高中数学《单调性与最大(小)值》学案

单调性与最大（小）值
【学习目标】
理解函数的最大（小）值及其几何意义；
【学习重难点】
1. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
2.函数单调性证明
【学习过程】
要点一､函数的单调性
1．增函数和减函数
设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间I ⊆A ，
（1）如果对区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么称y ＝f (x )在区间I 上是增函数，I 称为y ＝f (x )的增区间。

（2）如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么称y ＝f (x )在区间I 上是减函数，I 称为y ＝f (x ) 的减区间。

要点诠释：
（1）属于定义域A 内某个区间上；
（2）任意两个自变量12,x x 且12x x <；
（3）都有1212()()(()())f x f x f x f x <>或； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的｡
2．单调性与单调区间
（1）单调区间的定义 如果函数f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数f （x ）在区间D 上具有单调性，D 称为函数f （x ）的单调区间｡
函数的单调性是函数在某个区间上的性质｡
要点诠释：
① 单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；
② 单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质
的；
③ 不能随意合并两个单调区间；
④ 有的函数不具有单调性｡
（2）已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？
基本方法：观察图形或依据定义｡
3．函数的最大（小）值 一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：
（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤（或()f x M ≥）； （2） 存在0x I ∈，使得0()f x M =，那么，我们称M 是函数的最大值（或最小值）｡
要点诠释：
① 最值首先是一个函数值，即存在一个自变量0x ，使0()f x 等于最值； ② 对于定义域内的任意元素x ，都有0()()f x f x ≤（或0()()f x f x ≥），“任
意”两字不可省；
③ 使函数()f x 取得最值的自变量的值有时可能不止一个；
④ 函数()f x 在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高
点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标｡
【学习小结】
1．经历从图象的直观描述到符号表达的抽象过程，在函数单调性的应用中提升数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养。

2．对函数单调性的理解
（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。

（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x 1，x 2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x 1，x 2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1<x 2；三是属于同一个单调区间。

（3）单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f (x )是增(减)函数且f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2(x 1>x 2)。

（4）并不是所有函数都具有单调性。

若一个函数在定义区间上既有增区间
又有减区间，则此函数在这个区间上不具有单调性。

3．若函数f (x )在其定义域内的两个区间A ，B 上都是增(减)函数，一般不能简单认为f (x )在A ∪B 上是增(减)函数。

4．利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小。

【达标检测】
一、单选题1．甲：函数()f x 是R 上的单调递减函数；乙：()()1212x x f x f x ∃<>,，则甲是乙的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知f (x )＝(3a －1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(－∞，13) B ．(13，＋∞)
C ．(－∞，1
3] D ．[1
3，＋∞)
3．函数f (x )＝－x 2－4x ＋1，x ∈[－3，3]的值域是（ ）
A ．(－∞，5]
B ．[5，＋∞)
C ．[－20，5]
D ．[4，5] 4．已知函数21
()1x f x x +=-，其定义域是[8-，4)-，则下列说法正确的是( )
A ．()f x 有最大值53，无最小值
B ．()f x 有最大值5
3，最小值7
5
C ．()f x 有最大值7
5，无最小值 D ．()f x 有最大值2，最小值7
5
5．函数()24f x x x =-的最大值是（ ）
A ．4-
B ．0
C ．4
D ．2
6．如果函数()y f x =的图象如图所示，那么此函数的减区间为__________.
7．函数221y x x =-++的单调递增区间是______．
8．函数23y x =-+的单调递减区间是___________.
9．已知函数239,2
()1,21
1,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-+≥⎩.
（1）写出函数()f x 的单调区间（不需要证明）；
（2）若函数()f x 的图象与直线y m 有4个交点，求实数m 的取值范围.。