y 2+2y-4+a(-2x-4y+4)＝0,
又⎩⎨⎧=+--=-++,
0442,0422
2
y x y y x ,得⎩⎨⎧==0,2y x 或,.565
2⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-
=y x ∴对任何实数a,圆C 必过点A(2,0)、
)5
6,52(-B .
(2)解:∵D 2+E 2-4F ＝4(5a 2-8a+5)＞0恒成立,设C 的坐标为(x,y), 则圆心C 的方程为⎩⎨
⎧-==,
12,
a y a x
消去a,得2x-y-1＝0. ∴圆心C 的轨迹方程为2x-y-1＝0.
(3)解:面积最小的圆就是以AB 为一条直径的圆,方程是5
9)5
3()5
4
(2
2
=
-+-y x . 13.已知⊙M:x 2+(y-2)2＝1,Q 是x 轴上的动点,QA 、QB 分别切⊙M 于A 、B 两点. (1)如果3
2
4||=
AB ,求直线MQ 的方程; (2)求动弦AB 的中点P 的轨迹方程. 解:(1)由P 是AB 的中点,3
2
4||=
AB , 可得3
1
)322(1)2||(
||||222=-=-=AB MA MP . 由射影定理,得|MB|2＝|MP|·|MQ|,得|MQ|＝3.
在Rt △MOQ 中,523||||||2
222=-=-=MQ MQ OQ .
故Q 点的坐标为(5,0)或(5-,0).
所以直线MQ 的方程是05252=-+y x 或05252=+-y x . (2)连结MB,MQ,设P(x,y),Q(a,0),点M 、P 、Q 在一条直线上, 得
x
y a 22-=-.① 由射影定理,有|MB|2＝|MP|·|MQ|,
即14)2(2
22=+∙-+a y x .②
由①及②消去a,可得
161)47(22=-+y x 和16
1)49(22=-+y x .
又由图形可知y ＜2,
因此16
1
)4
9(2
2
=
-+y x 舍去. 因此所求的轨迹方程为16
1
)4
7(2
2
=-+y x (y≠2).。