2024-2025学年安徽省芜湖市安师大附中高二第一学期期中考试数学试卷(含答案)

2024-2025学年安徽省芜湖市安师大附中高二第一学期期中考试数学
试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a =(1,5,−1)，b =(−3,2,3)，则a−b =( )A. (−4,−3,4)
B. (4,3,−4)
C. (−4,3,−4)
D. (4,3,4)
2.如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，点M 在OA 上，且OM =2
3OA ，点N 为BC 中点，则
MN 等于( )A. −2
3a +1
2b +1
2c B. 12a +12b−1
2c C. 2
3a +2
3b−1
2c
D. −2
3a +2
3b−1
2c
3.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P(1,2,5)，点Q(−1,2,−5)，则( )A. 点P 和点Q 关于x 轴对称 B. 点P 和点Q 关于y 轴对称C. 点P 和点Q 关于z 轴对称
D. 点P 和点Q 关于原点中心对称
4.已知直线l 的斜率的范围为[−1,1]，则直线l 的倾斜角α的取值范围为( )A. 0∘≤α≤45∘或135∘≤α≤180∘ B. 45∘≤α≤135∘
C. 45∘<α<135∘
D. 0∘≤α≤45∘或135∘≤α<180∘
5.已知点A(−4,−2)，B(−4,2)，C(−2,2)，则△ABC 外接圆的方程为( )A. (x +3)2+y 2=5 B. x 2+(y−3)2=20C. x 2+(y +3)2=5
D. (x−3)2+y 2=20
6.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )A. x 2
4+
y 2
3
=1 B.
y 2
6
+x 2=1 C. x 2
6+y 2=1
D. x 2
8+
y 2
5
=17.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为6.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为16，则椭圆C 的离心率为( )A. 1
5
B. 4
5
C. 3
5
D.
215
8.已知M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)是圆C:(x +3)2+(y−5)2=4上的两个不同的点，若|MN|=2
2，则|x 1−y 1
|+|x 2−y 2|的取值范围为( )A. [12,20]
B. [10,14]
C. [8,16]
D. [4 2,8
2]
二、多选题：本题共4小题，共24分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知直线l 1:x +ay−a =0和直线l 2:ax−(2a−3)y−1=0，下列说法正确的是( )A. 直线l 1始终过定点(0,1) B. 若l 1//l 2，则a =1或a =−3C. 若l 1⊥l 2，则a =0或a =2
D. 当a >0时，l 1不过第四象限
10.点P 在圆C 1:x 2+y 2=1上，点Q 在圆C 2:x 2+y 2−6x +8y +24=0上，则( )A. 两个圆的公切线有2条B. |PQ|的取值范围为[3,7]
C. 两个圆上任意一点关于直线4x +3y =0的对称点仍在该圆上
D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为6x−8y−25=0
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，G 是线段B 1C 1上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A. 直线AG 与平面AEF 所成角的余弦值的取值范围为[
1515, 1010
]B. 点G 到平面AEF 的距离为
2 5
5
C. 点B 1到AF 所在直线的距离为2
D. 若线段AA 1的中点为H ，则GH 一定平行于平面AEF
12.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布⋅伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy 中，把到定点F 1(−a,0)，F 2(a,0)的距离之积等于a 2(a >0)的点的轨迹称为双纽线.已知曲线C 为一条双纽线，曲线C 上的点到定点F 1(−2,0)，F 2(2,0)的距离之积为4，点P(x 0,y 0)是曲线C 上一点，则下列说法中正确的是( )
A. 点D(2
2,0)在曲线C 上
B. △PF 1F 2面积的最大值为1
C. 点Q 在椭圆x 2
6+
y 2
2
=1上，若F 1Q ⊥F 2Q ，则点Q 也在曲线C 上
D. |PO|的最大值为2
2
三、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。

13.(1)直线l过点(1,1)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的一般式方程为．
(2)已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x−3)2+(y−4)2=r2(r>0)相交，则r的取值范围为．
(3)加斯帕尔⋅蒙日是18∼19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切
线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆C:x2
a2+y2
9
=1，若直
线l:4x−3y+25=0上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是．(4)阅读材料：数轴上，方程Ax+B=0(A≠0)可以表示数轴上的点;平面直角坐标系xOy中，方程
Ax+By+C=0(A,B不同时为0)可以表示坐标平面内的直线;空间直角坐标系Oxyz中，方程
Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)可以表示坐标空间内的平面.过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n
=(a,b,c)的平面α的方程可表示为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为3x−5y+z−7=0，直线l是两平面2x−z+7=0与2x+2y−z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为．
四、解答题：本题共6小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

14.(本小题12分)
已知△ABC的顶点A(6,1)，AB边上的中线CM所在直线方程2x−y−5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x−2y−5=0．
(1)求顶点C的坐标;
(2)求直线BC的斜率．
15.(本小题12分)
已知圆M的方程为x2−8x+y2−8y−4=0．
(1)过点(0,−4)的直线m截圆M所得弦长为45，求直线m的方程;
(2)过直线l:x+y+4=0上任意一点P向圆M引切线，切点为Q，求|PQ|的最小值．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，△PCD是边长为2的正三角形，∠BCD=60∘，平面
PCD⊥平面ABCD．
(1)求证：PB⊥CD;
(2)求直线PB与平面APD所成角的正弦值．17.(本小题12分)
已知直线l与椭圆x2
6+y2
3
=1交于A，B两点，线段AB的中点坐标为M(2
3
,1
3
).
(1)求直线l的方程;
(2)求△OAB的面积．
18.(本小题12分)
如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面FBC⊥平面ABCD，FB=FC=BC=1，AB=2，G是CF的中点．
(1)证明：BG//平面AEF;
(2)在棱CF(不包括端点)上是否存在点P，使得平面BDP与平面BCF的夹角为60∘?若存在，求CP的长度;若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
已知椭圆E:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F2为右焦点.过F2的直线与椭圆
交于MN，|MN|的最小值为2，且椭圆上的点到F2的最小距离为2−1．
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)已知椭圆E的右顶点为C，P是椭圆E上的动点(不与顶点重合).若直线AB与直线CP交于点Q，直线BP与x 轴交于点N.记直线QC的斜率为k，直线QN的斜率为k1，求k⋅k1的最小值．
参考答案
1.B
2.A
3.B
4.D
5.A
6.B
7.C
8.A
9.AC 10.BC 11.BCD 12.ACD
13.(1)x−y =0或x +y−2=0
(2)3<r <7
(3)[
74
,1)(4)
77
14.【解答】解：(1)高BH 所在直线方程为x−2y−5=0，其斜率为1
2，
故直线AC 的斜率为−2，联立AC 方程与中线CM 所在直线方程2x−y−5=0，可得x =9
2，y =4，故点C 的坐标为(9
2,4)
(2)设点B 的坐标为(m,n)，由点B 在直线BH 上可得m−2n−5=0;AB 的中点M 的坐标为(m +62,n +1
2)，
点M 的坐标满足直线CM 方程，即m +6−n +1
2−5=0;故可得m
=−7
3，n
=−11
3，即点B 坐标为(−73,−113).则直线BC 的斜率为4+11
392
+7
3=46
41
15.解：(1)圆M 的标准方程为(x−4)2+(y−4)2=36．
 ①当斜率不存在时，直线m 的方程为：x =0，直线m 截圆M 所得弦长为I =2 r 2−d 2=4 5，符合题意；
 ②当斜率存在时，设直线m:y =kx−4，圆心M 到直线m 的距离为d =
|4k−4−4| k 2+1=|4k−8|
k 2+1
∴根据垂径定理可得，r 2=(4
52
)2
+d 2，∴
(|4k−8|
k 2+1)2=16，解得k =3
4．
∴直线m 的方程为3x−4y−16=0，或x =0(2)圆心M(4,4)，r =6．
因为PQ 与圆相切，所以|PQ|= |PM |2−r 2=
|PM |2−36．
当PM ⊥l ，PM 最小.所以|PM |min =|4+4+4| 12+1
2=6
2．
所以|PQ |min =
(6 2)2−36=6
16.解：(1)证明：取CD 的中点O ，连接OP ，OB ，
因为△PCD 是边长为2的正三角形，所以OP ⊥CD ，在菱形ABCD 中，∠BCD =60∘，则△BCD 为等边三角形，
所以OB ⊥CD ，又OB ∩OP =O ，OB ，OP ⊂平面OPB ，所以CD ⊥平面OPB ，又PB ⊂平面OPB ，所以PB ⊥CD;
(2)由(1)得OP ⊥CD ，OB ⊥CD ，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD =CD ，OP ⊂平面PCD ，
所以OP ⊥平面ABCD ，如图，
以点O 为原点，分别以OC ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系．因OB =OP = 3，则A(−2, 3,0)，B(0, 3,0)，P(0,0, 3)，D(−1,0,0)，设平面PAD 的法向量为n =(x,y,z)，则有
{
n ⋅DP =x + 3z =0
n ⋅DA =−x + 3y =0,令x = 3，则y =1，z =−1，所以n =( 3,1,−1)，设PB 与平面APD 所成角为β，
则sin β=|cos <PB ，n >||PB ·n ||PB |·|n ||(0,
3,−
3)⋅(
3,1,−1)|
3+3×
3+1+1=2
3
30=
10
5
;所以直线PB 与平面APD 所成角的正弦值为
10
5
．
17.【解答】解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由A ，B 是椭圆E 上两点得，
{
x 26+y 2
3=1x 26+y 2
3
=1
两式相减得
(x 1+x 2)(x 1−x 2)6+(y 1+y 2)(y 1−y 2)
3
=0，
即(x 1+x 2)+2(y 1+y 2)⋅y 1−y 2
x 1−x 2=0，
因为线段AB 的中点坐标为M(23,13
)，
所以x 1+x 2=4
3，y 1+y 2=2
3，所以y 1−y 2
x 1−x 2=−1，即k AB =−1，
所以直线AB 的方程为y−1
3
=−(x−23
)，即x +y−1=0. (2)由
{
x 26+y 2
3
=1x +y−1=0
得，3x 2+4x−4=0，则x 1+x 2=−43，x 1x 2=−4
3，
所以|AB|= 1+k 2⋅ (x 1+x 2)2−4x x 2= +1× 169
+163
=8
23
，
点o 到直线AB 的距离d =
|−1|
2= 2
2
，
所以S △OAB =1
2×|AB|×d =12
×8
2
3
×
22
=43.
18.解：(1)如图，取BC 中点H ，取AD 中点M ，
因为△FBC 为等边三角形，所以FH ⊥BC ，平面FBC ⊥平面ABCD ，又FH ⊂平面FBC ，平面FBC ∩平面ABCD =BC ，所以FH ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为矩形，则HM ⊥HB ．
以H 为坐标原点，HM ，HB ，HF 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系H−xyz ，
由题意可得，A(2,12,0)，B(0,12,0)，C(0,−12,0)，D(2,−12
,0)，F(0,0,
32
)，已知G 是CF 的中点，则G(0,−14,
3
4
)，可知BG =(0,−34, 34)，AF =(−2,−12, 3
2
)，BD =(2,−1,0)，
由四边形BDEF 为平行四边形，得AE =AF +FE =AF +BD =(0,−32, 3
2
)，设平面AEF 的法向量n =(x,y,z)，则
{
−2x−12
y +
32
z =0
−32
y +
32
z =0
，取z = 3，得y =1，x =1
2
，
则平面AEF 的一个法向量n =(12
,1, 3)故BG ⋅n =0×12−34
×1+
34
× 3=0，
则BG ⊥n ，且BG⊄平面AEF ，则BG//平面AEF ．(2)设CP =λCF ，λ∈(0,1)．设P(a,b,c)．
因为C(0,−12
,0)，F(0,0,
32
)，所以(a,b +12,c)=λ(0,12,
3
2
).于是有P(0,12λ−12, 3
2
λ).
所以BP =(0,12
λ−1,
32
λ).又BD =(2,−1,0)．
设平面BDP 法向量n 1=(x,y,z)，
则{
n 1⋅BD =0
n 1⋅BP =0，即{
2x−y =0(λ2
−1)y +
32λz =0，
取x =1，得y =2，z =
2(2−λ)
3λ
，所以平面BDP 的一个法向量为n 1=(1,2,2(2−λ)
3λ
).平面BCF 的一个法向量为n 2=(1,0,0)．则|cos <n 1，n 2>||n 1·n 2|n 1||n 2|=1
5+4(2−λ)23λ
2
=cos60∘=1
2，
化简得
4(2−λ)2
3λ2
=−1．所以λ无实数解，不存在这样的点P ．
19.解：(1)由题意得{
2b 2a
= 2
a−c =
2−1
，又a 2=b 2+c 2，解得{
a = 2
b =1
c =1∴椭圆E 的标准方程为
x 2
2
+y 2=1．(2)因为A(− 2,0)，B(0,1)，C( 2,0)，所以直线QC 的方程为y =k(x− 2)，直线AB 的方程为y =1
2x +1．
由{
y =k(x− 2)y =1
2
x +1．
解得x =
{
x =
2k +1
k− 22
y =
2k k−
22
,所以Q(
2k +1k−
22
,2k
k−
22)
由{
y =k(x− 2)x 22
+y 2=1，得(2k 2+1)x 2−4
2k 2x +4k 2−2=0，
由Δ=(−4
2k 2)2−4(2k 2+1)(4k 2−2)>0，
则 2x P =4k 2−22k 2+1，所以x P =2
2k 2−
2
2k 2
+1
，则y P =k(x P −
2)=−2
2k 2k 2+1
，
∴P(2
2k 2− 22k 2+1,−2 2k
2k 2+1
)，
因为B ，P 不重合，所以2 2k 2−
2≠0，即k ≠±
22
，
又B(0,1)，所以k BP =
−2 2k
2 2+1−1
2 2k 2− 22k 2+1
=−2k 2−2 2k−12 2k 2− 2
，
第11页，共11页∴直线BP 的方程为y =−2k 2−2 2k−12 2k 2− 2x +1，令y =0得x =2 2k 2− 22k 2+2 2k +1，∴N(2 2k 2− 22k 2+2 2k +1
,0)．∴k 1=k QN =2k
k−
22 2k +1k− 22−2 2k 2− 22k 2+2 2k +1=12k + 24∴k ⋅k 1=k ⋅(k 2+ 24)=12k 2+ 24k ，当k =− 24时，k ⋅k 1取得最小值为−1
16．。