河北省衡水中学2021届高三数学下学期三模试题 理(含解析)

河北省衡水中学2021届高三数学下学期三模试题 理（含解析）
第Ⅰ卷
一、选择题
1.设集合{}
3A x x =<，{}
2,B x x k k ==∈Z ，则A B =（ ）
A. {}0,2
B. {}2,2-
C.
2,0,2
D.
{}2,1,0,1,2--
【答案】C 【解析】 【分析】
求出集合A ，利用交集的定义可得出集合A B .
【详解】
{}
{}333A x x x x =<=-<<，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，
{}2,0,2A B =-.
故选：C.
【点睛】本题考查交集的计算，涉及了绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2.若复数z 满足1z i i ⋅=-+，则z 的共轭复数z -
在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据1z i i ⋅=-+求出z ，再求出z -，即得z -
在复平面内对应的点所在的象限.
【详解】由1z i i ⋅=-+得2
1(1)1,1i i i
z i z i i i --+-+===+∴=-. 所以z -
对应的点为(1,1)-，在第四象限. 故选：D.
【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3.设实数x ，y 满足条件202300x y x y x y +-≤⎧⎪
-+>⎨⎪-≤⎩
则1x y ++的最大值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【详解】作出不等式组对应的可行域，如图所示，由++1z x y =可得1y x z =-+-， 将直线l ：1y x z =-+-进行平移， 当l 与AB 重合时，目标函数z 达到最大值， 因为AB 过点（0，2）； ∴z max ＝0+2+1＝3． 故选：C ．
【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
4.平面向量a 与b 的夹角为60︒，()2,0,1a b ==，则2a b +等于( ) A. 2 B. 3 C. 12
10
【解析】
因为||2,||1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，故||||cos 601a b a b ⋅=⋅=，则
244423a b +=++=，应选答案B ．
5.如图，是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式可能是（ ）
A. ()|sin cos |f x x x =+
B. 22
()sin cos f x x x =+ C. ()|sin ||cos |f x x x =+ D. ()sin ||cos ||f x x x =+
【答案】B 【解析】 【分析】
由图像的对称性和单调性逐个判断即可.
【详解】解：由图像可知，函数图像关于y 轴对称，所以()f x 应为偶函数，所以排除A ； 由图像可知函数值能取到小于0的值，所以排除C ； 对于当(0,1)x ∈时，()sin cos 2)4f x x x x π
=+=
+
，而当 (0,)4
x π
∈时， ()(,)442
x πππ
+∈，而正弦的函数图像可知D 不正确，
故选：B
【点睛】此题考查函数图像的识别，利用函数的奇偶性，增减性，或取特殊值进行识别，属于中档题.
6.已知二项式1
2
1(2)n x x
+展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A. 240 B. 120
C. 48
D. 36
【答案】A
【分析】
由题意结合二项式系数和的性质可得264n =即6n =，写出二项式展开式的通项公式
3362
16
2
r r
r r
T C x
--+=⋅⋅，令3
302
r -
=即可得解. 【详解】由题意264n
=，解得6n =，则11
62
211
(2)(2)n x x x x
+=+，
则二项式162
1(2)x x +的展开式的通项公式为61
3
3622166122r
r
r r r r r T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫
=⋅⋅=⋅⋅ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
， 令3
302
r -
=即2r ，则642
662
2240r
r C C -⋅=⋅=.
故选：A.
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
7.祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天文学家，他在数学方面的突出贡献是将圆周率的精确度计算到小数点后第7位，也就是3.1415926和3.1415927之间，这一成就比欧洲早了
1000多年，我校“爱数学”社团的同学，在祖冲之研究圆周率的方法启发下，自制了一套计
算圆周率的数学实验模型.该模型三视图如图所示，模型内置一个与其各个面都相切的球，该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候，同学们随机往模型中投掷大小相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量，来估算圆周率的近似值.已知某次实验中，某同学一次投掷了1000个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率精确度（取小数点后三位）估算落在球内的玻璃球数量（ ）
A. 297
B. 302
C. 307
D. 312
【答案】B
【分析】
先求出正四面体的体积1V 与内切球的体积2V ，设落在球内的玻璃球数量为x ，由几何概型的
概率计算公式，得到21
1000V x V =
即可解决. 【详解】由三视图知，该模型是一个棱长为502a =的正四面体及其内切球， 正四面体体积222311332()34312
V a a a a =
⨯⨯⨯-=⨯，
过球心及正四面体顶点作截面，如图所示，
易知BOD BEC ∆~∆，所以r BD EC BE =，即3
622r a a
=612
r a = 所以内切球体积243V π=
⨯3
6)， 设落在球内的玻璃球数量为x ，则211000V x
V =，即31000x = 近似计算得302x ≈. 故选：B.
【点睛】本题考查几何概型的概率模型与三视图的综合应用，涉及到正四面体的体积与内切球的体积问题，是一道中档题.
8.设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0>ω，||ϕπ<.若5()28f π=，()08
f 11π
=，且()f x 的最小正周期大于2π，则
A. 23ω=
，12
πϕ= B. 23
ω=
，12ϕ11π=- C. 13ω=，24ϕ11π=- D. 1
3ω=，
724
π
ϕ=
【答案】A 【解析】
由题意12
5282
118
k k ωπ
πϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=
>，所以01ω<<，所以23ω=
，11
212k ϕ=π+π，由ϕπ<得12
πϕ=，故选A ． 【考点】求三角函数的解析式
【名师点睛】有关sin()y A x ωϕ=+问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据周期或
1
2周期或14
周期求出ω，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求ω或ϕ的值或最值或范围等.
9.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“〇”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是（ ）
A. 乙丁
B. 乙丙
C. 丙丁
D. 甲丁
【答案】A
【解析】
【分析】
根据甲、乙、丙对丁的猜测可得丁获奖，而且丁的猜测是错误的，根据甲、丙对甲、乙的猜测，必有1人错误，可得乙的猜测正确，根据乙的猜测，即可得出结论.
【详解】由甲、乙、丙均猜测丁获奖，丁猜测丁没有获奖，
故丁的猜测错误，否则有三人猜测错误，
所以丁获奖，再由甲、丙对对甲、乙猜测结果，
因此甲、丙一人猜测正确，另一人猜测错误，
所以乙猜测正确，则甲不获奖，甲猜测错误，
故乙、丙猜测正确，即乙、丁获奖.
故选：A
【点睛】本题考查逻辑思维和推理能力，通过猜测结果找出矛盾关系是解题
的关键，属于基础题.
10.已知椭圆()
22
22
:10
x y
C a b
a b
+=>>的左、右焦点分别为1F，2F．2F也是抛物线()
2
:20
E y px p
=>的焦点，点A为C与E的一个交点，且直线
1
AF的倾斜角为45︒，则C 的离心率为（）
1
- C. 3-1【答案】B
【解析】
【分析】
先根据椭圆和抛物线的性质得到2
p c
=，再由直线与椭圆方程联立求出点A坐标，求出
1
AF
和
2
AF，根据椭圆定义得到关于a和c的方程，进而求出离心率
c
e
a
=.
【详解】由题意可知，
2
p
c
=，则2
p c
=.所以2
:4
E y cx
=.因为()
1
,0
F c-，直线
1
AF的倾斜
角为45︒，所以直线1AF 的方程为：y x c =+.由2
4y x c y cx =+⎧⎨
=⎩得2x c
y c
=⎧⎨=⎩，所以(),2A c c .因为()
2,0F c ，所以212AF F F ⊥.在21Rt AF F △中，22AF c =，1AF =.由椭圆的定义得：
122AF AF a +=，即22c a +=，解得：
1c
a
=. 故选：B .
【点睛】本题考查椭圆定义、抛物线定义、直线与抛物线的位置关系和离心率，属于基础题. 11.已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >都成立，则实数a 的最小值为（ ） A. 2e - B. e -
C. e 2
-
D. 1e
-
【答案】B 【解析】 【分析】
首先不等式变形为ln ln a
x a x
xe x e --≥⋅，()x
f x xe
=()
1x >，不等式等价于
()()ln a f x f x -≥，然后利用函数的单调性可得ln x a x ≥-对任意1x >恒成立，再利用参变
分离ln x a x ⎛⎫
-≤
⎪⎝⎭
恒成立，转化为求函数的最小值. 【详解】不等式变形为()ln x
a
xe x
a x -≥- ，
即ln ln a
x a x xe x e --≥⋅，设()x
f x xe =()1x >，
则不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >恒成立， 等价于()(
)ln a
f x f x
-≥对任意1x >恒成立，
()()10x f x x e '=+>，则()f x 在()1,+∞上单调递增，
ln a x x -∴≥ ，即ln x a x ≥-对任意1x >恒成立，
ln x a x ⎛⎫
∴-≤ ⎪⎝⎭
恒成立，即
min ln x a x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， 令()ln x g x x
= ，则()()2ln 1ln x g x x -'= ()1x >，
当1x e <<时，()0g x '<，()g x 在()1,e 上单调递减， 当x e >时，()0g x '> ，()g x 在(),e +∞上单调递增，
x e ∴=时，()g x 取得最小值()g e e = ，
a e ∴-≤ ，即a e ≥-，
a ∴的最小值是e -.
故选：B
【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形ln ln a
x a x xe x e --≥⋅，并能构造函数并转化为
()()ln a f x f x -≥对任意1x >恒成立,属于难题.
12.已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为27π，1A DB △与11A DC △的重心分别为E ，F ，球O 与该正方体的各条棱都相切，则球O 被EF 所在直线截的弦长为（ ）
A.
2
B.
C.
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意可求得正方体棱长为3，则球O
的半径2r =，以点D 为坐标原点，建立空间直角
坐标系，求得111,,,(1,0,1)222OE EF →
→
⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭
，进而可得点O 到直线EF 的距
离
d =
，根据公式可得弦长【详解】设正方体的边长为a ，
则2
427ππ⎫
=⎪⎪⎝⎭
，即正方体棱长为3a =，.球O 的球心
为正方体的中心，以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则A （3，0，
0），13
03A （，，），B （3，3，0），()1033C ，，，D （0，0，0），
333(2,1,1),(1,1,2),,,222E F O
⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ 111,,,,(1,0,1)222OE EF →
→
⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭
，
∴点O 到直线EF 的距离2
21||2||OE EF d OE EF →→→
→⎛⎫⋅ ⎪=-= ⎪⎝⎭
，
又球O 的半径为132
9922
r =
+=
， 因此正方体外接球被EF 所在直线截的弦长为2
2
22321221722r d ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭. 故选：D.
【点睛】本题考查了正方体的几何性质，正方体和球的关系以及垂径定理，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.
第Ⅱ卷
二、填空题
13.已知双曲线的一个焦点与抛物线2
8y x =的焦点F 重合，抛物线的准线与双曲线交于A ，B 两点，且OAB 的面积为6（O 为原点）
，则双曲线的标准方程为______． 【答案】2
2
13
y x -=
【解析】 【分析】
求出抛物线焦点坐标即得椭圆焦点坐标，可得224a b +=，由OAB 的面积为6可得23b a =，联立两式求得,a b 的值，从而可得结果.
【详解】解:
28y x =,22
p
∴
=, 即2
8y x =焦点为(2,0)，
即22
221x y a b
-=的焦点为(2,0)， 224a b ∴+=,①
又
OAB 的面积为6，
x c =-时，222,,,,b b b y A c B c a a a ⎛⎫⎛⎫
=±∴--- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
2
12262AOB
b S
a
=⨯⨯=,得23b a =，② 由①②得，221
3
a b ⎧=⎨=⎩，
双曲线的方程为2
2
13
y x -=.
故答案为: 2
2
13
y x -=
【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质以及双曲线的方程与性质，属于中档题.求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.
14.2021年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______. 【答案】
1
3
【解析】 【分析】
根据题意，由排列组合公式分析3名志愿者辅导4门学科的情况数目，再分析其中甲辅导数学的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．
【详解】解：根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科， 每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科；
则有23
436636C A =⨯=种情况，
若甲辅导数学，有221232
3212C A C A +=种情况， 则数学学科恰好由甲辅导的概率为1
3
， 故答案为：
13
． 【点睛】本题考查古典概型的概率，涉及排列组合的应用，属于基础题．
15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，
15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．
【答案】805 【解析】 【分析】
△ACD 中求出AC ，△ABD 中求出BC ，△ABC 中利用余弦定理可得结果. 【详解】解：由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，
∴∠DAC=15°由正弦定理得
80sin150
40
62
sin15
62AC =
=
=-，
△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°， ∴∠DBC=30°，
由正弦定理，
CD BC
sin CBD sin BDC =∠∠，
所以
BC (
)80sin151601540
62
12
CD sin BDC sin sin CBD
⋅∠⨯︒===︒=-∠；
△ABC 中，由余弦定理，
AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠ACB ＝
()()(
)(
)
081
160084316021600
6224362
-+++⨯+⨯
-⨯
16001616004160020=⨯+⨯=⨯
解得：AB 805=，
则两目标A ，B 间的距离为805． 故答案为805．
【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题．
16.已知圆2
2
:4O x y +=点()2,2A ，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，点E 在直线l 上且满足
2PQ QE →→
=.若22
248AE AP +=，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为_____________.
【答案】1717---+⎝⎭
【解析】 【分析】
①当直线l 斜率不存在时，易求得0M x =；②当直线l 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，利用直线与圆有交点可求得2244m k <+；将直线方程与圆方程联立得到韦达定理的形式；根据2PQ QE →
→
=和22248AE AP +=可整理得到12x x +，12x x ，12y y +，12y y 满足的方程，
代入韦达定理的结论整理可得244m km m =-；当0m =时，知0M x =；当0m ≠时，可将M x 表示为关于k 的函数，利用对号函数的性质可求得值域，即为所求的范围；综合两类情况可得最终结果.
【详解】设(),M M M x y ， ①当直线l 斜率不存在时，直线方程
:0l x =，此时()0,2P -，()0,2Q ，
2PQ QE →
→
=，()0,4E ∴，2448AE ∴=+=，2
41620AP =+=，
满足22248AE AP +=，此时0M x =；
②当直线l 斜率存在时，设其方程为：y kx m =+，
l 与圆O
有两个不同交点，2<，即2244m k <+()*，
由22
4
y kx m x y =+⎧⎨
+=⎩得：()222
1240k x kmx m +++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,E x y
则12221km x x k +=-+，2122
4
1m x x k
-=+， ()1212122
221m
y y kx m kx m k x x m k ∴+=+++=++=
+， ()()()22
2
2
121212122
41m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=
+. 2PQ QE →→=，()()21210202,2,x x y y x x y y ∴--=--，解得：21021
032
32x x x y y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
， 由22248AE AP +=得：()()2
2
22212111332222224822x x y y x y --⎛⎫⎛⎫
-+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
整理得：()()()22
1212121212129924242496x x y y x x y y x x y y +++---+++=，
222222
42442238832111m m k m km
k k k
---∴--=+++，整理得：244m km m =-，
当0m =时，12
02
M x x x +=
=； 当0m ≠时，44m k =-，代入()*式得：()2
24444k k -<+，
k <<
， 212222
441442111M x x km k k k
x k k k +-+∴==-==-+⨯
+++， 47
1->-，()1
442121M x k k
∴=-+⨯
++
-
+，
当
4433k +<<
时，()211y k k =+++单调递增， ∴
()4
42121y k k
=-+
++
-+
在4433⎛ ⎝⎭
上单调递减，
M x ∴∈⎝⎭
， 综上所述：弦PQ
中点M
的横坐标的取值范围为⎝⎭
.
故答案为：⎝⎭
. 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、向量共线的坐标表示、函数值域的求解等知识；求解本题的关键是能够结合韦达定理的形式，将所求的点的横坐标表示为关于直线斜率k 的函数关系式的形式，从而利用对号函数的性质求得函数值域；本题计算量较大，难度较高，对学生的分析和解决问题能力、运算和求解能力有较高要求. 三、解答题
17.已知等差数列{}n a 的公差为d ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，等比数列{}n b 的公比为
()1q q ≠，n T 是数列{}n b 的前n 项和，330a b +=，11b =，33T =，d q =-．
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）是否存在正整数λ，使得关于k 的不等式()3010k S λ+≤有解？若λ存在，求出λ的
值；若λ不存在，说明理由． 【答案】（1）()1
2n n b -=-；（2）存在，1λ=.
【解析】 【分析】
（1）首先根据题意得到2q =-，再求n b 即可.
（2）首先求出210n a n =-，()2
98192024n S n n n ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝
⎭，将不等式
()3010k S λ+≤有解转化为max 1030k S λ⎛
⎫
≤
⎪+⎝
⎭，即可得到答案.
【详解】（1）由11b =，()
2
3113T b q q =++=，得2q =-或1q =（舍去）
∴()
1
2n n b -=-
（2）∵330a b +=，∴334a b =-=-，2d q =-=， ∴()323210n a a n n =+-=-，18a =-，
∴()2
98192024n S n n n ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝
⎭
()3010k S λ+≤有解，即10
30k
S λ≤
+有解，
又max 10130k S ⎛
⎫
=
⎪+⎝
⎭，
1λ∴=，
（当1λ=时，3010k S +≤解得4k =或5）， 故存在1λ=，使得关于k 的不等式()3010k S λ+≤有解．
【点睛】本题主要考查等差，等比数列的通项公式和前n 项和公式，同时考查了不等式有解，属于中档题.
18.如图，在多面体ABCDP 中，ABC 是边长为4的等边三角形，PA AC =
，
BD CD ==
PC PB ==E 为BC 的中点，平面BDC ⊥平面ABC ．
（1）求证：//DE 平面PAC
（2）线段BC 上是否存在一点T ，使得二面角T DA B --为直二面角？若存在，试指出点T 的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点. 【解析】 【分析】
（1）根据题目条件证明DE ⊥平面ACE ，从而得到DE //PA ，得出DE //平面PAC ; （2）建立空间直角坐标系，假设存在点(),0,0T λ，计算平面TDA 和平面BDA 的法向量，使法向量数量积为零，然后求解λ，根据λ的值确定点T 的位置.
【详解】解：（1）因为22BD CD ==ABC 是边长为4的
等边三角形， 所以((
2
2
22222
2
16BD CD BC +=+==，
所以BDC 是等腰直角三角形，90BDC ∠=︒． 又点E 为BC 的中点，所以DE BC ⊥．
因为平面BDC ⊥平面ABC ，平面BDC ⋂平面ABC BC =， 所以DE ⊥平面ABC ． 因
42PC PB ==，4PA AC AB ===，
所以222224432PA AC PC +=+==，222224432PA AB PB +=+==， 所以PAB △与PAC 都是直角三角形， 故PA AC ⊥，PA AB ⊥． 又AC AB A ⋂=
，
所以PA ⊥平面ABC ， 所以DE PA ∥．
因为PA ⊂平面PAC ，DE ⊄平面PAC ， 所以DE 平面PAC ．
（2）连接AE ，以E 为原点，EC ，EA ，ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则()
A ，()2,0,0
B -，()2,0,0
C ，()0,0,2
D ，
设存在(),0,0T λ，使得二面角T DA B --为直二面角，易知22λ-≤≤，且0λ≠． 设平面BAD 的法向量为()1111,,n x y z =， 则由()2,0,2BD =
，()
0,2AD =-，
得111100x z z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令11z =，得111x x =-
，13y =，
故1n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
．
设平面TAD 的法向量为()2222,,n x y z =， 则由(),0,2DT λ=-
，()
,AT λ=-，
得222220,0x z x λλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令21z =，得22x λ=
，23y =，
故22n λ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
．
由122
1
cos ,0n n λ-
+
⨯+=
=，得12103λ-+=，故32λ=．
所以当T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点时，二面角T DA B --为直二面角．
【点睛】本题为空间立体几何综合题，考查空间中线面平行的证明及根据二面角大小确定动点的位置问题，难度较大. 解决根据二面角大小求参的问题关键点在于合理设元、计算法向量，使法向量的夹角余弦值符合题目条件即可.
19.如图在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的离心率为5
，短
轴长为4．
（I ）求椭圆C 的方程；
（2）若与原点距离为1的直线1:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线2l 与1l 平行，且与椭圆C 相切于点M （O ，M 位于直线1l 的两侧）．记MAB △，OAB 的面积分别为1S ，2S 若12S S λ=，求实数λ的取值范围．
【答案】（1）22
154
x y +=；（2）)
51⎡⎣． 【解析】 【分析】
（1）根据椭圆的几何性质得到,,a b c 关系，求解得到标准方程；（2）设2:l y kx n =+，根据
12S S λ=
可知，λ=又1l 与原点距离为1，
即m =可把λ化简为：1n
m -，
根据2l 与椭圆相切，联立可得2254n k =+，由此代入化简可得2λ的范围，再进一步求解出λ的范围.
【详解】（1）2
5a =，21c =，222
4b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22
154
x y +=．
（2）因为原点与直线1:l y kx m =+的距离为1
1=
，即m =，
设直线2:l y kx n =+，由2215
4y kx n
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222
45105200k x knx n +++-=，
因为直线2l 与椭圆C 相切，所以()(
)()
2
2
2
104455200kn k
n
∆=--+-=，整理得
2254n k =+，
因为直线1l 与直线2l
之间的距离d =
112S AB d =
⋅，21
12
S AB =⋅，
所以121m n S n S m m λ-====-，又2222541511n k m k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
，因为20k ≥，所以[)2
4,5n m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，又O ，M 位于直线1l 的两侧，所以m ，n 同号，
所以
n m
⎡
∈⎣
，所以)11n m ⎡-∈⎣，故实数λ
的取值范围为)
1⎡⎣． 【点睛】本题考查椭圆几何性质、直线与椭圆的关系中求解参数范围问题，关键是构造出满足题意的函数关系式，然后通过函数求值域的方法，求解出函数的范围，从而可以推导出参数的范围.
20.2021年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3千克．第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工．已知该生产线生产
的产品的质量以某项指标值[]()
70,100k k ∈为衡量标准，其产品等级划分如下表．为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图．
质量指标值k 90100k ≤≤
8590k ≤<
8085k ≤<
7580k ≤<
7075k ≤<
产品等级 废品
合格
良好
优秀
良好
（1）若从质量指标值不小于85的产品中，采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件，求产品的质量指标值[)90,95k ∈的件数X 的分布列及数学期望； （2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级”为事件A ．求事件A 发生的概率；
（3）若每件产品的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所示；（14t <<） 质量指标值k
90100k ≤≤
8590k ≤< 8085k ≤< 7580k ≤< 7075k ≤<
利润 t e -
t 3t 5t 3t
试确定t 的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值（参考数值：ln 20.7≈，
ln3 1.1≈，ln5 1.6≈）
【答案】（1）答案见解析；（2）0.973；（3）1.6，90万元． 【解析】 【分析】
（1）由频率分布直方图求出质量指标值k 所处范围内的频率，根据分层抽样的知识求出各层的样本数，进而利用超几何分布求解概率，得分布列，求得数学期望；
（2）由频率分布直方图求出对应事件的频率，然后用频率估计概率，最后代入二项分布的公
式中求解即可；
（3）根据频率分布直方图，确定每个范围内产品利润y 取值的概率，建立利润y 的函数模型，利用导数求函数的最值即可.
【详解】解：（1）由频率分布直方图可知，质量指标值不小于85的产品中，
[)85,90k ∈的频率为0.0850.4⨯=； [)90,95k ∈的频率为004502..⨯=； []95,100k ∈的频率为0.0250.1⨯=．
故利用分层抽样的方法抽取的7件产品中，[)85,90k ∈的有4件，
[)90,95k ∈的有2件，[]95,100k ∈的有1件．
从这7件产品中任取3件，质量指标值[)90,95k ∈的件数X 的所有可能取值为0，1，2，
则()23
053
72
07C C P X C ===； ()1225374
17C C P X C ===；
()2125371
27
C C P X C ===．
所以X 的分布列为
故()24160127777
E X =⨯
+⨯+⨯=． （2）设“从该产品中抽取一件为合格及以上等级”的概率为p ，则根据频率分布直方图可得
()10.040.0250.7p =-+⨯=，
则()()3
3
331110.310.0270.973P A C p =--=-=-=．
（3）由题意可得该产品的质量指标值k 与对应概率如下表所示（14t <<）：
故每件产品的利润()
0.30.430.1550.130.050.3 1.5t
t
y e t t t t e t =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-+， 则(
)
0.3 1.50.35t
t
y e e =-+=--'，令0y '=，则ln5t =， 故当()1,ln5t ∈时，0y '>，当()ln5,4t ∈时，0y '<， 所以当ln5t =时，y 取得最大值，
()ln5max 0.3 1.5ln5 1.51ln5 1.50.60.9y e =-⨯+⨯=-+≈⨯=（元）．
所以当ln5 1.6t =≈时，每件产品的利润取得最大值为0.9元 电已知，该生产线的年产量为100万件，
所以该生产线的年盈利的最大值为0.910090⨯=（万元）．
【点睛】本题考查频率分布直方图，分层抽样，超几何分布，数学期望的求解，二项分布，利用导数研究函数的最值等，考查数据分析、数学建模、数学运算等核心素养.
21.已知函数()l e n x m f x x x
x =+-()m ∈R ．
（1）当1
e
m =
时，求函数()f x 的最小值； （2）若2
e 2m ≥，()2
2e x m x g x x
-=，求证：()()f x g x <．
【答案】（1）0；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）1
e
m =
，对函数()f x 求导，利用导数判断其单调性，进而可求出最小值；
（2）构造函数()()()()e ln 0x
m F x f x g x x x x
=-=->，对函数()F x 求导，分别求出
01x <≤和1x >时，函数()F x 的单调性，进而证明其最大值小于0，即可证明结论成立.
【详解】（1）由题意知()f x 的定义域为0,
．
当1e m =时，()l e n e x f x x x
x =+-，
则()()()()22
e e 1e 111e e x x x x x
f x x x x
---'=+-=． 令()()e e 0x
u x x x =->，则()e e x
u x '=-，
令()0u x '>，得1x >，令()0u x '<，得01x <<， 故()u x 在1,
上单调递增，在0,1上单调递减，
则()()10u x u ≥=，即对任意()0,x ∈+∞，()e e 0x
u x x =-≥恒成立． 所以令0f
x ，得1x >，令0f x ，得01x <<，
故()f x 在1,
上单调递增，在0,1上单调递减，
所以当1x =时，()f x 取得最小值，即()()min 10f x f ==．
（2）令()()()()e ln 0x
m F x f x g x x x x
=-=->，220e m ≥>，
则()()22
1e
1e e x
x x x m x m x m F x x x x
---'=-=， 当01x <≤时，()10m x --≥，则()0F x '>，()F x 单调递增， 所以当01x <≤时，()()1e 0m x F F =-<≤，故()()f x g x <成立；
当1x >时，()()()21e 1x m x x F x x m x ⎡⎤-'=-⋅-⎢⎥-⎣
⎦，显然()2
10m x x --<， 令()()()e 11x
x
G x x m x =-
>-，则()()
21e 1G x x m x '=+-，
因为22
0e
m ≥
>，所以()0G x '>，即()G x 在1,上单调递增，
因为2
e 2m ≥，所以()22
2e 2
2e 0m G m m
-=-=≥，
因为222e 11e 1e 1m m m =+--，且2
e 11m -≥，所以22
e 12e 1
m m <≤-， 所以存在t 满足22e 12e 1
m t m <<≤-，则()22
e 1e t m m -<，整理得()2e 1t m t >-， 则有()()
22e e e 01t
t
G t m t =-
<-=-．
因为()()20G t G ≤，所以()G x 存在唯一零点(]
01,2x ∈，
所以()01,x x ∈时，()0G x <，()0F x '>，()F x 单调递增；()0,x x ∈+∞时，()0G x >，
()0F x '<，()F x 单调递减，
所以当1x >时，()F x 的最大值为()0F x ，且(]
01,2x ∈．
由()00G x =，可得()0
00e 1x x m x =-，故()0
00000e 1
ln ln 1
x m F x x x x x =-=--．
令()n 11
l x x x ϕ=--，(]1,2x ∈，则()()2
1101x x x ϕ'=+>-， 所以()ϕx 在(]1,2上单调递增，所以()()2ln 21x ϕϕ≤=-， 故()0ln 210F x ≤-<，所以1x >时，()()f x g x <成立． 综上所述，()()f x g x <．
【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查利用导数证明不等式，考查学生逻辑推理能力与计算求解能力，属于难题. 选考题
选修4-4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系xOy 中．直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t ϕ
ϕ=+⎧⎨=+⎩
（t 为参数，[)0,ϕπ∈）．以
坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为
8cos 3πρθ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
． （1）化圆C 的极坐标方程为直角坐标标准方程；
（2）设点()00,P x y ，圆心()002,2C x y ，若直线l 与圆C 交于M 、N 两点，求
PM PN
PN PM
+的最大值．
【答案】（1）(
)(2
2
216x y -+-=；
（2）10
3
． 【解析】 【分析】
（1）将圆C
的极坐标方程化为2sin 4cos ρθρθ=+，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪
=⎨⎪=⎩
可将圆C 的极
坐标方程化为直角坐标标准方程；
（2）求得直线l
的参数方程为1cos sin x t y t ϕ
ϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩
（t 为参数，[)0,ϕπ∈），设点M 、N 所对
应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与圆C 的普通方程联立，列出韦达定理，利用直
线参数方程的几何意义结合三角恒等变换、正弦型函数的有界性可求得PM PN
PN PM
+的最大值．
【详解】（1）圆C
的极坐标方程为8cos 4cos 3πρθθθ⎛⎫
=-=+ ⎪⎝⎭
，
所以2sin 4cos ρθρθ=+．
因为222
x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=
，所以2240x y x +--=，
所以圆C 的直角坐标标准方程为(
)(2
2
216x y -+-=；
（2）由（1）知圆C
的圆心的直角坐标为(2,
，则00
222x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
001x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，
所以直线l
的参数方程为1cos sin x t y t ϕ
ϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩
（t 为参数，[)0,ϕπ∈）．
将直线l 的参数方程代入(
)(2
2
216x y -+-=，
得()
2
2cos 120t t ϕϕ-+-=． 设点M 、N 对应的参数分别为1t 、2t
，则122cos t t ϕϕ+=+，1212t t =-，
()22
22
2
1212
12
12
12
2PM PN PM PN t t t t t t PN
PM
PM PN
t t t t +++-+
=
=
==
⋅()
2
2112cos 24sin 212126πϕϕϕ⎡⎤⎛
⎫++=++ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦， 因此，当3π
ϕ=时，PM PN PN PM +取得最大值10
3
． 【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用直线参数方程的几何意义求最值，涉及三角恒等变换思想以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题.
选修4-5：不等式选讲
23.已知函数()3f x ax =-，不等式()2f x ≤的解集为{}
15x x ≤≤． （1）解不等式()()211f x f x <+-；
（2）若3m ≥，3n ≥，()()3f m f n +=，求证：
14
1m n
+≥． 【答案】（1）{|0x x <或8
}3
x >；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）先根据已知求出1a =，再利用分类讨论法解不等式2321x x -<--即得解； （2）由()()3f m f n +=得9m n +=，再利用基本不等式证明不等式. 【详解】（1）由()2f x ≤，得232,15ax ax -≤-≤≤≤，
()2f x ≤的解集为{}15x x ≤≤，
则0a >，1155a
a
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得1a =．
不等式()()211f x f x <+-可化为2321x x -<--，
则()33221x x x ≥⎧⎨-<--⎩或()()233221x x x ≤<⎧⎨--<--⎩
或()()2
3221x x x <⎧⎨--<---⎩，
解得3x ≥或
8
33
x <<或0x <， 所以原不等式的解集为{|0x x <或8}3
x >． （2）因为3m ≥，3n ≥，
所以()()–33333f m f n m n m n +=-=-+-=+，即9m n +=．
所以(
)141141411451999n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛
⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当
4n m
m n
=，即3m =，6n =时取等号． 所以不等式得证.
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查基本不等式证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。