简易逻辑复习学案

简易逻辑复习学案
一知识回顾
1、条件关系
(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q 的条件，简称条件．
概括地说，如果p⇔q，那么p与q条件．
(2)若p⇒q，但q⇒/p，则称p是q的条件．
(3)若q⇒p，但p⇒/q，则称p是q的条件．
(4)若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的条件．
2、含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：；
特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定﹁p：．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
二、典题回顾
例1、下列语句是命题的是()
①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；
⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！
A．①②③B．①③④
C．①②⑤D．②③⑤
练习1．下列命题是真命题的为()
A．若a>b，则1 a< 1 b
B．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
C．若|x|<y，则x2<y2
D．若a＝b，则a＝b
例2、“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的() A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
练习2、“|x|＝|y|”是“x＝y”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
例2、“x2－4x<0”的一个充分不必要条件为()
A．0<x<4B．0<x<2
C．x>0 D．x<4
练习2、不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是()
A．x∈(0,2)B．x∈[－1，＋∞)
C．x∈(0,1) D．x∈(1,3)
例3、已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围
练习3、已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围．
例4．下列四个命题中的真命题为( )
A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3
B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0
C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0
D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0
练习4、下列命题中，真命题是( )
A ．∃x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ≥2 B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1
C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1
D ．∀x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，tan x >sin x
例5、命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( )
A ．∀x ∈ /R ，x 2≠x
B ．∀x ∈R ，x 2＝x
C ．∃x ∈ /R ，x 2≠x
D ．∃x ∈R ，x 2＝x
练习5、命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )
A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1
B ．∀x ∈ /(0，＋∞)，ln x ＝x －1
C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1
D ．∃x 0∈ /(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1
例6、已知命题：“∃x 0∈[1,2]，使x 20＋2x 0＋a ≥0”为真命题，则实数a 的
取值范围是__________．
练习6、已知命题p：∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，命题q：∃x0∈R，ax20－2ax0－3>0，若p假q真，求实数a的取值范围.
练习7、已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax ＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是()
A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)
B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)
C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)
D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)
简易逻辑复习学案答案
例1、A[①、②、③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④、⑤不是命题．]
练习1、C[对于A，若a＝1，b＝－2，则1
a>
1
b，故A是假命题．
对于B，当a＝b＝0时，满足b2＝ac，但a，b，c不是等比数列，故B是假命题．
对于C，因为y>|x|≥0，则x2<y2是真命题．
对于D，当a＝b＝－2时，a与b没有意义，故D是假命题．]
例2、A[由x2－3x＋2>0得x>2或x<1，故选A.]
练习2、B [若x ＝1，y ＝－1，则|x |＝|y |，但x ≠y ；若x ＝y ，则|x |＝|y |，故选B.]
例2、[解析] (1)由x 2－4x <0得0<x <4，则充分不必要条件是集合{x |0<x <4}的子集，故选B.
[答案] B
练习2、B [由x (x －2)<0得0<x <2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x ∈[－1，＋∞)”是“不等式x (x －2)<0成立”的一个必要不充分条件．]
例3、[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．
因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q 且q ⇒/p .
即{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，
所以⎩⎨⎧ m >0，
1－m <－2，
1＋m ≥10或⎩⎨⎧ 1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，解得m ≥9.
所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}．
[答案] {m |m ≥9}(或[9，＋∞))
练习3、[解] 因为“x ∈P ”是x ∈Q 的必要条件，所以Q ⊆P .
所以⎩⎨⎧
a －4≤1a ＋4≥3
解得－1≤a ≤5 即a 的取值范围是[－1,5]．
例4、D [当x ∈R 时，x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74>0，故选D.] 练习4、B [(1)对于选项A ，
sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π4≤2，∴此命题不成立； 对于选项B ，x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x >3时，(x －1)2－2>0，∴此命题成立；
对于选项C ，x 2
＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴x 2＋x ＝－1对任意实数x 都不成立，∴此命题不成立；
对于选项D ，当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π时，tan x <0，sin x >0，命题显然不成立．故选B.]
例5、[解析] 原命题的否定为∃x ∈R ，x 2＝x ，故选D.
[答案] D
练习5、A [特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1.]
例6、[－8，＋∞) [当x ∈[1,2]时，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1是增函数，所以3≤x 2＋2x ≤8，由题意有a ＋8≥0，
∴a ≥－8.]
练习6、[解] 因为命题p 是假命题，
所以命题﹁
p ：∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0是真命题，则(a －1)2－4>0， 解得a <－1或a >3.
因为命题q ：∃x 0∈R ，ax 20－2ax 0－3>0是真命题．
所以当a ＝0时，－3<0，不满足题意；
当a <0时，(－2a )2＋12a >0，所以a <－3.
当a >0时，函数y ＝ax 2－2ax －3的图象开口向上，一定存在满足条件的x 0，故a <－3或a >0.
综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞).
练习7、C [f (x )＝ax 2
＋bx ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a >0)， ∵2ax 0＋b ＝0，∴x 0＝－b 2a ，
当x ＝x 0时，函数f (x )取得最小值，
∴∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，从而A ，B ，D 为真命题，C 为假命题．]。