高中数学 阶段质量检测(二)平面向量 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题

阶段质量检测（二） 平面向量
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于( ) A ．5 B.13 C.17D ．13
解析：选B 因为a ＋b ＝(3,2)，所以|a ＋b |＝32
＋22
＝13，故选B.
2．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1
解析：选B 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
3．设点A (－1,2)，B (2,3)，C (3，－1)，且AD ＝2AB －3BC ，则点D 的坐标为( ) A ．(2,16) B ．(－2，－16) C ．(4,16) D ．(2,0)
解析：选A 设D (x ，y )，由题意可知AD ＝(x ＋1，y －2)，AB ＝(3,1)，BC ＝ (1，－4)，
∴2AB －3BC ＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)．
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1＝3，y －2＝14，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝16.故选A.
4．某人在静水中游泳，速度为4 3 km/h ，水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( )
A ．90 ° B．30° C ．45° D．60°
解析： 选D 如图，用OA 表示水速，OB 表示某人垂直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC .
于是tan ∠AOC ＝|AC ||OA |＝|OB ||OA |
＝|v 静|
|v 水
|＝3，
∴∠AOC ＝60°，故选D.
5．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC ＝
2BD ，CE ＝2EA ，AF ＝2FB ，则AD ＋BE ＋CF 与BC ( )
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直
解析：选A ∵AD ＋BE ＋CF ＝(AB ＋BD )＋(BA ＋AE )＋(CB ＋BF ) ＝13BC ＋13AC ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫CB ＋13 BA
＝13BA ＋13BC ＋13AC ＋CB ＝－1
3BC ， ∴(AD ＋BE ＋CF )与BC 平行且方向相反． 6．设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a⊥b B ．若a⊥b ，则a ＋b ＝|a |－|b |
C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λa
D ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
解析：选C 若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ，故C 正确；选项A ：当|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a⊥b ，由矩形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得b ＝λa ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然 |a ＋b |＝|a |－|b |不成立．
7．已知平面上直线l 与e 所在直线平行且e ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45，35，点O (0,0)和A (1，－2)在l
上的射影分别是O ′和A ′，则O A ''＝λe ，其中λ等于( )
A.
115 B ．－115
C ．2
D ．－2
解析：选D 由题意可知|O A ''|＝|OA |cos(π－θ)(θ为OA 与e 的夹角)． ∵O (0,0)，A (1，－2)，∴OA ＝(1，－2)．
∵e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，∴OA ·e ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋(－2)×35＝－2＝|OA |·|e |·cos θ，∴|OA |·cos θ＝－2.
又∵|O A ''|＝|λ|·|e |，∴λ＝±2. 又由已知可得λ<0，∴λ＝－2，故选D. 8．在△ABC 中，有下列四个命题： ①AB －AC ＝BC ； ②AB ＋BC ＋CA ＝0；
③若(AB ＋AC )·(AB －AC )＝0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AC ·AB >0，则△ABC 为锐角三角形． 其中正确的命题有( ) A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．②③④
解析：选C ∵AB －AC ＝CB ＝－BC ≠BC ，∴①错误．AB ＋BC ＋CA ＝AC ＋CA ＝AC －AC ＝0，∴②正确．由(AB ＋AC )·(AB －AC )＝2AB －2
AC ＝0，得|AB |＝|AC |，∴△ABC 为等腰三角形，③正确．AC ·AB >0⇒cos 〈AC ，AB 〉>0，即cos A >0，∴A 为锐角，但不能确定B ，C 的大小，∴不能判定△ABC 是否为锐角三角形，∴④错误，故选C.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)
9．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析：|5a －b |＝|5a －b |2
＝5a －b
2
＝25a 2
＋b 2
－10a ·b ＝ 25＋9－10×1×3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12
＝7. 答案：7
10．在△ABC 中，点M ，N 满足AM ＝2MC ，BN ＝NC .若MN ＝x AB ＋y AC ，则x ＝________，y ＝________.
解析：∵AM ＝2MC ，∴AM ＝2
3AC .
∵BN ＝NC ，∴AN ＝1
2
(AB ＋AC )，
∴MN ＝AN AN －AM ＝12(AB ＋AC )－2
3AC
＝12AB －1
6AC . 又MN ＝x AB ＋y AC ， ∴x ＝12，y ＝－16.
答案：12 －16
11．已知向量a ，b 是互相垂直的单位向量，且c·a ＝c·b ＝－1，则|c |＝________，|a －2b ＋3c |＝________.
解析：不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则c ·a ＝x ＝－1，c·b ＝y ＝－1，所以c ＝(－1，－1)，|c |＝ 2.所以a －2b ＋3c ＝(－2，－5)，所以|a －2b ＋3c |＝
－2
2
＋－5
2
＝29.
答案：229
12．若向量a 与b 满足|a |＝2，|b |＝2，(a －b )⊥a .则向量a 与b 的夹角等于________，|a ＋b |＝________.
解析：因为(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝a 2
－a·b ＝0，所以a·b ＝2，所以cos 〈a ，b 〉＝
a·b |a||b|＝22×2＝22
，所以〈a ，b 〉＝π4.因为|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝2＋2×2＋4＝10，所以|a ＋b |＝10.
答案：π4
10
13．设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ，若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝
3
2
，则向量f (e 1，e 2)的模为________，向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________．
解析：∵e 1·e 2＝
3
2
，且e 1，e 2均为单位向量，∴向量e 1与e 2的夹角为30°，
∴f (e 1，e 2)＝e 1cos 30°－e 2sin 30°＝
32e 1－1
2
e 2， ∴|
f (e 1，e 2)|＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2
e 1－12e 22
＝
34e 21－32e 1·e 2＋14e 22＝1
2
. ∵向量e 1与e 2的夹角为30°，∴向量e 2与－e 1的夹角为150°， ∴f (e 2，－e 1)＝e 2cos 150°＋e 1sin 150°＝12e 1－3
2e 2，
∴f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝⎝
⎛⎭⎪⎫3
2
e 1－12e 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12e 1－32e 2＝34e 21－e 1·e 2＋34e 22＝0，
故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π
2.
答案：12π2
14．已知向量AB 与AC 的夹角为120 °，且|AB |＝3，|AC |＝2.若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为________．
解析：BC ＝AC －AB ，由于AP ⊥BC ，所以AP ·BC ＝0，即(λAB ＋
AC )·(AC －AB )＝－λAB 2＋AC 2＋(λ－1)·AB ·AC ＝－9λ＋4＋(λ－
1)×3×2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝0，解得λ＝712.
答案：7
12
15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，AD ＝DC ＝1，P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，DQ ＝λDC ，CP ＝(1－
λ)CB ，则AP ·AQ 的取值X 围是________．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,1)，C (1,1)．设
Q (m ，n )，由DQ ＝λDC 得，(m ，n －1)＝λ(1,0)，即m ＝λ，n ＝
1.又B (2,0)，设P (s ，t )，由CP ＝(1－λ)CB 得，(s －1，t －1)
＝(1－λ)(1，－1)，即s ＝2－λ，t ＝λ，所以AP ·AQ ＝λ(2－λ)＋λ＝－λ2
＋3λ，
λ∈[0,1]．故AP ·AQ ∈[0,2]．
答案：[0,2]
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)平面内有向量OA＝(1,7)，OB＝(5,1)，OP＝(2,1)，点M 为直线OP上的一动点．
(1)当MA·MB取最小值时，求OM的坐标；
(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．
解：(1)设OM＝(x，y)，∵点M在直线OP上，
∴向量OM与OP共线，又OP＝(2,1)．
∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.
∴OM＝(2y，y)．又MA MA＝OA－OM，OA＝(1,7)，
∴MA＝(1－2y,7－y)．
同理MB＝OB－OM＝(5－2y,1－y)．
于是MA·MB＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.
可知当y＝
20
2×5
＝2时，MA·MB有最小值－8，此时OM＝(4,2)．
(2)当OM＝(4,2)，即y＝2时，
有MA＝(－3,5)，MB＝(1，－1)，
|MA|＝34，|MB|＝2，MA·MB＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.
cos∠AMB＝
MA·MB
|MA||MB |
＝
－8
34×2
＝－
417
17
.
17．(本小题满分15分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，
(1)用OA，OB表示OC.
(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．
解：(1)因为2 AC＋CB＝0，
所以2(OC－OA)＋(OB－OC)＝0，
2OC－2OA＋OB－OC＝0，
所以OC ＝2OA －OB . (2)证明：如图，
DA ＝DO ＋OA ＝－12
OB ＋OA
＝1
2
(2OA －OB )． 故DA ＝1
2OC .即DA ∥OC ，且DA ≠OC ，故四边形OCAD 为梯形．
18．(本小题满分15分)
如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，H ，M 分别是AD ，
DC 的中点，F 使BF ＝1
3
BC .
(1)以a ，b 为基底表示向量AM 与HF ；
(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM ·HF . 解：(1)连接AF ，由已知得AM ＝AD ＋DM ―→＝1
2a ＋b .
∵AF ＝AB ＋BF ＝a ＋1
3
b ，
∴HF ＝HA ―→＋AF ＝－12b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ＝a －1
6
b .
(2)由已知得a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝3×4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12 ＝－6，
从而AM ·HF
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －16b ＝12|a |2＋1112a ·b －16
|b |2 ＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113
. 19．(本小题满分15分)在△ABC 中，AB ·AC ＝0，|AB |＝12，|BC |＝15，l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点．
(1)求AD ·CB 的值；
(2)判断AE ·CB 的值是否为一个常数，并说明理由． 解：(1)∵AB ·AC ＝0，∴AB ⊥AC . 又|AB |＝12，|BC |＝15，∴|AC |＝9.
由已知可得AD ＝1
2(AB ＋AC )，CB ＝AB －AC ，
∴AD ·CB ＝1
2(AB ＋AC )·(AB －AC )
＝12(2
AB －2AC ) ＝12(144－81)＝632
. (2)AE ·CB 的值为一个常数．
理由：∵l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点，∴
DE ·CB ＝0.
故AE ·CB ＝(AD ＋DE )·CB ＝AD ·CB ＋DE ·CB ＝AD ·CB ＝632.
20．(本小题满分15分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，
且点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )，θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2.
(1)若AB ⊥a ，且|AB |＝5|OA |，求向量OB ；
(2)若向量AC 与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA ·OC . 解：(1)因为AB ＝(n －8，t )，且AB ⊥a ， 所以8－n ＋2t ＝0，即n ＝8＋2t . 又|AB |＝5|OA |，
所以5×64＝(n －8)2
＋t 2
＝5t 2
，解得t ＝±8. 所以OB ＝(24,8)或(－8，－8)．
(2)因为AC ＝(k sin θ－8，t )，AC 与a 共线， 所以t ＝－2k sin θ＋16.
又t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin θ－4k 2＋32k
，
当k >4时，1>4
k
>0，
所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32
k
；
由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π
6，故OC ＝(4,8)， 所以OA ·OC ＝8×4＋8×0＝32.。