倍长中线最全总结 例题+练习(附答案)

倍长中线最全总结 例题+练习(附答案)
知识导航
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

倍长中线：延长三角形中线，是得延长后的线段是原中线的2倍。

目的是为构造一对8字型全等三角形（SAS ），从而实现边角的转移。

易错点睛
倍长中线的目的在于转移边角，需要注意的是要注意延长哪一条线段或者类中线；倍长之后，
需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。

D
A
B C
模块一 有关倍长中线的全等模型
【范例】
（2014秋•江汉区校级月考）如图，在ABC ∆中，AD 为中线，求证：2AB AC AD +>．
【分析】
延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关系可得 2AB AC AD +>。

【解答】
证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，
D 为BC 的中点，
DB CD ∴=，
在ADC ∆和EDB ∆中AD DE ADC BDE DB CD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，
在ABE ∆中，AB BE AE +>，
2AB AC AD ∴+>；
B
B
【核心考点1】倍长中线
1．（2016秋•五莲县期中）如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点． （1）求证：2AB AC AD +>；
（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．
【分析】
（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关 系可得2AB AC AD +>；
（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三 边可得53253AD -<<+，再计算即可． 【解答】
（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，
D 为BC 的中点，
DB CD ∴=，
在ADC ∆和EDB ∆中AD DE
ADC BDE DB CD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，
在ABE ∆中，AB BE AE +>，
2AB AC AD ∴+>；
（2）5AB =，3AC =，
53253AD ∴-<<+，
14AD ∴<<．
A
B
C
2．如图，ABC ∆中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠．
【分析】
延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，由SAS 证明DEM CEA ∆≅∆，得出C MDE ∠=∠，DM AC =，证出DM BD =，ADM ADB ∠=∠，由SAS 证明ADB ADM ∆≅∆，得出
BAD MAD ∠=∠即可．
【解答】
证明：延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，如图所示：
E 是DC 的中点，
DE CE ∴=，
在DEM ∆和CEA ∆中，EM AE DEM CEA
DE CE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
()DEM CEA SAS ∴∆≅∆， C MDE ∴∠=∠，DM AC =，
又BD DC AC ==，
DM BD ∴=，ADC CAD ∠=∠，
又ADB C CAD ∠=∠+∠，ADM MDE ADC ∠=∠+∠，
ADM ADB ∴∠=∠，
在ADB ∆和ADM ∆中，AD AD ADB ADM
BD DM =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ADB ADM SAS ∴∆≅∆，
BAD MAD ∴∠=∠，
即AD 平分BAE ∠。

3．如图，已知ABC
∆中，AB AC
>，AD是中线，AE是角平分线．
求证：（1）2AD AB AC
<+；
（2）BAD DAC
∠>∠；
（3）AE AD
<．
【分析】
（1）可延长AD到F，使DF AD
=，在ABF
∆中，由三边关系即可得出结论；
（2）由ADC FDB
∆≅∆，得CAD F
∠=∠，在ABF
∆中，由边的大小关系即可得出角之间的关系；
（3）同（2），由角的关系亦可求解边的大小．
【解答】
证明：延长AD到F，使DF AD
=，连接BF（如图），
易证ADC FDB
∆≅∆，所以AC BF
=，
（1）在ABF
∆中，AB BF AD DF
+>+，
所以2AD AB AC
<+；
（2）因为ADC FDB
∆≅∆，所以DAC F
∠=∠，
因为AB AC
>，所以AB BF
>，
所以F BAD
∠>∠，
所以DAC BAD
∠<∠，即BAD DAC
∠>∠；
（3）由（2），BAD DAC
∠<∠及
1
2
BAE EAC BAC ∠=∠=∠，
所以BAD EAC
∠<∠，
因为AB AC
>所以C B
∠>∠，所以BAD B EAC C ∠+∠<∠+∠，B C
A
所以ADE AED ∠<∠，所以AE AD <．
【核心考点2】倍长类中线的线段移动 【范例】
（2014秋•津南区校级期中）已知：在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点， 且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．
【分析】
根据点D 是BC 的中点，延长AD 到点G ，得到ADC GDB ∆≅∆，利用全等三角形的对应角 相等，对应边相等进行等量代换，得到AEF ∆中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE 等于EF ． 【解答】
证明：如图，延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG ． AD 是BC 边上的中线（已知）
， DC DB ∴=，
在ADC ∆和GDB ∆中， ()AD DG ADC GDB DC DB =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
对顶角相等 ()ADC GDB SAS ∴∆≅∆，
CAD G ∴∠=∠，BG AC =
又
BE AC =，
BE BG ∴=， BED G ∴∠=∠，
BED AEF ∠=∠， AEF CAD ∴∠=∠，
E
B
C
A
F
即：AEF FAE ∠=∠，AF EF ∴=．
4．（2019秋•九龙坡区校级月考）如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AF EF =，求证：AC BE =．
【分析】
延长AD 至G ，使DG AD =，连接BG ，可证明()BDG CDA SAS ∆≅∆，则BG AC =，
CAD G ∠=∠，根据AF EF =，得CAD AEF ∠=∠，可证出G BEG ∠=∠，即得出AC BE =．
【解答】
证明：延长AD 至G ，使DG AD =，连接BG ， 在BDG ∆和CDA ∆中， BD CD BDG CDA DG DA =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，Ⅳ ()BDG CDA SAS ∴∆≅∆，
BG AC ∴=，CAD G ∠=∠，
又
AF EF =，
CAD AEF ∴∠=∠，
又BEG AEF ∠=∠，
CAD BEG ∴∠=∠， G BEG ∴∠=∠， BG BE ∴=， AC BE ∴=．
E
B
C
A
F
5．（2016秋•西城区校级期中）如图，在ABC ∆中，AB AC >，E 为BC 边的中点，AD 为
BAC ∠的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：
BF AC AF =+．
【分析】
延长FE 至Q ，使EQ EF =，连接CQ ，根据SAS 证BEF CEQ ∆≅∆，推出BF CQ =， BFE Q ∠=∠，根据平行线性质和角平分线性质推出G GFA BFE ∠=∠=∠，推出G Q ∠=∠， 推出CQ CG =即可． 【解答】
证明：延长FE 至Q ，使EQ EF =，连接CQ ，
E 为BC 边的中点，
BE CE ∴=，
在BEF ∆和CEQ ∆中BE CE
BEF CEQ EF EQ =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
BEF CEQ ∴∆≅∆， BF CQ ∴=，BFE Q ∠=∠，
AD 平分BAC ∠，CAD BAD ∴∠=∠，
//EF AD ，
CAD G ∴∠=∠，BAD GFA ∠=∠， G GFA ∴∠=∠，
GFA BFE ∴∠=∠，AG AF =，
BFE Q ∠=∠（已证）， G Q ∴∠=∠，CQ CG ∴=，
F
B
C
A
CQ BF =，
BF CG AG AC AF AC ∴==+=+．
6．在ABC ∆中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +>．
【分析】
延长FD 到G 使DF DG =，连结BG 、EG ，由题意可证CDF BDG ∆≅∆，从而可得到
CF BG =，则CF BE BG BE +=+，依据依据垂直平分线的性质证明EF EG =，最后，再利
用三角形的三边关系进行证明即可； 【解答】
证明：延长FD 到G 使DF DG =，连结BG 、EG ． 在CDF ∆和BDG ∆中， CD DB CDF BDG DF DG =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ()CDF BDG SAS ∴∆≅∆
CF BG ∴=．
CF BE BG BE ∴+=+．
ED DF ⊥，DF DG =， ED ∴为DG 的垂直平分线，
EF EG ∴=， BE BG GE +>， BE BG EF ∴+>， BE FC EF ∴+>．
F
B
C
A
E
7．（2019春•牡丹区期末）（1）阅读理解：如图1，在ABC ∆中，若10AB =，8BC =．求AC 边上的中线BD 的取值范围．小聪同学是这样思考的延长BD 至E 使DE BD =连结CE 利用全等将边AB 转化到CE ，在BCE ∆中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD 的取值范围是 ． （2）问题解决：如图2，在ABC ∆中，点D 是AC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在BC 边上，若DM DN ⊥．求证：AM CN MN +>．
【分析】
（1）由SAS 证明ABD CED ∆≅∆得出10CE AB ==，在CBE ∆中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）延长ND 至点F ，使FD ND =，连接AF 、MF ，同（1）得：AFD CND ∆≅∆，由全等三角形的性质得出AF CN =，由线段垂直平分线的性质得出MF MN =，在AFM ∆中，由三角形的三边关系即可得出结论； 【解答】
（1）解：BD 是AC 边上的中线，
AD CD ∴=，
在ABD ∆和CED ∆中， AD CD ADB CDE BD ED =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ABD CED SAS ∴∆≅∆，
10CE AB ∴==，
在CBE ∆中，由三角形的三边关系得：CE BC BE CE BC -<<-，
图2
图1
A A
<<，
BE
∴-<<+，即218
108108
AE
∴<<；
BD
19
故答案为：SAS；19
<<；
BD
（2）证明：延长ND至点F，使FD ND
=，连接AF、MF，如图2所示：同（1）得：()
AFD CND SAS
∆≅∆，
∴=，
AF CN
⊥，FD ND
=，
DM DN
∴=，
MF MN
在AFM
∆中，由三角形的三边关系得：AM AF M F
+>，
∴+>
AM CN MN
【高手坟墓】
8．如图，AB AD =，AC AE =，90BAD CAE ∠=∠=︒，点F 为DE 的中点，求证：2BC AF =．
【分析】
延长AF 到M ，使AF MF =，连接DM ，EM （如图），根据对角线互相平分的四边形是平 行四边形，得到ADME 为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到DM AE AC ==，
180ADM DAE ∠+∠=︒，再由已知的90BAD CAE ∠=∠=︒得到180BAC DAE ∠+∠=︒，从而
得到ADM BAC ∠=∠，再由AB AD =，利用SAS 求证MDA CAB ∆≅∆，最后根据全等三角形 的对应边相等即可得证． 【解答】
证明：延长AF 到M ，使AF MF =，连接DM ，EM （如图）
AF MF =，DF EF =，
∴四边形ADME 为平行四边形．
DM AE AC ∴==，180ADM DAE ∠+∠=︒
又90BAD CAE ∠=∠=︒，
180BAC DAE ∴∠+∠=︒， ADM BAC ∴∠=∠，
在MDA ∆和CAB ∆中， DM AC ADM BAC AD AB =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
()MDA CAB SAS ∴∆≅∆，
BC AM ∴=，
2AM AF =，2BC AF ∴=．
F
B
E
A
C
D
模块二 平行线加中点
当条件出现平行线+中点时，一般不选择进行倍长中线的方法，因为会涉及到证三点共线的问题。

此时辅助线可以进行延长，构造八字形全等。

【核心考点3】利用平行线+中点构造全等 【范例】
（2017春•博山区期末）已知：如图，在正方形ABCD ，E 是BC 边上一点，F 是CD 的中 点，且AE DC CE =+．求证：AF 平分DAE ∠．
【分析】
由ASA 证明ADF GCF ∆≅∆，得出DG CE =，GF EF =，由已知条件得出AE AG =，由等腰 三角形的三线合一性质即可得出结论 【解答】
证明：延长BC ，交AF 的延长线于G ，如图： 四边形ABCD 是正方形，
//AD BC ∴，DA DC =，90FCG D ∠=∠=︒
（正方形对边平行，四边相等，四个角都是直角） DAF G ∴∠=∠，90FCG ∠=︒，
FCG D ∴∠=∠
在FCG ∆和FDA ∆中 12FCG D
CF DF ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
FCG ∴∆和()FDA ASA ∆
CG DA ∴= AE DC CE =+，
F
C
D
B
A
AE CG CE GE
∴=+=，∴∠=∠，
EAF G
∴∠=∠，
DAF EAF
∠．
∴平分DAE
AF
9．（2013秋•涞水县期末）如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分
ADC ∠，35CMD ∠=︒，则MAB ∠的度数是( )
A ．35︒
B ．45︒
C ．55︒
D ．65︒
【分析】
过点M 作MN AD ⊥于N ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得
MC MN =，然后求出MB MN =，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线 上判断出AM 是BAD ∠的平分线，然后求出AMB ∠，再根据直角三角形两锐角互 余求解即可． 【解答】
解：如图，过点M 作MN AD ⊥于N ，
90C ∠=︒，DM 平分ADC ∠， MC MN ∴=， CMD NMD ∴∠=∠，
M 是BC 的中点，
MB MC ∴=， MB MN ∴=， 又90B ∠=︒，
AM ∴是BAD ∠的平分线，AMB AMN ∠=∠，
35CMD ∠=︒，
1
(180352)552
AMB ∴∠=︒-︒⨯=︒，
90905535MAB AMB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒． 故选：A ．
D
M
B
A C
10．（2019春•新华区校级月考）已知：如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠．求证：AM 平分DAB ∠．
【分析】
过点M 作ME AD ⊥于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得ME MC =，根据 线段中点的定义可得MC MB =，然后求出ME MB =，再根据到角的两边距离相等的点在角 的平分线上证明即可． 【解答】
证明：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，
DM 平分ADC ∠， 12∴∠=∠，
MC CD ⊥，ME AD ⊥，
ME MC ∴=（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又MC MB =，
ME MB ∴=，
MB AB ⊥，ME AD ⊥，
AM ∴平分DAB ∠（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）
．
D
M
B
A C
【高手坟墓】
11．（2010•邢台一模）在图13-中，四边形ABCD 和CGEF 都是正方形，M 是AE 的中点．
（1）如图1，点G 在BC 延长线上，求证：DM MF =；
（2）在图1的基础上，将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转到图2位置，此时点
E 在BC 延长线上．求证：DM M
F =；
（3）在图2的基础上，将正方形CGEF 绕点C 在任一旋转一个角度到如图3位置，此时DM 和MF 还相等吗？（不必说明理由） 【分析】
（1）延长DM 到N ，证明AMD EMN ∆≅∆，得到DM MN =，M 为直角三角形
DFN 的斜边DN 中点，得到2FM DN =，MF MD =；
（2）延长DM 到N ，使MN MD =，连接FD 、FN 、EN ，延长EN 与DC 延长 线交于点H ．证明DCF NEF ∆≅∆，即可得到线段MD ，MF 的位置及数量关系． （3）旋转的过程中，AMD EMN ∆≅∆仍然成立，故结论仍成立． 【解答】
图3
图2
图1
A
A
A
B
G B
图3
A
解：（1）MD MF =
证明：延长DM 交FE 于N ． 正方形ABCD 、CGEF ，
CF EF ∴=，AD DC =，90CFE ∠=︒，//AD FE ， MAD NEM ∴∠=∠．
又MA ME =，AMD NME ∠=∠，
AMD EMN ∴∆≅∆， DM MN ∴=，
M ∴为直角三角形DFN 的中点，
2FM DN ∴= MF MD ∴=．
（2）延长DM 到N ，
使MN MD =，连接FD 、FN 、EN ， 延长EN 与DC 延长线交于点H ．
MA ME =，AMD EMN ∠=∠，MD MN =，
AMD EMN ∴∆≅∆，
DAM MEN ∴∠=∠，AD NE =． 又正方形ABCD 、CGEF ，
CF EF ∴=，AD DC =，90ADC ∠=︒， 90CFE ADC FEG FCG ∠=∠=∠=∠=︒． DC NE ∴=． DAM MEN ∠=∠， //AD EH ∴．
90H ADC ∴∠=∠=︒． 90G ∠=︒，HIC GIE ∠=∠，
HCI IEG
∴∠=∠．
∠+∠=∠+∠=︒，
90 HCI DCF IEG FEN
∴∠=∠．
DCF FEN
FC FE
=，
∴∆≅∆，
DCF NEF
∠=∠．
FD FN
∴=，DFC NFE
∠=︒，
CFE
90
∴∠=︒，
DFN
90
=．
∴⊥，MF MD
FM MD
（3）相等．
【课后练习】
1．（2014春•金牛区期末）ABC ∆中，8AC =，BC 边上的中线6AD =，则边AB 的取值范围是 ． 【分析】
通过添加辅助线得到ACE ∆，然后在EDC ∆中得到CE 的取值范围，据此可以求出AB 的取 值范围． 【解答】
解：延长AD 至E 使DE AD =，连接DE ， 在ADB ∆和EDC ∆中，AD ED
ADB CDE BD CD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
ADB EDC ∴∆≅∆，
AB CE ∴=，
8AC =，212AE AD ==， 420AE AC CE AC AE ∴-=<<+=， 420AB ∴<<．
故答案为：420AB <<．
2．（2018春•定边县期末）如图，在ABC ∆中，5AC =，中线7AD =，则AB 边的取值范围是( )
A ．129A
B << B ．424AB <<
C ．519AB <<
D ．919AB <<
【分析】
延长AD 至E ，使DE AD =，然后利用“边角边”证明ABD ∆和ECD ∆全等，根据全等三角形对应边相等可得AB CE =，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE 的取值范围，即为AB 的取值范围． 【解答】
解：如图，延长AD 至E ，使DE AD =，
AD 是ABC ∆的中线，
BD CD ∴=，
在ABD ∆和ECD ∆中， BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ABD ECD SAS ∴∆≅∆，
AB CE ∴=， 7AD =， 7714AE ∴=+=， 14519+=，1459-=， 919CE ∴<<，
即919AB <<． 故选：D ．
A
B
C
3．（2015秋•东西湖区期中）如图，AE 是ABD ∆的中线，AB CD BD ==． （1）求证：2AB AD AE +>； （2）求证：2AC AE =．
【分析】
（1）延长AE 到M ，使AE EM =，连接DM ，求出AEB MED ∆≅∆，根据全等三角形的性 质得出AB DM =，根据三角形三边关系定理求出AD DM AM +>，即可得出答案； （2）求出1
2
BE AB AB BC ==，根据相似三角形的判定得出ABE CBA ∆∆∽，根据相似三角形的性 质得出
1
2
AE BE AC AB ==，即可得出答案． 【解答】证明：（1）延长AE 到M ，使AE EM =，连接DM ，
AE 为ABD ∆的中线， BE DE ∴=， 在AEB ∆和MED ∆中 AE EM AEB MED BE ED =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
()AEB MED SAS ∴∆≅∆，
AB DM ∴=，
在AMD ∆中，AD DM AM +>， 即2AB AD AE +>； （2）
AE 是ABD ∆的中线，
BD CD ∴=，BE DE =，
1
2
BE BD ∴=
， BD DC =，
1
2
BD BC ∴=； 又
AB BD =，
B
C
12BE AB ∴=
，1
2
AB BC =， ∴
12
BE AB AB BC ==， B B ∠=∠，
ABE CBA ∴∆∆∽，
∴
1
2
AE BE AC AB ==， 2AC AE ∴=．
4．（2019春•罗湖区校级期中）如图，已知CB 、CD 分别是钝角AEC ∆和锐角ABC ∆的中线，且AC AB =，给出下列结论：①2AE AC =；②2CE CD =；③ACD BCE ∠=∠；④CB 平分
DCE ∠，则以上结论正确的是( )
A ．①②④
B ．①③④
C ．①②③
D ．①②③④
【分析】
根据三角形的中线的概念、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理以及全等三角形的判定和性质进行分析判断． 【解答】
解：①CB 是三角形ACE 的中线，
2AE AB ∴=，又AB AC =，2AE AC ∴=．故此选项正确； ②取CE 的中点F ，连接BF ．
AB BE =，CF EF =，
//BF AC ∴，1
2
BF AC =
． CBF ACB ∴∠=∠． AC AB =， ACB ABC ∴∠=∠． CBF DBC ∴∠=∠．
又CD 是三角形ABC 的中线，
2AC AB BD ∴==．
BD BF ∴=． 又
BC BC =，
BCD BCF ∴∆≅∆， CF CD ∴=． 2CE CD ∴=．
故此选项正确．
A
③若要ACD BCE ∠=∠，则需ACB DCE ∠=∠，又ACB ABC BCE E DCE ∠=∠=∠+∠=∠，则需E BCD ∠=∠．
根据②中的全等，得BCD BCE ∠=∠，则需E BCE ∠=∠，则需BC BE =，显然不成立，故此选项错误；
④根据②中的全等，知此选项正确． 故选：A ．
5．（2010秋•西城区校级期中）如图，在ABC ∆中，AB AC >，E 为BC 边的中点，AD 为
BAC ∠的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．
求证：BF CG =．
【分析】
延长FE 至Q ，使EQ EF =，连接CQ ，根据SAS 证BEF CEQ ∆≅∆，推出BF CQ =， BFE Q ∠=∠，根据平行线性质和角平分线性质推出G GFA BFE ∠=∠=∠，推出G Q ∠=∠， 推出CQ CG =即可． 【解答】
证明：延长FE 至Q ，使EQ EF =，连接CQ ，
E 为BC 边的中点，
BE CE ∴=，
在BEF ∆和CEQ ∆中 BE CE BEF CEQ EF EQ =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， BEF CEQ ∴∆≅∆， BF CQ ∴=，BFE Q ∠=∠，
AD 平分BAC ∠，
CAD BAD ∴∠=∠， //EF AD ，
CAD G ∴∠=∠，BAD GFA ∠=∠， G GFA ∴∠=∠， GFA BFE ∴∠=∠，
BFE Q ∠=∠（已证）
， F
B
C
A
G Q ∴∠=∠， CQ CG ∴=， CQ BF =，
BF CG ∴=．
6．已知，如图ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，DE DC =，//EF AB ．
求证：AC EF =．
【分析】
由三角形的角平分线定理得：
AC CD
AB BD =
，由//EF AB ，推出DEF DAB ∆∆∽，根 据相似三角形的性质得到EF DE AB BD =，等量代换得到AC EF
AB AB
=
，于是得到结论． 【解答】 证明：
AD 平分BAC ∠，
由三角形的角平分线定理得：
AC CD
AB BD
=
， //EF AB ， DEF DAB ∴∆∆∽，
∴
EF DE
AB BD
=
， DE DC =，
∴
AC EF
AB AB
=
， AC EF ∴=．
B
7．已知：如图1，在正方形ABCD ，E 是BC 边上一点，F 是CD 的中点，且AE DC CE =+．求证：AF 平分DAE ∠．
证法一：延长EF ，交AD 的延长线于G ．（如图2) 证法二：延长BC ，交AF 的延长线于G ．（如图3)
【分析】
证法一：由ASA 证明ADF GCF ∆≅∆，得出DG CE =，GF EF =，
由已知条件得出AE AG =， 由等腰三角形的三线合一性质即可得出结论；
证法二：由ASA 证明ADF GCF ∆≅∆，得出AD CG =，DAF G ∠=∠，根据AE AD CE =+， 得等腰三角形AEG ，得出DAF G FAE ∠=∠=∠即可．
【解答】 证明：证法一：
四边形ABCD 是正方形，
AD DC ∴=，90ADC C ∠=∠=︒， 90FDG ∴∠=︒，
F 是CD 的中点，
DF CF ∴=，
图1
A 图3
图2D
A
B
C
E
在ADF ∆和GCF ∆中， FDG C DF CF
DFG CFE ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
，
()ADF GCF ASA ∴∆≅∆，
DG CE ∴=，GF EF =，
AE DC CE =+，AG AD DG =+， AE AG ∴=，
AF ∴平分DAE ∠（三线合一）． 证法二：
在ADF ∆和GCF ∆， 90ADF GCF DF CF
AFD GFC ∠=∠=︒
⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
，
()ADF GCF ASA ∴∆≅∆，
AD CG ∴=，DAF G ∠=∠， EG EC CG =+，AE AD CE =+， EG AE ∴=， FAE G ∴∠=∠，
FAE DAF ∴∠=∠， 即AF 平分DAE ∠．
8．（2018春•大庆期末）如图．AB AE =，AB AE ⊥，AD AC =．AD AC ⊥，点
M 为BC 的中点，求证：2DE AM =．
【分析】
延长AM 至N ，使MN AM =，证AMC NMB ∆≅∆，推出AC BN AD ==，求出
EAD ABN ∠=∠，证EAD ABN ∆≅∆即可． 【解答】
证明：延长AM 至N ，使MN AM =，连接BN ， 点M 为BC 的中点，
CM BM ∴=， 在AMC ∆和NMB ∆中
AM MN AMC NMB CM BM =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
()AMC NMB SAS ∴∆≅∆，
AC BN ∴=，C NBM ∠=∠， AB AE ⊥，AD AC ⊥，
90EAB DAC ∴∠=∠=︒， 180EAD BAC ∴∠+∠=︒，
180ABN ABC C BAC EAD ∴∠=∠+∠=︒-∠=∠， 在EAD ∆和ABN ∆中
B
D
A
C
E
倍长中线最全总结例题+练习(附答案)
AE AB
EAD ABN
AD BN
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
()
ABN EAD SAS
∴∆≅∆，
2
DE AN MN
∴==．。