第二次模拟考试文科数学试题

哈尔滨市第六中学2013届高三第二次模拟考试
数学试卷（文史类）
考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间
120分钟
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.
2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.
3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合2{|lg(3)0},{|540}A x x B x x x =-≤=-+<,则A B = ( ) （A ）(1,4) （B ）(1,4] （C ）(,4]-∞ （D ）(,4)-∞ 2．已知R a ∈，若复数i
i
a z +-=
12为纯虚数，则=-|3|ai （ ） （A ）13 （B ）13 （C ）10 （D ）10 3．已知向量,满足)4,3(,0-=-=⋅，则||+=（ ） （A ）25 （B ）5 （C ） 3 （D ）4 4．已知()πα,0∈，2
2
)3
cos(-
=+π
α，则=α2tan （ ） （A ）
33 （B ）3
3- （C ）3 （D ）3- 5．曲线sin 2x y x e =++在0x =处的切线方程为( ) （A ）3y x =+ （B ）2y x =+
（C ）21y x =+ （D ）23y x =+ 6．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果 是（ ）
（A ）1- （B ）
2
1 （C ）
2 （D ）1
7．已知函数2
2cos sin sin 21cos 21)(22+--=
x x x x x f ，则（ ） （A ）)(x f y =在83π=x 时取得最小值2，其图像关于点)0,83(π
对称
（B ）)(x f y =在83π=x 时取得最小值0，其图像关于点)0,85(π
对称
（C ）)(x f y =在)87,83(ππ单调递减，其图像关于直线8
π
-=x 对称
（D ）)(x f y =在)8
7,83(π
π单调递增，其图像关于直线
8π-=x 对称
8．某林管部门在每年植树节前，为保证树苗的质量，
都会对树苗进行检测。

现从甲、乙两种树苗中各 抽取10株，测量其高度，所得数据如茎叶图所示，
则下列描述正确的是（ ）
（A ）甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均高度，且甲树苗比乙树苗长得整齐 （B ）甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均高度，但乙树苗比甲树苗长得整齐 （C ）乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均高度，但甲树苗比乙树苗长得整齐 （D ）乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均高度，且乙树苗比甲树苗长得整齐
9．已知函数22,(0)
()21,(0)
x x f x x ax x -⎧≤⎪=⎨
-++>⎪⎩()a R ∈，则下列结论正确的是（ ） （A ）,()a R f x ∃∈有最大值()f a （B ）,()a R f x ∃∈有最小值(0)f （C ）,()a R f x ∀∈有唯一零点 （D ）,()a R f x ∀∈有极大值和极小值
10．某企业准备投资A 、B 两个项目，资金来源主要由企业自筹和银行贷款两部分构成，具体情况如下表：投资A 项目资金不超过160万元，B 项目不超过200万元，预计建成后，自筹资金每份获利12万元，银行贷款每份获利10万元，为获得总利润最大，两部分资金分别投入的份数是（ ）
（A ）自筹资金4份，银行贷款2份 （B ）自筹资金3份，银行贷款3份 （C ）自筹资金2份，银行贷款4份 （D ）自筹资金2份，银行贷款2份
甲 乙
9 1 0 4 0
9 5 3 1 0 2 6 7
1 2 3 7 3 0 4 4 6 6 7
11．已知函数1
()log [(2)1]a f x x a
=-+，当[1
,3]x ∈时，()0f x >，则实数a 的取值范围是（ ）
（A ）1(,1)2 （B ）13(,)25 （C ）(1,)+∞ （D ）3
(0,)5
12．已知过原点的直线与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>交于A ，B 两点，F 为椭圆的左焦点
AF BF ⊥，且||2||BF AF =，则椭圆的离心率为（ ）
（A ）
213+ （B ） 322 （C ）3
5
（D 1 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知双曲线22
122:1y x C a b
-=)0,0(>>b a 与双曲线222:1416x y C -
=有相同的渐近线，且1C 的
一个焦点为)5,0(，则a = ． 14．长方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在体积为
323
π
的球O 的球面上，其中12AA =， 则四棱锥O-ABCD 的体积的最大值为 ． 15．ABC ∆的内角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,， 若b c a =-22，
且,sin cos 2cos sin C A C A =则=b ___ __． 16．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体
的体积等于 ．
三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
已知等比数列{}n a 递增数列，,3252=a a 1243=+a a ，数列{}n b 满足n n a b 2log = （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n b a +的前n 项和n S ．
)
)()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
（18）（本小题满分12分）
某班对喜爱打篮球是否与性别有关进行了调查，以本班的50人为对象进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为
5
（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；
（Ⅱ）是否有9.99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（Ⅲ）已知不喜爱打篮球的5位男生中，321,,A A A 喜欢踢足球，21,B B 喜欢打乒乓球，现再从喜欢踢足球、喜欢打乒乓球的男生中各选出1名同学进行其他方面的调查，求1A 和1B 至少有一个被选中的概率．
（19）（本小题满分12分）
如图，三棱柱111A B C A B C -中，侧棱与底面垂直，AB BC ⊥，12AB BC BB ===，,M N 分别是1,AB A C 的中点
（Ⅰ）求证：MN ∥平面11BCC B ； （Ⅱ）求证：MN ⊥平面11A B C ； （Ⅲ）求三棱锥的体积11M A B C -的体积．
F
E
D
C
B
A
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线2:4C y x =，点M (m ,0)在x 轴的正半轴上，过M 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点.
（Ⅰ）若m =1，l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；
（Ⅱ）若存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，求实数m 的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
已知函数2
1()2ln (2),2
f x x a x a x a R =
-+-∈ （Ⅰ）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）是否存在实数a ，对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，有
2121
()()
f x f x a x x ->-恒
成立，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．
请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上． （Ⅰ）若
21,31==EA ED EB EC ，求AB
DC
的值； （Ⅱ）若FB FA EF ⋅=2
，证明：CD EF //．
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 正半轴为极轴，
已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 4=，曲线2C 的参数方程是⎩⎨⎧=+=ααsin cos t y t m x （t 为参数，
)0πα<≤，射线4
,4
,π
ϕθπ
ϕθϕθ-
=+
==与曲线1C 交于极点O 外的三点C B A ,,
（Ⅰ）求证：||2||||OA OC OB =+； （Ⅱ）当12
π
ϕ=时，C B ,两点在曲线2C 上，求m 与α的值．
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知c b a ,,均为正数
（Ⅰ）证明：36)111
(2
222≥++
+++c
b a
c b a ，并确定c b a ,,如何取值时等号成立； （Ⅱ）若1=++c b a ，求131313+++++c b a 的最大值．。