基于有限元法的磁悬浮开关磁阻电机数学模型

第27卷第12期中国电机工程学报V ol.27 No.12 Apr. 2007
2007年4月Proceedings of the CSEE ©2007 Chin.Soc.for Elec.Eng. 文章编号：0258-8013 (2007) 12-0033-08 中图分类号：TM301 文献标识码：A 学科分类号：470⋅40
基于有限元法的磁悬浮开关磁阻电机数学模型
孙玉坤，吴建兵，项倩雯
（江苏大学电气信息工程学院, 江苏省镇江市 212013）
The Mathematic Model of Bearingless Switched Reluctance Motor Based on
the Finite-element Analysis
SUN Yu-kun, WU Jian-bing，XIANG Qian-wen
(School of Electrical and Information Engineering, Jiangsu University, Zhenjiang 212013, Jiangsu Province, China)
ABSTRACT: Magnetic force is used to avoid mechanical friction when a motor rotates in high speed. But magnetic bearing occupies axial space and restrains the critical speed. A bearingless switched reluctance motor utilizes the similarity between the mechanical structures of magnetic bearing and motor. It adds another set of windings to switched reluctance motor in order to realize rotation and suspension simultaneously via certain control strategies. Using the finite- element analysis software Ansoft/ Maxwell 2D, the magnetic field of bearingless switched reluctance motors is analyzed. According to the magnetic equivalent circuit and the theory of virtual displacement, the mathematic model of bearingless switched reluctance motors is derived when the displacement of axisαβand its coupling are considered. The validity of the model is verified by the results of the finite-element analysis.
KEY WORDS: switched reluctance motor; magnetic bearing; bearingless motor; mathematic model; finite-element analysis
摘要：当电机高速运行时，为避免机械磨损，采用电磁力进行悬浮支撑，而磁轴承占用轴向空间，限制临界转速。

磁悬浮开关磁阻电机利用电机定子与轴承机械结构的相似性，在原有的电机定子绕组上附加一套径向力绕组，通过一定的控制策略，同时实现电机的旋转和悬浮。

该文在利用有限元软件Ansoft/ Maxwell 2D分析磁悬浮开关磁阻电机磁场的基础上，结合等效磁回路法并根据虚位移定理，推导出磁悬浮开关磁阻电机在考虑α、β轴方向径向偏移及其耦合时的径向力和转矩的数学模型，并用有限元分析结果验证了该模型的正确性和有效性。

关键词：开关磁阻电机；磁轴承；磁悬浮电机；数学模型；有限元分析
基金项目：国家自然科学基金项目(60174052)。

Project supported by National Natural Science Foundation of China (60174052)．0 引言
在高速机床、涡轮分子泵、高速飞轮等设备中需要高速和超高速电机来驱动，用机械轴承支承时，由转子高速运行带来的摩擦阻力增加，使轴承磨损加剧，造成电机气隙不均，绕组发热，降低电机工作效率，缩短电机和轴承的使用寿命，增加对电机和轴承维护的负担。

因此应运而生的磁轴承利用电磁力进行支撑，避免了机械磨损，但是磁轴承占用一定的轴向空间，限制了高速电机的临界转速。

磁悬浮电机将磁轴承中的控制绕组叠绕在电机定子槽中，利用电力电子技术和计算机控制技术使电机同时具备驱动和自悬浮能力，这是高速电机研究领域的重大突破[1-5]。

磁悬浮开关磁阻电机的研究则始于 20 世纪末，由于磁悬浮机理以及控制系统的复杂性，目前，国外只有Chiba、Takemoto等为首的日本学者[6-10]研究并掌握了磁悬浮开关磁阻电机的初步技术，国内有南京航空航天大学 [11-12]等和江苏大学等[13-14]在进行相关的基础理论和实验研究。

磁悬浮开关磁阻电机利用电机定子与轴承机械结构的相似性，在原有的电机定子绕组上附加一套径向力绕组，打破原气隙磁场(也就是转矩磁通)的平衡，从而产生作用在转子上的悬浮力来实现转子的悬浮，这样就避免了轴承的机械摩损，并且不占用额外的轴向空间，同时具备旋转和悬浮功能，不仅具有磁轴承电机的优点，而且轴向利用率高、体积小、功耗低。

由于磁悬浮开关磁阻电机的每个定子极上存在着2套绕组，使得原本就比较复杂的开关磁阻电机的磁场变得更为复杂。

其中径向力的产生是电机
34 中国电机工程学报第27卷
主绕组电流和悬浮力绕组电流相互作用的结果，电机旋转磁场作为偏置磁场，所以电机的旋转和悬浮之间存在着强耦合。

因此磁悬浮开关磁阻电机是一个多变量强耦合的复杂非线性系统，要想在现代控制理论的基础上，利用电力电子技术和计算机控制技术，实现电机的高速旋转和稳定悬浮的高性能控制，首先要建立其准确的数学模型。

在文献[6-8,11]推导得到磁悬浮开关磁阻电机的数学模型中，只考虑了α (或β)方向偏移量，假定β(或α)方向的偏移对它的影响很小而不予考虑也就是说没有考虑相互垂直的α、β方向径向力的耦合；文献[9]的数学模型中，主要考虑了在−15°≤θ≤−7.5°时(θ为转子转动的位置角，顺时针方向为正，转子角度的零度定义在定转子齿轴线重合处，此时电感为最大值)，相互垂直的α、β径向力的交叉耦合和边缘磁通；文献[10]得到了在−15°≤θ≤0°，包括磁饱和的范围内的数学模型，但没有考虑相互垂直的径向力的耦合；文献[12]给出了一种新型的数学模型，拓宽了无轴承开关磁阻电机的有效工作区域，但没有给出数学模型的有限元的直观验证。

本文在现有文献的基础上，根据有限元分析的结果，结合等效磁回路法并根据虚位移定理，推导出磁悬浮开关磁阻电机在考虑α、β轴方向径向偏移及其耦合时的径向力和转矩的数学模型，并用有限元分析结果验证了该数学模型的正确性和有效性，数学模型的建立为电机的非线性解耦等高性能控制打下了基础。

1 磁悬浮开关磁阻电机原理
磁悬浮开关磁阻电机通过在开关磁阻电机定子绕组(主绕组)的基础上增加一套绕组(悬浮力绕组)，并对其电流加以合理的控制，可以得到实现转轴悬浮所需的径向力。

如图1所示，以α轴为例，径向相对的四极绕组串联而成的主绕组产生了偏置磁通，径向相对的两极绕组串联而成的径向力绕组分别对此偏置磁通产生增强(气隙1处)、削弱(气隙2处)的作用，由此产生了对转子向右的径向力Fα。

同理，通过主绕组和与α轴垂直的β轴的径向力绕组可产生β轴径向力Fβ，Fα，Fβ可以合成任意方向的径向力。

而旋转转矩的产生和开关磁阻电机转子运行原理一样，按照一定的顺序给各相主绕组通以电流，由于凸极效应，产生切向磁拉力从而形成磁阻转矩。

图1磁悬浮开关磁阻电机原理
Fig. 1 The principle of BSRM
2 磁悬浮开关磁阻电机有限元分析
在电磁场分析中，最常用的一种数值计算方法就是有限元法，它可以作为数值模拟实验平台仿真出实验系统无法测试到的数据[15-16]。

它是一种以变分原理和分片插值为基础的数值计算方法。

首先利用变分原理把所要求解的磁场边值问题转化为相应的变分问题，也就是泛函的极值问题，然后利用剖分插值，将变分问题离散化为普通多元函数的极值问题，最后归结为一组多元的代数方程组。

求解代数方程组，即得待求边值问题的数值解。

在磁场分布和变化比较复杂且非线性严重的情况下，有限元法精度最高。

由于磁悬浮开关磁阻电机是双凸极结构，存在着显著的边缘效应和局部磁饱和现象，且每个定子极上存在着2套绕组，所以电机气隙磁场空间分布和变化比较复杂，本文利用目前国际上公认的最为精确的电磁场仿真软件——Ansoft/Maxwell 2D有限元法对该磁场进行分析。

Ansoft/Maxwell 2D有限元软件包括了网络自动剖分、前处理和数据处理，以及参数计算的后处理功能，使用方便，易于掌握，是一种强大、准确的二维电磁分析软件。

自适应网格法是从较疏的初始网格剖分开始，每一次磁场计算后软件自动地在每个网格内作误差估计，并在误差大的地方自动地加密网格。

经过若干次自适应网格迭代，最终达到在磁场剧变区域的网格密集剖分和高精度的磁场解。

前处理阶段包括创建电机模型、定义材料属性、划分网格、定义边界条件并加载等等；在后处理阶段可计算电机转轴所受悬浮力、旋转力以及将电机内部磁场分布图形象直观地表达出来。

在Ansoft/Maxwell 2D下，磁悬浮开关磁阻电机的网格剖分及其磁场分布如图2、图3所示。

通过有限元方法分析发现：当主绕组电流给定，转子
第12期孙玉坤等： 基于有限元法的磁悬浮开关磁阻电机数学模型35
没有偏心时，径向力、电机转矩与转子位置角、以
及径向力绕组电流之间有非线性函数关系；−15°≤
θ≤−7.5°时，相互垂直的α、β方向径向力的耦合关系
比较严重。

当转子有偏心时，电机转子所受到的悬
浮力与旋转力不仅是绕组电流、转子位置角的函数，也是转子偏心距的函数，近似成线性关系。

这是因为转子的径向位置的变化对气隙磁场的分布产生一定的影响，在同一转角下，转子径向偏心时的磁力线分布与转子处于中心位置时的磁力线分布不同，磁场增强的方向与转子径向偏心的方向一致。

图2磁悬浮开关磁阻电机网格剖分图
Fig. 2 Grid subdivision of BSRMr
图3磁悬浮开关磁阻电机磁场分布图
Fig. 3 The magnetic field’s distribution of BSRM
3 磁悬浮开关磁阻电机的数学模型
基于电磁场的虚位移定理，可从任一相的电感矩阵推导出磁悬浮开关磁阻电机的瞬时径向力和电磁转矩的理论公式。

以A相为例，推导的思路是：首先用等效磁路法得到以磁导表示的A相电感矩阵，然后通过有限元辅助分割磁场法得到磁导的解析式，将磁导的解析式代入电感矩阵，最后通过虚位移法求得径向力和转矩的表达式。

建立磁悬浮开关磁阻电机的数学模型所作的假设同文献[9,12]，转子的径向位置偏移与气隙长度相比很小是推导过程中忽略位置偏移高次项的必要条件。

据磁悬浮开关磁阻电机的等效磁路图(如图4) 以及其中的一相——A相的等效磁路(如图5) ，可以得到绕组的自感和相互间的互感。

P a4
P a3P a1
P a2
气隙1
a2
粗实线—等效磁回路
细实线—MMF和A相等效磁导
图4 磁悬浮开关磁阻电机的等效磁路图
Fig. 4 A magnetic equivalent circuit of BSRM
a i m a
s i s a2
a4
图5 A相等效磁路
Fig. 5 A magnetic equivalent circuit of A phase
设N m为电机转矩力绕组的匝数，N s为电机悬浮力绕组的匝数，l g为电动机定转子间气隙长度，l0为平均气隙长度，r为转子极半径，θe为从激励相定子与转子完全对齐位置开始的转子角位置，也称转子位置角。

h为定子叠片长度。

i m a为电动机转矩力绕组电流，i s a1为α方向悬浮力绕组电流，i s a2为β方向悬浮力绕组电流。

磁通势为四极磁悬浮开关磁阻电机主绕组(转矩力绕组)和两极径向悬浮力绕组的磁通势，空气磁导表示为等效磁阻抗。

电动机转矩绕组和悬浮力绕组用符号“”，空气磁导用“”表示。

P a1~P a4为A相绕组每个齿极下的气隙磁导，φa1~φa4为每个转子齿极下的磁通。

由于磁悬浮开关磁阻电机A、B、C三相之间的互感很小，可以仅对A相等效磁路进行计算，而不考虑相绕组间的互感，B相与C相导通时的径向悬浮力可以用同样的方法计算。

得到下列自感互感表达式
2
a1a3a2a4
a
4()()
m
m
N P P P P
L
P
++
=(1)
[]
2
a1a2a3a4a3a1a2a4 a1
(2)(2)
s
s
N P P P P P P P P
L
P
+++++ =
(2)
2
a2a1a3a4a4a1a2a3 a2
[(2)(2)]
s
s
N P P P P P P P P
L
P
+++++ =
(3)
a1a3a2a4 (a,a1)(a1,a)
2()()
m s
m s s m
N N P P P P
M M
P
−+
== (4)
36 中 国 电 机 工 程 学 报 第27卷
a1a3a2a4(a,a2)(a2,a)2()()
m s m s s m N N P P P P M M P
+−==
(5)
2a1a3a2a4(a1,a2)(a2,a1)()()
s s s s s N P P P P M M P
−−==
(6) 式中：L m a 、L s a1和L s a2分别为转矩力绕组N m 、悬浮
力绕组N s a1和N s a2的自感；
M (m a,s a1)、M (m a,s a2)和M (s a1,s a2)为转矩力绕组N m 和悬浮力绕组N s a1、 N s a2相互间的互感，P =P a1+ P a2+ P a3+ P a4。

根据有限元磁场分析的结果，气隙1处的磁导
P a1假定由3部分组成(如图6)，
即：P a1= P 1+ P 2+ P 3，其中P 1为齿间磁导，P 2，P 3为边缘磁导(P 2≈P 3)。

磁通道是椭圆形，其椭圆系数k 是变化的，与转子
位置角θ及平均气隙长度l 0有关。

设t 为椭圆的短半轴，长半轴为l 0+kt 。

k 与t /l g 的关系可以近似为如下函数
000t l t
k a t l al t
==
++ (7) 式中a 为常数，用最小二乘法得到，约为1。

要计算边缘磁导P 2和P 3首先计算当转子中心位移分别为α、β时气隙1处平均气隙长度(如图7)，l 0为定、转子中心重合时的平均气隙长度，l ′0为不考虑β方向位移影响时气隙1处的平均气隙长度，l ′0= l 0−α；粗虚线表示仅α方向位移时的转子实际位置，o 1为此时的转子中心位置，o 2为同时存在α、β方向位移时的转子中心位置。

AB 为定子齿上与转子齿相重合的部分，设其中点为C ，通过o 1向右水平线交定子齿于D 。

从图中可以看出
−θ r +β
r π/12−(−θ r +β ) P 3
d P 3 定子齿
转子齿
k d t
l g +kt d t t
P 2 d P 2
βθαP 1
图6 气隙1处假定磁路
Fig. 6 Assumed magnetic paths in air gap1
转子
定子
B
D −θ r+β
−θ r
O 2 O 1
β +βθ/2−α
C r π/12−(−θ r+β )E
图7 有偏心距时气隙1处平均气隙长度的计算 Fig. 7 Calculation of average air gap1’s length
considering displacement
11AO C CO B ∠=∠=
1[()]2122422r r
βθβ
θππ−−+=
+− (8) 21211O O C O O A AO C ∠=∠+∠=
()()2242422222r r
θβθβππππ−++−=+− (9) 当θ≤π/12时，
21cos sin(
)2222
O O C r r βθβθ
∠=−≈− (10) 在三角形21O O C 中，由余弦定理得
22221()()2()cos g g g l r l r l r O O C ββ′′+=++−+∠ (11)
式(10)代入式(11)并利用20β≈得气隙平均长度
0/2g l l βθα=+− (12)
根据磁导的定义计算齿间磁导 (/12)0010
0[()]
d /2r g
h
h r P t l l θβ
µµθββθα
π+−π/12+−==
+−∫
(13)
简化得
00012
00
(12)[2()]
24hr l h P l l µθαβθµβ
π++−=
−
(14)
根据磁导定义得到
020
(2)
d (2)()
r g g g h al t P t l t al t θβ
µ−++=+π+∫
(15)
根据推导模型定义的假设条件对P 2进行简化可得
020002
02[2()]2()
ln 2h
P a r l l al a al µθαβθβ=⋅
π(π−)⎧−+−++π+⎨⎩
0000[2()]2(2)(4)ln
4r l l l a l θαβθβ⎫
−π+−++ππ−⎬⎭
(16)
气隙磁导P a1=P 1+P 2+P 3≈ P 1 +2P 2，则由式(14)、(16)得 ()
0000120
(12)[2()]2242a hr l h h
P l
l a µθαβµβ
µπ++−=
−
+
⋅ππ−
0002
0[2()]2()ln 2r l l al a al θαβθβ⎧−+−++π+⎨⎩
00020[2()]2(2)(4)ln
4r l l l a l θαβθβ⎫
−π+−++ππ−⎬
⎭
(17)
同理可得P a2、P a3和P a4
第12期 孙玉坤等： 基于有限元法的磁悬浮开关磁阻电机数学模型 37
000a 22
00002
0(12)[2()]
242[2()]2()ln
22hr l h P l
l h r l l al a a al µθβαθµα
µθβαθαπ+−−=
−
+
⎧
−−−++π+⎨π(π−)⎩
0000[2()]2(2)(4)ln
4r l l l a l θβαθα⎫
−π−−++ππ−⎬⎭
(18)
000a3200000020(12)[2()]242[2()]2()ln
22hr l h P l l h r l l al a a al µθαβθµβµθαβθβπ+−+=++
⎧
−−++−π+⎨π(π−)⎩00020[2()]2(2)(4)ln 4r l l l a l θαβθβ⎫−π−++−ππ−⎬⎭
(19)
000a 420
000020(12)[2()]
242[2()]2()ln
22hr l h P l
l h r l l al a a al µθβαθµα
µθβαθαπ+++=
+
+
⎧
−+++−π+⎨π(π−)⎩0000[2()]2(2)(4)ln
4r l l l a l θβαθα⎫
−π+++−ππ−⎬⎭
(20)
将式(17)~(20)代入式(1)~(6)中可得
220a a1a30(12)2()26m m m hr L N P P N l µθ⎧π+=+=+⎨
⎩
0000042ln (4)ln 22h al r l r a a a al l µθθ⎫⎡⎤−−π⎪π+π−⎬⎢⎥π(π−)⎪⎣⎦⎭
(21)
220a1a1a30(12)
()6s s s hr L N P P N l µθ⎧π+=+=+⎨⎩
0000042ln (4)ln 22h al r l r a a a al l µθθ⎫⎡⎤−−π⎪π+π−⎬⎢⎥π(π−)⎪⎣⎦⎭
(22)
220a2a1a30(12)
()6s s s hr L N P P N l µθ⎧π+=+=+⎨⎩
0000042ln (4)ln 22h al r l r a a a al l µθθ⎫⎡⎤−−π⎪
π+π−⎬⎢⎥π(π−)⎪⎣⎦⎭
(23)
()a1a3a,a1()s m m s M N N P P =−=
002
00
000000(12)(2)2124[2()]2()ln
22()
m s hr h
N N l l h r l l al a a l al r µθαβθµβµθαβθβθ⎧π+−−+⎨⎩⎧
−+−++π+⎨π(π−)−⎩
00000[2()]2(2)(4)ln
2(2)r l l l a l l r θαβθβθ⎫⎫−π+−++π⎪
π−⎬⎬−π⎪⎭⎭
(24)
()a2a 4a,a2()s m m s M N N P P =−−=
002
00
000000(12)(2)2124[2()]2()ln
22()m s hr h
N N l l h r l l al a a l al r µθβαθµαµθβαθαθ⎧π+++=⎨⎩⎧
−−−++π+⎨π(π−)−⎩00000[2()]2(2)(4)ln
2(2)r l l l a l l r θβαθαθ⎫⎫−π−−++π⎪
π−⎬⎬−π⎪⎭⎭
(25)
()
a1,a 20s s M ≈ (26) A 相所存储的能量为 a a a1a 212m s s i i i =
⎡⎤⎣
⎦W L 12ma sa sa i i i ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(27) (,1)(,2)(,1)
1(1,2)(,2)(1,2)2ma ma sa ma sa ma sa sa sa sa ma sa sa sa sa L M M M L M M M L ⎡⎤
⎢
⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
L (28) 磁悬浮开关磁阻电机α方向的径向悬浮力为
a
F αα
∂=∂W (a,a1)(a,a 2)a a1a a 2m s m s m s m s M M i i i i αα∂∂=+∂∂ (29)
同理β方向的径向悬浮力为
()
()
a,a1a,a2a a1
a a 2
m s m s m s m s M M F i i i i ββ
β
∂∂=+∂∂ (30) 求偏导数()
a,a1m s M α
∂∂、
()
a,a2m s M α
∂∂、()a,a1m s M β
∂∂和
()
a,a2m s M β∂∂并分别代入式(29)和(30)并整理得到径向悬浮力
a1123()m s f f f F i i k k k αβα=+−+
a2123()m s f f f i i k k k αβ′′′++ (31) a1123()m s f f f F i i k k k ββα′′′=−+++
a2123()m s f f f i i k k k αβ++ (32)
其中：
010(12)
6f m s hr k N N l µθ⎧π+=−⎨⎩
022
00004(4)(2)2h ar a r a al l r l l r µθθθθ⎫⎡⎤π−⎪
+⎬⎢⎥π−−−π⎪
⎣⎦⎭ 2002
8(2)
2f m s hr l r k N N a µθθ⎧+=⋅⎨π−⎩
38 中 国 电 机 工 程 学 报 第27卷
2200004[2()][2(2)]a a l al r l l r θθ⎫⎫⎧π(π−)⎪⎪+⎨⎬⎬−−π⎪⎩⎪
⎭⎭ 22
03
162f m s hr k N N a µθ⎧=⋅⎨π−⎩
22
00004[2()][2(2)]a a l al r l l r θθ⎫⎧⎫π(π−)⎪
+⎨⎬⎬−−π⎪⎩⎭⎭
0012
00(12)212f m s hr h
k N N l l µθθµ⎧π+′=+−⎨⎩
22000220000422(4)22242h l r l r a a a al l r l l r µθθθθ⎫⎡⎤++⎪
+π−⎬⎢⎥π−−−π⎪⎣⎦⎭
22
0022
00
4(2)
2[2()]f m s h l r a
k N N a l al r µθθ⎧⎧+⎪′=+⎨
⎨π−−⎪⎩⎩
004[2(2)]a l l r θ⎫⎫π(π−)⎪⎬⎬−π⎪⎭⎭
20038(2)2f m s hr l r k N N a µθθ⎧+′=⋅⎨
π−⎩
2200004[2()][2(2)]a a l al r l l r θθ⎫⎧⎫π(π−)⎪
+⎨⎬⎬−−π⎪⎩⎭⎭
同理可得磁悬浮开关磁阻电机转矩力为 222a a a1a 2
a a a1a 21(2m s s m s s W L L L T i i i θθθθ∂∂∂∂=
=+++∂∂∂∂ ()
()
a,a1a,a 2a a1
a a2
22)m s m s m s m s M M i i i i θ
θ
∂∂+=∂∂
2
222220a
a1a 220000211
()224(4)22m m
s s s hr i N i N i N l h ar r a a al r l r µµθθ⎧++−
⎨⎩⎫⎫⎡⎤π−⎪⎪
++
⎬⎬⎢⎥π−−−π⎪⎣⎦⎪⎭⎭
0a a12
0(2424)12m s m s hr i i N N l µβαθβ⎧−π+−+⎨⎩
22222000002
0044(424)2[2()]h al r rl r l ral a
a l al r µαθθβ
θ⎡−+−++⎢π−−⎣2222200002008(428)(4)[2(2)]rl rl r l rl a l l r αθθβθ⎫⎤−+π−π+⎪
π−+
⎬⎥−π⎪⎦⎭0a a20(2424)
12m s m s hr i i N N l µαβαθ⎧π++−⎨⎩
[]22222000002
0044(424)22()h al r rl r l ral a a l al r µβθθα
θ⎡+−+⎢+π−−⎢⎣
[]2222200002
008(4π2π8)(π4)2(2π)rl rl r l rl a l l r βθθαθ⎫⎤+−+⎪
⎥−⎬−⎥⎪⎦⎭
(33) 4 模型输出与有限元分析结果比较
本文所用实验样机参数为：定子铁心外径为
165mm ，定子内径为145mm ，定子极宽为7.114mm ，定子极高为15mm ，气隙宽度为0.3mm ，转子内径
为50mm ，转子极宽为7.51mm ，转子极高为
17.2mm ，定转子铁心长度为105mm ，每极转矩绕组匝数为114匝，每极悬浮力绕组匝数为48匝。

在Matlab 仿真环境下用m 函数编写磁悬浮开关磁阻电机的数学模型，得到主绕组自感波形(如 图8)，波形的顶部是连续的，没有塌陷，符合电机实际情况。

而在文献[11]中，主绕组自感波形如图9和图10所示，电感波形的顶部有塌陷。

将磁悬浮开关磁阻电机的模型输出与Ansoft 有限元方法分析结果相比较(如图11~13) 。

在图11中，有限元分析结果表明[13]，当α=β=0且主绕组电流为6.25A 时，径向力和径向力绕组电流的关系为曲线(θ=0°)到曲线(θ=−15°)之间的一簇曲线，可以看到，当电流值比较小的时候，模型输出值与有限元分析结果拟合得较好，当电流偏大时，由于磁饱和的关系，相差很大。

当α=β=0，主绕组电流为6.25A ，α方向的径向力绕组电流为1.25A 时，径向力和转子位置角度的关系如图12，可以看出，当−15°≤ θ≤ −7.5°时，理论值和有限元分析结果很接近，当角度θ靠近0°时，由于磁饱和的影响，二者有较大误差。

图13为不同主电流时，模型输出转矩与有限元分析得到的转矩相比较的结果，可以看出二者吻合。

以上研究结果表明：本文推导得到的磁悬浮开关磁阻电机的数学模型有较好的精确性，这对下一步非线性解耦控制等控制理论的应用提供了数学模型。

−15 −5 5 θ/(°)
2
6
1014
L m a /H
×10−4
图8 主绕组自感波形
Fig. 8 Main winding inductance’s wave
第12期 孙玉坤等： 基于有限元法的磁悬浮开关磁阻电机数学模型 39
−15 −5 5 θ/(°)
2
6
10 14 L m a /H
×10−4
图9 有塌陷的主绕组自感波形
Fig. 9 Main winding inductance’s wave with collapse
−1.5 0 1.5 θ/(°)1.40
1.42
1.44 1.46 1.48 L m a /H
×10−2
图10 有塌陷的主绕组自感波形顶部放大部分 Fig. 10 The enlarged top of main winding inductance’s
wave with collapse
200 600 1000
300
500 700 F a1/N
理论值
θ2= −15°
θ1= 0°
20
60
100F a2/N
N s i sa 1/(安⋅匝)
F a2
F a1
图11 径向力与径向力绕组电流的关系
Fig. 11 Relationship between radial force and radial
force windings’ current
−15 −10 −5 θ/(°)
30
60 90 F /N 有限元计算值
理论值
图12 径向力与转子位置角的关系
Fig. 12 Relationship between radial force and
rotor’s angle
模型输出转矩
有限元分析结果 模型输出
0 4 8 12 16
T /(N ⋅m)
θ/(°)
−15
−10 −5
图13 模型输出转矩与有限元分析得到的转矩比较 Fig. 13 Comparison of model’s output torque and
FEA’s results
5 结论
磁悬浮开关磁阻电机的数学模型是其控制系统设计的基础，本文首先利用Ansoft /Maxwell 2D 有限元分析软件进行磁场分析，提出气隙磁导的计算方法，进而得到准确的电感矩阵表达式，在此基础上利用机电能量转换关系推导出径向悬浮力和电磁转矩的表达式，并用有限元方法进行验证。

该数学模型没有考虑磁饱和，主要工作范围为−15°≤ θ ≤ −7.5°；模型比较复杂，对其做进一步的合理简化以实现高性能控制，是下一步要研究的课题。

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收稿日期：2006-10-02。

作者简介：
孙玉坤(1958—)，男，教授，博士生导师，主要研究方向为特种电机非线性智能控制，电能质量控制技术以及磁悬浮无轴承电机，syk@；
吴建兵(1970—)，女，博士研究生，研究方向为磁悬浮开关磁阻电机的非线性控制；
项倩文(1982—)，女，硕士研究生，主要研究方向为电机设计及其有限元分析。

（责任编辑云爱霞）。