九年级数学上册21.2.4一元二次方程根与系数关系同步测试新人教版

一元二次方程的根与系数的关系
1x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，那么x1＋x2的值是(
)
A
．0B．2
C
．－2D．4
2．[2021·潭湘]一元二次方程x2＋x－2＝0的解为x1，x2，那么x1·x2＝
(D)
A．1B．－1C．2D．－2
3．[2021包·头]方程x2－2x－1＝0，那么此方程(C)
A．无实数根
B．两根之和为－2
C．两根之积为－1
D．有一根为－1＋
2
4．一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，那么另一根为(C)
A．2B．3C．4D．8
5．方程x2－5x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，那么x1＋x2－x1x2的值为(D) A．－7B．－3C．7D．3
【分析】
由根与系数的关
系得x1＋x2＝5，x1x2＝2，因此x1＋x2－x1x2＝5－2＝3.
6．[2021攀·枝花]一元二次方程
2
的两个根
分别是
22 x－3x－1
＝0
x1，x2，那么x1x2＋
x1x2
的值为(
A )
A．－3B．3C．－6D．6
【分析】
∵一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分
别是x1，x2，∴x1＋x2＝3，x1x2＝－1，
∴x12x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)＝－1×3＝－3.
7．设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，那么
x2＋x1的值
为()
x
1
x
2
A ．5
B．－5
C ．1
D．－1
8．假定x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个根，那么x1
2＋x
2
2＝__3__．
【分析】由根与系数的关系得
x1＋x2＝－1，x1x2＝－1，因此
x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－
1)2－2×(－1)＝3.
9．m和n是方程
2x2－5x－3＝0的两
根，那么1＋1＝__－5__．
3
【分析】∵m 和n 是方程
2x 2
－5x －3＝0的两根，
－5
5
∴m＋n ＝－
5
3
m
＋n
2
5
＝ ，mn ＝－，
∴
＝ ＝
－.
2
2
2
mnmn
－
3
3
2
10．x 1，x 2是方程x 2
＋6x ＋3＝0的两实数根，试求以下代数式的值：
(1)x 1 2
＋x 2 2
；
(2)x2
＋
x
1
x 1；
x 2
(3)(x1＋1)(x2＋1)．
解：由根与系数的关系得
x 1＋x 2＝－6，x 1x 2＝3.
(1)x1
2
＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－6)2
－2×3
2
36－6＝30；
2
x2＋x1＝x2＋x
1＝30＝10； x1x2x1x23
(3)(x 1＋1)(x 2＋1) x1x2＋(x1＋x2)＋1 3－6＋1＝－2.
2
11．2－ 5是对于x 的一元二次方程 x －4x ＋c ＝0的一个根，求方程的另一个根．
2
12．对于 x 的方程x －mx －3＝0的两实数根为 x 1，x 2，假定x 1＋x 2＝2，求x 1，x 2的值．
解： ∵x 1＋x 2＝2，∴m＝2.
∴原方程为 x 2
－2x －3＝0，即(x －3)(x ＋1)＝0， 解得x 1＝3，x 2＝－1或x 1＝－1，x 2＝3.
13．对于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x1
2＋x
2
2＝7，
2
∴那么(x1－x2)的值是( C )
C．13 D．25
【分析】由根与系数的关系知：x1＋x2＝m，x1x2＝2m－1，x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝m2－2(2m－1)＝m2－4m＋2，
m2－4m＋2＝7，
m2－4m－5＝0，
解得m＝5或m＝－1.
当m＝5时，原方程为x2－5x＋9＝0，
(－5)2－4×1×9＝25－36＝－11<0，此时方程无实根．当m＝－1时，原方程为x2＋x－3＝0，方程有实根，∴当m＝－1时，x1＋x2＝－1，x1x2＝－3，
(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
(－1)2－4×(－3)＝1＋12＝13，应选C.
14．设a，b是方程x2＋x－2021＝0的两个实数根，那么a2＋2a＋b的值为( A )
A．20 21
B．2 021
C．20 21
D．2 021
【分
析】∵a是方程x2＋x－2021＝0的根，∴a2＋a－2021＝0，∴a2＋a＝2021.又由根与
系数的关系得a＋b＝－1，∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋(a＋b)＝2021－1＝2021，应选A.
15．m，n是方程x2＋22x＋1＝0的两根，那么代数式m2＋n2＋3mn的值为(C)
A．9B．4C．3D．5
16．对于x的一元二次方程mx2－4x＋6＝0的两根为x1，x2，且x1＋x2＝－2，那么m＝
__－
2__．
【分
析】∵x＋x＝－－4＝4，∴－2＝4，∴m＝－2.
12
m m m
17．设α，β是一元二次方程
22
＋3x－7＝0的两个根，那么α＋4α＋β＝__4__．
【分析】
2
＋
3x－7＝0的两个
根，那么
2
由于α，β是一元二次方
程x
α＋3α－7＝0，α＋
β＝
2
－3，α
＋4α＋β＝α＋3α＋α＋β＝4.
18．对于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为
x1，x2.
求m的取值范围；
假定2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．解：(1)∵原方程有两个实数根，13
(2)∴Δ＝9－4(m－1)≥0，解得m≤4.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝m－1，
∴2×(－3)＋(m－1)＋10＝0，解得m＝－3，切合题意．19．：对于x的方程kx2－(3k－1)x＋2(k－1)＝0.
求证：不论k为什么实数，方程总有实数根；
假定此方程有两个实数根x1，x2，且│x1－x2│＝2，求k的值．
解：(1)证明：＝[－(3k－1)]2－4k·2(k－1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0，
(2)因此不论 k为什么实数，方程总有实数根；
由根与系数关系，得x1＋x2＝3k－1，x1x2＝2〔k－1〕，
kk
∵│x1－x2│＝2，
(x1－x2)2＝4，即(x1＋x2)2－4x1x2＝4，
故(3k－1)2－8〔k－1〕＝4，整理，得3k2－2k－1＝0.
kk
1
解得k1＝1，k2＝－3.
1
经查验，k1＝1，k2＝－都是原分式方程的解，
∴k1＝1，k2＝－13.。