黑龙江省伊春二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)

黑龙江省伊春二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）
一、选择题（每题5分，共60分）
1．（5分）在空间中，a，b是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列条件中可推出a∥b的是（）
A．a⊂α，b⊂β，α∥βB．a∥α，b⊂βC．a⊥α，b⊥βD．a⊥α，b⊂α
2．（5分）如图，E、F分别是正方形SD1DD2的边D1D、DD2的中点，沿SE、SF、EF将它折成一个几何体，使D1、D、D2重合，记作D，给出下列位置关系：①SD⊥面EFD；②SE⊥面EFD；
③DF⊥SE；④EF⊥面SED．其中成立的有（）
A．①与②B．①与③C．②与③D．③与④
3．（5分）已知焦点在y轴的椭圆的离心率为，则m=（）
A．3或B．3C．D．
4．（5分）若a、b是异面直线，α、β是两个不同平面，a⊂α，b⊂β，α∩β=l，则（）
A．l与a、b分别相交B．l与a、b都不相交
C．l至多与a、b中一条相交D．l至少与a、b中的一条相交
5．（5分）双曲线的焦点到渐近线的距离等于（）
A．2B．3C．4D．5
6．（5分）若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为（）
A．1B．﹣1 C．﹣D．以上都不对
7．（5分）三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（）
A．1B．1或2 C．3D．1或3
8．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）
A．y=±2x B．C．D．
9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（）A．若α⊥β，m⊥α，则m∥βB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m⊥α，n∥m，则n⊥αD．若m∥α，n∥α，则m∥n
10．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）
A．32 B．16+16C．48 D．16+32
11．（5分）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是（）
A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
12．（5分）已知两异面直线a，b的夹角是15°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为8°，那么这样的直线l有（）
A．3条B．2条C．1条D．0条
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）点P在以F1、F2为焦点的椭圆上运动，则△PF1F2的重心G的轨迹方程是．14．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是．
15．（5分）已知边长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为．
16．（5分）若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，则圆锥的体积是．
三、解答题（70分）
17．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且过点，求椭圆C的标准方程．
18．（10分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆∠P1BA=∠P1AB=∠P2BC=∠P2CB=∠P3AC=∠P3CA的右焦点重合，求该抛物线的准线方程．
19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．
（1）求证：EF∥平面CB1D1；
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
（3）如果AB=1，一个点从F出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点，又回到F，指出整个线路的最小值并说明理由．
20．（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a．
（1）求异面直线A1B与B1C所成角的大小；
（2）求四棱锥A1﹣ABCD的体积．
21．（12分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，O是AC与BD的交点，E是B1B上一点，且B1E=．
（1）求证：B1D⊥平面D1AC；
（2）求直线D1O与平面AEC所成角的正弦值．
22．（12分）已知点P是椭圆是焦点，且∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面积．
黑龙江省伊春二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共60分）
1．（5分）在空间中，a，b是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列条件中可推出a∥b的是（）
A．a⊂α，b⊂β，α∥βB．a∥α，b⊂βC．a⊥α，b⊥βD．a⊥α，b⊂α
考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：A中，根据面面平行的几何特征，可判断出与b没有公共点，但a与b可能平行或异面
B中，根据线面平行的几何特征，可判断出与b没有公共点，但a与b可能平行或异面
C中，根据线面垂直的性质定理可得a∥b
D中，根据线面垂直的定义可得a⊥b
解答：解：对于A，若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面；
对于B，若a∥α，b⊂α，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面；
对于C，若a⊥α，b⊥α，由线面垂直的性质定理，可得a∥b；
对于D，若a⊥α，b⊂α，则由线面垂直的定义可得a⊥b；
故选C
点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系及直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定及几何特征是解答的关键．
2．（5分）如图，E、F分别是正方形SD1DD2的边D1D、DD2的中点，沿SE、SF、EF将它折成一个几何体，使D1、D、D2重合，记作D，给出下列位置关系：①SD⊥面EFD；②SE⊥面EFD；
③DF⊥SE；④EF⊥面SED．其中成立的有（）
A．①与②B．①与③C．②与③D．③与④
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：画出图形，折叠前后，同一半平面的几何关系不变，利用三垂线定理判断选项即可．
解答：解：由题意，折叠前后，同一半平面的几何关系不变，
∵SD⊥DF，SD⊥DE，DE⊥DF，DE=DF
∴①SD⊥面EFD，即①正确；
②SE∩面EFD，但不垂直，即②错误；
③DF⊥平面SDE，故DF⊥SE，即③正确；
④EF∩面SED，但不垂直，即④错误．
故选B．
点评：本题考查几何图形的折叠与展开，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．3．（5分）已知焦点在y轴的椭圆的离心率为，则m=（）
A．3或B．3C．D．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题．
分析：根据椭圆的方程表示焦点在y轴上的椭圆，得到a2=m+9，b2=9，从而得到c2=a2﹣b2=m．再利用离心率为=，建立关于m的等式，解之可得m的值．
解答：解：∵椭圆的焦点在y轴，
∴a2=m+9，b2=9，可得c2=a2﹣b2=m，
又∵椭圆的离心率等于
∴⇒
∴m=3
故选B
点评：本题给出一个含有字母参数的方程，在已知离心率的情况下求参数m的值，考查了椭圆的基本概念，属于基础题．
4．（5分）若a、b是异面直线，α、β是两个不同平面，a⊂α，b⊂β，α∩β=l，则（）
A．l与a、b分别相交B．l与a、b都不相交
C．l至多与a、b中一条相交D．l至少与a、b中的一条相交
考点：平面的基本性质及推论．
分析：对于A，a∥l，b∩l=A；对于B，l与a、b都平行，所以a，b平行，与异面矛盾；对于C，l可以与a、b都相交，交点为不同点即可；对于D，由A，B，C的分析，可知正确．
解答：解：对于A，a∥l，b∩l=A，满足题意，故A不正确；
对于B，l与a、b都不相交，则l与a、b都平行，所以a，b平行，与异面矛盾，故B不正确；
对于C，l可以与a、b都相交，交点为不同点即可，故C不正确；
对于D，由A，B，C的分析，可知正确
故选D．
点评：本题的考点是平面的基本性质及推论，考查基本性质的运用，解题时需要一一判断．
5．（5分）双曲线的焦点到渐近线的距离等于（）
A．2B．3C．4D．5
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：确定双曲线的焦点坐标、渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可得到结论．
解答：解：双曲线的焦点坐标为（±5，0），渐近线方程为，即4x±3y=0
∴焦点到渐近线的距离等于=4
故选C．
点评：本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．
6．（5分）若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为（）
A．1B．﹣1 C．﹣D．以上都不对
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：计算题．
分析：先利用数形结合结合的方法把理解为是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率，显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线方程与抛物线方程联立，根据判别式等于0求得k．
解答：解：的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率，
显然直线与椭圆相切时取得最值，
设直线y=k（x﹣2）代入椭圆方程（4+k2）x2﹣4k2x+4k2﹣4=0．
令△=0，k=±．
∴k min=﹣；
故选C．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是利用的几何意义，利用数形结合的方法来解决．
7．（5分）三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（）
A．1B．1或2 C．3D．1或3
考点：平面的基本性质及推论．
专题：空间位置关系与距离．
分析：利用平面的基本性质及推论即可求出．
解答：解：由平面的基本性质及推论可知：两两相交的三条直线可以确定的平面的个数为1或3．
①a∩b=P，故直线a与b确定一个平面α，若c在平面α内，则直线a、b、c确定一个平面；
②a∩b=P，故直线a与b确定一个平面α，若c不在平面α内，则直线a、b、c确定三个平面；如图．
故选D．
点评：本题主要考查了平面的基本性质及推论，熟练掌握平面的基本性质及推论是解题的关键．8．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）
A．y=±2x B．C．D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．
解答：解：由双曲线的离心率，可知c=a，
又a2+b2=c2，所以b=a，
所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．
故选B．
点评：本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力．
9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（）A．若α⊥β，m⊥α，则m∥βB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m⊥α，n∥m，则n⊥αD．若m∥α，n∥α，则m∥n
考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：利用线面平行以及面面平行的判定定理以及性质定理对四个选项分别分析解答．A：漏掉了m⊂β．B：可以举出墙角的例子．C根据线线垂直的判定可得结论是正确的．D：漏掉了m与n 相交、异面的情况．
解答：解：对于A：直线m也可以在平面β内．
对于B：α与β也可以相交．可以举出墙角的例子．
对于C：根据线面垂直的判定和性质可得结论是正确的．
对于D：m与n可能平行也可能相交也可能异面．
故选C．
点评：本题考查了空间线面关系、面面关系以及线线关系；解决此类问题的关键是熟练掌握空间中线面之间的相互平行、相互垂直的判定定理与性质定理，熟记相关的结论．
10．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）
A．32 B．16+16C．48 D．16+32
考点：由三视图求面积、体积．
专题：立体几何．
分析：根据所给的三视图得到四棱锥的高和底面的长和宽，首先根据高做出斜高，做出对应的侧面的面积，再加上底面的面积，得到四棱锥的表面积．
解答：解：由题意知本题是一个高为2，底面是一个长度为4的正方形的四棱锥，
过顶点向底面做垂线，垂线段长是2，
过底面的中心向长度是4的边做垂线，连接垂足与顶点，
得到直角三角形，得到斜高是2，
∴四个侧面积是，
底面面积是4×4=16，
∴四棱锥的表面积是16+16，
故选：B．
点评：本题考查有三视图求表面积和体积，考查由三视图得到几何图形，考查简单几何体的体积和表面积的做法，本题是一个基础题．
11．（5分）双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是（）
A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题．
分析：双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线．
解答：解：双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为，
其渐近线方程是，
整理得．
故选C．
点评：把双曲线方程转化成标准形式后再进行求解．
12．（5分）已知两异面直线a，b的夹角是15°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为8°，那么这样的直线l有（）
A．3条B．2条C．1条D．0条
考点：异面直线及其所成的角；异面直线的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：先将异面直线a，b平移到点P，结合图形可知，当使直线在面BPE的射影为∠BPE的角平分线时存在2条满足条件，当直线在面EPD的射影为∠EPB的角平分线时，没有满足条件的直线．解答：解：先将异面直线a，b平移到点P，则∠BPE=15°，∠EPD=165°
而∠BPE的角平分线与a和b的所成角为7.5°，
而∠EPD的角平分线与a和b的所成角为82.5°
∵8°＞7.5°，
∴直线与a，b所成的角相等且等于8°有且只有2条，
使直线在面BPE的射影为∠BPE的角平分线，
故选：B．
点评：本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，以及射影等知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）点P在以F1、F2为焦点的椭圆上运动，则△PF1F2的重心G的轨迹方程是
（x≠0）．
考点：圆锥曲线的轨迹问题．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设出G，P的坐标，利用三角形重心坐标公式，确定坐标之间的关系后，代入椭圆方程，即可得到结论．
解答：解：设G（x，y），P（m，n），则
∵椭圆的焦点为F1（0，1），F2（0，﹣1），G为△PF1F2的重心
∴
∴m=3x，n=3y
代入椭圆方程，可得，即
∵P、F1、F2三点不共线
∴x≠0
∴△PF1F2的重心G的轨迹方程是（x≠0）
故答案为：（x≠0）
点评：本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
14．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是3．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由三视图可知：该几何体是直四棱柱，高为1，其底面是直角梯形，上下底长分别为1，2，梯形高为2．利用四棱柱的体积计算公式即可得出．
解答：解：由三视图可知：该几何体是直四棱柱，高为1，其底面是直角梯形，上下底长分别为1，2，梯形高为2．
∴V==3．
故答案为：3．
点评：本题考查了由三视图恢复原几何体、四棱柱的体积计算公式，属于基础题．
15．（5分）已知边长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为4π．
考点：球的体积和表面积．
分析：根据已知中棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，我们可以计算出球的半径，代入球的体积公式，即可得到答案．
解答：解：若棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
则球的直径等于正方体的对角线长
即2R=2
∴R=
则球的体积V==4π．
故答案为：4π．
点评：本题考查的知识点是球的体积及球内接多面体，其中根据球内接正方体的棱长求出球的半径是解答本题的关键．
16．（5分）若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，则圆锥的体积是．
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：计算题．
分析：设圆锥的底面半径为r，母线为l，利用圆锥的底面周长就是圆锥的侧面展开图的弧长，推出底面半径与母线的关系，通过圆锥的表面积求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．解答：解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则，得l=6r，
S=πr2+πr•6r=7πr2=15π，得，圆锥的高h=
即，．
故答案为：．
点评：本题是基础题，正确利用圆锥的底面周长就是展开图的弧长，是本题的突破口，是难点所在，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．
三、解答题（70分）
17．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且过点，求椭圆C的标准方程．
考点：椭圆的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由已知得，由此能求出椭圆的标准方程．
解答：解：∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且过点，
∴，
解得a=2，b=1，
∴椭圆的标准方程为=1．
点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．
18．（10分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆∠P1BA=∠P1AB=∠P2BC=∠P2CB=∠P3AC=∠P3CA的右焦点重合，求该抛物线的准线方程．
考点：抛物线的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由椭圆的右焦点为（2，0），得，由此能求出该抛物线的准线方程为x=﹣2．
解答：解：∵椭圆的右焦点为（2，0），
∴，
解得p=4，
∴该抛物线的准线方程为x=﹣2．
点评：本题考查抛物线的准线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．
19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．
（1）求证：EF∥平面CB1D1；
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
（3）如果AB=1，一个点从F出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点，又回到F，指出整个线路的最小值并说明理由．
考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
专题：综合题；转化思想．
分析：对于（1）要证明EF∥平面CB1D1，只需证明EF平行于面CB1D1内的一条直线即可，E、F为棱AD、AB的中点，易证EF∥BD，而BD∥B1D1，从而得证；
对于（2），要证平面CAA1C1⊥平面CB1D1．只需证明平面CB1D1内的一条直线与面CAA1C1垂直即可，
而容易证明B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，从而可以证明B1D1⊥平面CAA1C1从而得证；
对于（3），正方体表面上两点之间的最小距离问题，可以用侧面展开图解决，将正方体表面展开，求EF两点之间的距离即可．
解答：解：（1）证明：连接BD．
在长方体AC1中，对角线BD∥B1D1．又∵E、F为棱AD、AB的中点，∴EF∥BD．∴EF∥B1D1．又B1D1⊥平面CB1D1，EF⊄平面CB1D1，∴EF∥平面CB1D1．
（2）∵在长方体AC1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1．
又∵在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥平面CAA1C1．
又∵B1D1平面CB1D1，∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
（3）最小值为
∴如图，将正方体六个面展开，从图中F到F，两点之间线段最短，
而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为
点评：本题考查线面平行的判定、面面垂直的判定，立体几何表面距离最短问题，都用到转化的思想：将线面平行转化为线线平行，将面面垂直转化为线面垂直，空间距离转化为平面上两点间距离问题来处理，要注意体会转化思想的应用．
20．（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a．
（1）求异面直线A1B与B1C所成角的大小；
（2）求四棱锥A1﹣ABCD的体积．
考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：空间角．
分析：（1）根据异面直线所成角的求法求异面直线A1B与B1C所成角的大小；
（2）根据锥体的体积公式求出锥体的底面积和高即可．
解答：解：（1）∵B1C∥A1D，
∴直线A1B与A1D所成的角就是异面直线A1B与B1C所成角．
又△A1BD等边三角形，
∴异面直线A1B与B1所成角的大小为60°．
（2）四棱锥A1﹣ABCD的体积V=．
点评：本题主要考查空间异面直线所成角的求法以及空间锥体的体积公式，考查学生的推理和运算能力，比较基础．
21．（12分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，O是AC与BD的交点，E是B1B上一点，且B1E=．
（1）求证：B1D⊥平面D1AC；
（2）求直线D1O与平面AEC所成角的正弦值．
考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能证明B1D⊥平面D1AC．（2）求出平面AEC的法向量，利用向量法能求出直线D1O与平面AEC所成角的正弦值．
解答：（1）证明：以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，
B1（2，2，2），D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），
=（2，2，2），=（﹣2，0，2），=（﹣2，2，0），
∵=0，=0，
∴B1D⊥AD1，BD1⊥AC，
又AD1∩AC=A，
∴B1D⊥平面D1AC．
（2）解：∵O（1，1，0），E（），
∴=（﹣1，﹣1，2），=（0，2，），
设平面AEC的法向量=（x，y，z），则，取z=4，得=（3，3，4），
设直线D1O与平面AEC所成角的为θ，
sinθ=|cos＜，＞|=||=．
∴直线D1O与平面AEC所成角的正弦值为．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
22．（12分）已知点P是椭圆是焦点，且∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面积．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题．
分析：首先由椭圆方程求出a、b、c的值，然后根据椭圆的定义得出，再由余弦定理，可以求得|PF1|•|PF2|，从而求出三角形的面积．
解答：解：，∴又∵P在椭圆上，∴
由余弦定理得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|•cos30°=|F1F2|2=（2c）
2=4∴
．
点评：本题考查了椭圆的性质，余弦定理的运用，对于求三角形的面积要根据条件选择面积公式．属于中档题．。