2021-2022学年-有答案-江苏省徐州市某校初三(上)期中考试数学试卷

2021-2022学年江苏省徐州市某校初三（上）期中考试数学试卷一、选择题
1. 一元二次方程x2−4x+3=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
2. 函数y=2(x+2)2+1的图像顶点坐标是()
A.(2, 1)
B.(−2, 1)
C.(−2, −1)
D.(2, −1)
3. 已知⊙O的半径为2cm，点P在⊙O内，则OP可能等于( )
A.1cm
B.2cm
C.2.5cm
D.3cm
4. 关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根是3，则另一个根是()
A.−1
B.1
C.−2
D.2
5. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=62∘，则∠ACB等于( )
A.29∘
B.30∘
C.31∘
D.32∘
6. 三角形的内心是()
A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三边的垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点
7. 如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm，则这个圆锥的侧面积是( )
A.30cm2
B.60πcm2
C.30πcm2
D.48πcm2
8. 如图，是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面
积相等的两部分，则x的值是( )
A.1或9
B.3或5
C.4或6
D.3或6
二、填空题
某农场的粮食产量在两年内从2000吨增加到2420吨，若设平均每年增产的百分率为x，则所列方程为________．
三、解答题
解方程
(1)x2−2x−3=0；
(2)(x−3)2−2(x−3)=0.
“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”.这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD
于点E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长.
如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，P是AB延长线上一点，PD切⊙O于点D，CD交AB于点E，判断△PDE的形状，并说明理由.
将一条长为24cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于26cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别
是多少？
(2)两个正方形的面积之和可能等于17cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.
已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
(1)当ax2+bx+c=3时，则方程的解为________；
(2)求该二次函数的表达式；
(3)将该函数的图像向上（或向下）平移，使图像与直线y=4只有一个公共点，直接写出平移后的函数表达式．
某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx−20，其图像如图所示.
(1)销售单价为多少元时，这种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)若该商品每天的销售利润不低于12元，则销售单价x的取值范围是________.
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+6x+5的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA，AC，CP，过点C作y轴的垂线l.
(1)求点P，C的坐标；
(2)直线l上是否存在点D，使△PBD的面积等于△PAC的面积的3倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案与试题解析
2021-2022学年江苏省徐州市某校初三（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
根的判别式
【解析】
通过灵活运用求根公式，掌握根的判别式△=b2−4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根即可以解答此题．
【解答】
解：在方程x2−4x+3=0中，
Δ=(−4)2−4×1×3>0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选A．
2.
【答案】
B
【考点】
二次函数y=ax^2 、y=a（x-h）^2+k (a≠0)的图象和性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：函数y=2(x+2)2+1的图像顶点坐标是(−2, 1)．
故选B．
3.
【答案】
A
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为点在圆内，所以圆心与点的距离小于半径，
∴ OP<2cm.
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
根与系数的关系
设该一元二次方程的另一根为t，则根据根与系数的关系得到3t=−6，由此易求t的值．【解答】
解：设关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的另一个根为t，则3t=−6，
解得t=−2．
故选C．
5.
【答案】
C
【考点】
圆周角定理
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求解．
【解答】
解：根据圆周角定理可知，
∠AOB=2∠ACB=62∘，
即∠ACB=31∘.
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
三角形的内切圆与内心
【解析】
利用三角形的内心的性质解答即可．
【解答】
解：三角形的内心是三角形中三条角平分线的交点.
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
圆锥的展开图及侧面积
勾股定理
【解析】
首先根据底面半径OB=6cm，高OC=8cm，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面
积公式求出即可．
【解答】
解：∵它的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．
∴BC=√82+62=10(cm)，
∴这个圆锥漏斗的侧面积是：πrl=π×6×10=60π(cm2)．
故选B.
8.
D
【考点】
正方形的性质
面积相等问题
一元二次方程的应用——几何图形面积问题
【解析】
根据题意列方程，即可得到结论．
【解答】
解：如图，
∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，
×(6+9+x)×9−x×(9−x)
∴1
2
×(62+92+x2)，
=1
2
解得x=3，或x=6.
故选D．
二、填空题
【答案】
2000(1+x)2=2420
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
此题是平均增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均每年增产的百分率为x，根据“粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨”，即可得出方程．
【解答】
解：设平均每年增产的百分率为x，
第一年粮食的产量为：2000(1+x)；
第二年粮食的产量为：2000(1+x)(1+x)=2000(1+x)2；
依题意，可列方程：2000(1+x)2=2420.
故答案为：2000(1+x)2=2420．
三、解答题
【答案】
解：(1)x2−2x=3，
x2−2x+1=4，
(x−1)2=4，
x−1=±2，
x1=−1，x2=3；
(2)(x−3)(x−3−2)=0，
x−3=0或x−5=0，
x1=3，x2=5.
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
解一元二次方程-配方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)x2−2x=3，
x2−2x+1=4，
(x−1)2=4，
x−1=±2，
x1=−1，x2=3；
(2)(x−3)(x−3−2)=0，
x−3=0或x−5=0，
x1=3，x2=5.
【答案】
解：连接OA，
∵AB⊥CD，且AB=10，
∴AE=BE=5，
设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x，
∵CE=1，
∴OE=x−1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2−(x−1)2=52，化简得：x2−x2+2x−1=25，即2x=26，
解得：x=13，
所以CD=26（寸）．
【考点】
垂径定理的应用
勾股定理
【解析】
连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB
＝10可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的
方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．【解答】
解：连接OA，
∵AB⊥CD，且AB=10，
∴AE=BE=5，
设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x，
∵CE=1，
∴OE=x−1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2−(x−1)2=52，化简得：x2−x2+2x−1=25，
即2x=26，
解得：x=13，
所以CD=26（寸）．
【答案】
解：△PDE是等腰三角形.
理由是：连接OD，如图所示：
∵OC⊥AB，∴∠COE=90∘，
∴∠CEO+∠OCE=90∘.
∵OC=OD，∴∠OCE=∠ODE.
∵PD切⊙O于点D，∴∠ODP=90∘，
∴∠ODE+∠PDE=90∘，
∴∠CEO=∠PDE.
∵∠OEC=∠PED，
∴∠PDE=∠PED，∴PD=PE，
∴△PDE是等腰三角形.
【考点】
切线的性质
等腰三角形的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：△PDE是等腰三角形.
理由是：连接OD，如图所示：
∵OC⊥AB，∴∠COE=90∘，
∴∠CEO+∠OCE=90∘.
∵OC=OD，∴∠OCE=∠ODE.
∵PD切⊙O于点D，∴∠ODP=90∘，
∴∠ODE+∠PDE=90∘，
∴∠CEO=∠PDE.
∵∠OEC=∠PED，
∴∠PDE=∠PED，∴PD=PE，
∴△PDE是等腰三角形.
【答案】
解：(1)设其中一个正方形的边长为x m，则另一个正方形的边长为(6−x)cm，依题意列方程得x2+(6−x)2=26，
整理得x2−6x+5=0，
解得x1=1，x2=5，
1×4=4cm，24−4=20cm，
∴这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm，20cm；
(2)两个正方形的面积之和不可能等于17cm2，
理由：设两个正方形的面积和为y，则y=x2+(6−x)2=2(x−3)2+18，
∵ a=2>0，
∴当x=3时，y取得最小值，此时y=18>17，
∴两个正方形的面积之和不可能等于17cm2.
【考点】
一元二次方程的应用——几何图形面积问题
二次函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设其中一个正方形的边长为x m，则另一个正方形的边长为(6−x)cm，依题意列方程得x2+(6−x)2=26，
整理得x2−6x+5=0，
解得x1=1，x2=5，
1×4=4cm，24−4=20cm，
∴这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm，20cm；
(2)两个正方形的面积之和不可能等于17cm2，
理由：设两个正方形的面积和为y，则y=x2+(6−x)2=2(x−3)2+18，
∵ a=2>0，
∴当x=3时，y取得最小值，此时y=18>17，
∴两个正方形的面积之和不可能等于17cm2.
【答案】
0或4
(2)由表格可知抛物线的顶点坐标为(2,−1)，
设抛物线的解析式为y=a(x−2)2−1，
∵抛物线过点(0,3)，
∴ 3=a(0−2)2−1，
∴ a=1，
∴ y=(x−2)2−1=x2−4x+3.
(3)∵抛物线平移之后与y=4只有一个交点，
∴抛物线的顶点坐标在直线y=4上，
∴平移后抛物线的解析式为y=(x−2)2+4.
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
【解析】
（1）由表中所给数据信息可知：该二次函数图象的对称轴为直线x=2，且当x=0时，y的值为3，由此可得当x=4时，y=3，由此可得本小题答案为0或4；
（2）由表中数据可知该二次函数图象的顶点坐标为(2, −1)，结合图象过点(0, 3)即可
由待定系数法求得该二次函数的解析式；
（3）由（2）中所得二次函数的解析式结合本题条件可知，需将抛物线向上平移4个单位即可是抛物线和直线y=3只有一个公共点，这样由即可得到平移后的解析式了.
【解答】
解：(1)分析表中所给数据信息可知，
该二次函数中当x=0时，y=3，且该二次函数图像的对称轴为直线x=2，
∴当x=4时，y=3,
∴在该二次函数中：当y=3时，x=0或4.
故答案为：0或4.
(2)由表格可知抛物线的顶点坐标为(2,−1)，
设抛物线的解析式为y=a(x−2)2−1，
∵抛物线过点(0,3)，
∴ a =1，
∴ y =(x −2)2−1=x 2−4x +3.
(3)∵ 抛物线平移之后与 y =4 只有一个交点，
∴ 抛物线的顶点坐标在直线 y =4上，
∴ 平移后抛物线的解析式为 y =(x −2)2+4.
【答案】
解：(1)将点 A(4,12)，(2,0) 代入y =ax 2+bx −20，
得：{16a +4b −20=12，4a +2b −20=0，
解得：{a =−1，b =12，
故抛物线解析式为： y =−x 2+12x −20=−(x −6)2+16，
当x =6 时，y 取得最大值16.
答：销售单价为6元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为16元. 4≤x ≤8
【考点】
一元二次不等式
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)将点 A(4,12)，(2,0) 代入y =ax 2+bx −20，
得：{16a +4b −20=12，4a +2b −20=0，
解得：{a =−1，b =12，
故抛物线解析式为： y =−x 2+12x −20=−(x −6)2+16，
当x =6 时，y 取得最大值16.
答：销售单价为6元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为16元.
(2)由(1)及题意可知，y =−x 2+12x −20≥12，
∴ x 2−12x +32≤0，
解得4≤x ≤8.
故答案为：4≤x ≤8.
【答案】
解：(1) ∵ y =x 2+6x +5=(x +3)2−4 ，
令x=0得到y=5，
∴C(0,5).
(2)令y=0，x2+6x+5=0，解得x=−1或−5，∴ A(−1,0), B(−5,0)，
设直线PC的解析式为y=kx+b，
则有{−4=−3k+b，
5=b，
解得{
k=3，
b=5，
∴直线PC的解析式为y=3x+5.
设直线交x轴于E，则E(−5
3
，0)，
设直线PD交x轴于F，当BF=3AE时，△PBD的面积等于△PAC的面积的3倍，
∵AE=2
3
，∴BF=2，
∴F(−3,0)或F′(−7,0).
当F(−3,0)时，直线PF垂直于x轴，
∴D(−3,5)，
当F′(−7,0)时，直线PF′的解析式为y=−x−7，
∴D′(−12,5)，
综上所述，满足条件的点D(−3,5)，D′(−12,5).
【考点】
二次函数综合题
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵y=x2+6x+5=(x+3)2−4，
∴顶点P(−3,−4)，
令x=0得到y=5，
∴C(0,5).
(2)令y=0，x2+6x+5=0，解得x=−1或−5，
∴ A(−1,0), B(−5,0)，
设直线PC的解析式为y=kx+b，
则有{−4=−3k+b，
5=b，
解得{
k=3，
b=5，
∴直线PC的解析式为y=3x+5.
，0)，
设直线交x轴于E，则E(−5
3
设直线PD交x轴于F，当BF=3AE时，△PBD的面积等于△PAC的面积的3倍，∵AE=2
，∴BF=2，
3
∴F(−3,0)或F′(−7,0).
当F(−3,0)时，直线PF垂直于x轴，
∴D(−3,5)，
当F′(−7,0)时，直线PF′的解析式为y=−x−7，
∴D′(−12,5)，
综上所述，满足条件的点D(−3,5)，D′(−12,5).。