工学基础002静力学-一般力系

解得：
qa m 200.8 16 RB 2 P 22012( kN) 2 a 2 0.8 YA P qa RB 20 200.81224(kN) 20
[例5]
塔式起重机如图所示。机架自重W1＝500 kN，其作
用线至右轨的距离e＝0.5 m，最大起重量W2＝250 kN，其作用 线至右轨的距离L＝10 m，轨道AB的间距b＝4 m，平衡重W到
车刀 ① 认为Fi这群力在同一平面内;
② 将Fi向A点简化得一力和一力
偶; ③ RA方向不定可用正交分力YA, XA表示; ④ YA, XA, MA为固定端约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动, MA为限 制转动。
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平面一般力系的简化结果分析
简化结果：主矢 R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡，下节专门讨论。 ② R =0，MO≠0，即简化结果为一合力偶 MO=M ，此时 刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体
主矢 R
（移动效应）
方向：
tg1
Ry 1 Y tg Rx X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和] 大小： M O mO ( Fi )
主矩MO
（转动效应）
方向：
方向规定
+
-
简化中心： (与简化中心有关)
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（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
引申：固定端（插入端）约束
讨论:为保证起重机安全工作,设计时需考虑两种翻倒情况。 (1) 当满载时，为了使起重机不绕B点翻倒，考虑平衡的临 界状况FA＝0，这时列Σ MB(F)＝0的平衡方程，可求出平衡重 的最小值Wmin＝275 kN ， (2) 当空载时，为了使起重机不绕A点翻倒，考虑平衡的临 界状况FB＝0，这时列Σ MA(F)＝0的平衡方程，可求出平衡重 的最大值Wmax＝375 kN 。实际工作时不允许处于极限状态，需 使其安全工作，平衡重应在这两者之间，即Wmin<W<Wmax。 22
由 X 0
N S B sin 0
Y 0
P S B cos 0
S B P , N P tg cos
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再研究轮
mO ( F ) 0 S A cos R M 0
X 0
X O S A sin 0 Y 0
S A cos YO 0
平面任意力系的简化方法：力系向一点简化。把未知力系（平面 任意力系）变成已知力系（平面汇交力系和平面力偶系）
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§第一讲 力线平移定理
作用在刚体上点A的力 F，可以平行移到任一点B，但必须 同时附加一个力偶。这个力偶的矩，等于原来的力 F 对新作 用点B的矩。
[证] 力F 提 醒
力系 F , F , F
§第四讲 物系的平衡 · 静定与超静定问题
静定与静不定、超静定问题 总结前面学过的 X 0 两个独立方程,只能求两个独立未知数。 平面汇交力系 Y 0 平面力偶系
mi 0
一个独立方程,只能求一个独立未知数。
X 0 平面一般力系 Y 0
三个独立方程,只能求三个独立未知数。 mO ( Fi ) 0
(2) 列平衡方程：
Σ Fx=0， Σ Fy=0，
FAx F1 F sin 60o 0
FAy W F cos 60o 0
Σ MA(F)=0， M A M F1L FL cos 60o 3FL sin 60o 0
解得： FAx 316.4 kN，FAy 100 kN，M A 789.2 kN
mC ( Fi ) 0
③三矩式
（条件：A、B、C不在同一直线上）
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提 醒 上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
[例1 ] 已知：P，a ， 求：A、B两点的支座反力。 解：① 选AB梁研究；
② 画受力图（以后注明
解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上）； ③ 列平衡方程： 解除约束 A B
( X )
2
( Y )
2
0
M O mO ( Fi ) 0
m A ( Fi ) 0
mB ( Fi ) 0
X 0 Y 0
mO ( Fi ) 0
①一矩式
（普遍式）
X 0 m A ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0
②二矩式
（条件：x 轴不⊥AB 连线）
1
目
§引 论
录
§第一讲 力线平移定理
§第二讲 平面一般力系向作用面内一点简化 §第三讲 平面一般力系的平衡条件和平衡方程 §第四讲 物系的平衡 · 静定与超静定问题
§第五讲 平面简单桁架的内力计算
§第六讲 摩 擦 §第七讲 习 题 课
2
§引 论
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一 点又不相互平行的力系，叫平面任意力系。 [例]
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平面平行力系的特殊情形：同向分布平行力系
设同向平行力系的载荷集度为q(x)，在距坐标原点O点x 处 取微段dx, 微段上的力为q(x)dx。以坐标原点为简化中心，可 得到主矢和主矩。再将其简化为一个合力。即可得：
h qo
R q(x)
O
x
dx
l
x
R大小等于分布载荷图形的面积，指向与原力系相同 R的作用线通过分布载荷图形的形心。 19
M PR
X O P tg
YO P
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[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
[例7] 由不计自重的三根直杆组成的A字形支架置于光滑地
面上，如图 a) 所示，杆长AC＝BC＝L＝3 m，AD＝BE＝L/5， 支架上有作用力F1＝0.8 kN，F2＝0.4 kN，求横杆DE的拉力及 铰C和A、B处的反力。
物系上的力： 外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。 物系的平衡： ① 物系静止 ② 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3 个平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中 25 有n个物体）
[例6] 已知：OA=R， AB= l ， 当OA水平时，冲压力为P时， 求：① M=？② O点的约束反力？③ AB杆内力？ ④ 冲头给导轨的侧压力？ 解：研究B
平面内任意移动，故这时主矩与简化中心O无关。
③ R ≠0，MO =0，即简化为一个作用于简化中心的合力。这 时简化结果就是合力（这个力系的合力），
R R 。
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（ 此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ R ≠0，MO ≠0，为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 R 。
第二讲平面一般力系向作用面内一点简化第二讲平面一般力系向作用面内一点简化第一讲力线平移定理第一讲力线平移定理第三讲平面一般力系的平衡条件和平衡方程第三讲平面一般力系的平衡条件和平衡方程第四讲物系的平衡静定与超静定问题第四讲物系的平衡静定与超静定问题第五讲平面简单桁架的内力计算第五讲平面简单桁架的内力计算第七讲平面任意力系
MO 合力 R的大小等于原力系的主矢 合力 R的作用线位置 d R ①合力偶 MO ； 提
醒
平面任意力系的简化结果:
②合力 R
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§第三讲 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
平面一般力系的平衡条件和平衡方程
力系的主矢 R 和主矩 MO 都等于零：R'

若平面一般力系中有 R 0为力平衡 MO=0 为力偶平衡 则平面一般力系平衡。 所以 平面一般力系平衡的充要条件为：
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平面一般力系的特殊情形：平面平行力系 各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系，叫平面平 行力系。 设有F , F … F 各平行力系
1 2 n
向O点简化得：
主矢RO R 'F
主矩M O mO ( Fi ) Fi xi
合力作用线的位置为： M O Fi xi xR R' F 平衡的充要条件为 主矢 R =0 主矩MO =0
[例4] 已知：P=20kN, m=16kN· q=20kN/m， a=0.8m， m，
求：A、B的支反力。 解：研究AB梁
由 X 0, X A 0
m A ( F ) 0 ;
a R B a q a m P 2 a 0 2 Y 0 YA RB qa P 0
汇交 力系 力偶 系
力 R'(主矢) (作用在简化中心) 力偶 MO (主矩)
(作用在该平面上)
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主矢R ' F1 F2 F3 Fi
主矩 M O m1 m2 m3 mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fi )
大小： R' R' x 2 R' y 2 ( FX ) 2 ( FY ) 2
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所以 平面平行力系的 平衡方程为：
Y 0 m (F ) 0
O i
m A ( Fi ) 0
mB ( Fi ) 0
二矩式
条件：AB连线不能平行于 力的作用线
一矩式
平衡条件的实质是各力在y轴上的投影恒等于零，即 Y 0 恒成立 。 提醒 只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。
当：独立方程数目= 未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目>未知数数目时，是超静定问题 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题
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[例]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移 谐调条件来求解。
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物体系统的平衡问题
物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统， 叫物体系统，简称物系。 [例]
荷如图 a)所示。已知M＝20 kN· m，F＝400 kN，q＝20 kN/m，
L＝l m。求固定端A处的约束反力。
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解 (1) 取T形刚架为研究对象，其上作用有主动力W、F、 M和线性分布载荷。将线性分布载荷化为一合力，其大小等于 线性分布载荷的面积，即F1＝q×3L÷2＝30 kN，其作用线作 用于三角形分布载荷的几何中心，即距点A为L处。约束反力 有FAx，FAy和MA。其受力与坐标如图 b)所示。
左轨的距离a＝6 m。若W=300 kN，W2＝250 kN，求轨道A、B
对两轮的反力。
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解
取起重机为研究对象。画出受力图如图所示，该力系为
一平面平行力系。其平衡方程为 Σ Fy=0， Σ MB(F)=0， 解得
FA FB W2 W1 W 0
W (a b) FAb W1e W2 L 0 FA 62.5 kN，FB 987.5 kN
统的外约束反力。
由 m A ( Fi ) 0
X 0
Y 0
2P P2a N B 3a 0, N B 3 XA 0 P YB N B P 0, A Y 3
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[例2] 悬臂吊车如图 a) 所示。A、B、C处均为铰接。AB梁自 重W1＝4 kN，载荷重W＝l0 kN，BC杆自重不计，有关尺寸如
图 a) 所示。求BC杆所受的力和铰A处的约束反力。
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解 (1) 选AB梁为研究对象，画出分离体图。在AB梁上主动力
有W1，和W；约束反力有支座A处的反力FAx和FAy；由于BC为 二力杆，故B处反力为FBC，该力系为平面一般力系，受力图如 图 b)所示。 (2) 列平衡方程并求解。选取坐标轴如图 b)所示。为避免 解联立方程，在列平衡方程时尽可能做到一个方程中只包含一 个未知量，并且先列出能解出未知量的方程，于是有 Σ Fx=0，
（a）
（b）
（c）
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解 A字形支架由三根直杆组成，要求横杆DE的拉力和铰C 的反力，必须分开研究，又DE为二力杆，所以可分别研究AC
和BC两部分，但这两部分上A、B、C、D、E处都有约束反力
，且未知量的数目都多于3个。用各自的平衡方程都不能直接 求得未知量。如果选整个系统为研究对象，则可一次求出系
FAx FBC cos 45o 0
FAy FBC sin 45o W1 W 0
Σ Fy=0，
Σ MA(F)=0，
6FBC sin 45o 3W1 4W 0
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解得： FAx 8.67 kN，FAy 5.33 kN，FBC 12.3 kN
[例3]
自重W＝100 kN的T形刚架ABD，置于铅垂面内，载
力F 力偶（F，F ）
力+力偶 （例断丝锥）
① 力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力
② 力平移的条件是附加一个力偶 m，且 m 与 d 有关，m=F•d ③力线平移定理是力系简化的理论基础。
4
应用: 打乒乓球的旋球
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§第二讲 平面力系向作用面内一点简化
平面一般力系的简化
一 般 力 系
向一点简化