11[1].2_单缝夫琅禾费衍射

夫琅禾费集工艺家和理论家的才干于一身， 夫琅禾费集工艺家和理论家的才干于一身，把理论与丰 富的实践经验结合起来，对光学和光谱学作出了重要贡献。 富的实践经验结合起来，对光学和光谱学作出了重要贡献。 1814年他用自己改进的分光系统 年他用自己改进的分光系统， 1814年他用自己改进的分光系统，发现并研究了太阳光谱中 的暗线（现称为夫琅禾费谱线）， ），利用衍射原理测出了它们的 的暗线（现称为夫琅禾费谱线），利用衍射原理测出了它们的 波长。他设计和制造了消色差透镜， 波长。他设计和制造了消色差透镜，首创用牛顿环方法检查光 学表面加工精度及透镜形状， 学表面加工精度及透镜形状，对应用光学的发展起了重要的影 他所制造的大型折射望远镜等光学仪器负有盛名。 响。他所制造的大型折射望远镜等光学仪器负有盛名。他发表 了平行光单缝及多缝衍射的研究成果（ 了平行光单缝及多缝衍射的研究成果（后人称之为夫琅禾费衍 ），做了光谱分辨率的实验 第一个定量地研究了衍射光栅， 做了光谱分辨率的实验， 射），做了光谱分辨率的实验，第一个定量地研究了衍射光栅， 用其测量了光的波长，以后又给出了光栅方程。 用其测量了光的波长，以后又给出了光栅方程。
Aϕ a a B C BC=aSinϕ ϕ
P P0
用半波带法） 任意点 P （用半波带法） 抓住缝边缘两光线光程差： 抓住缝边缘两光线光程差：
P
a
λ 2 λ 2
a sin ϕ = 2
λ
2
θ
P0
=λ
λ
将缝分成两部份（两个半波带）， 将缝分成两部份（两个半波带）， 相邻半波带对应子波光程差为 λ 2 点叠加相消， 处为第一暗纹。 在 P 点叠加相消，故P 处为第一暗纹。 再考虑另一点
单 缝 衍 射 条 纹
双 缝 干 涉 条 纹
例1. 单缝 a = 0.1mm f = 100 mm λ = 500 nm p 点 x = 1.75 mm 处是明纹 ：（1） 求：（ ）p点条纹级数 k = ? 明纹
p
a
θ
x
x λ λ a = ( 2k + 1 ) a sin θ = ( 2 k + 1 ) f 2 2 ax 1 第3级明纹 级明纹 k= − = 3.5 − 0.5 = 3 fλ 2
强度分布： 强度分布：
0.017 0.047
1
I / I0
0.047
0.017
-2(λ /a)
-(λ /a)
0 λ /a
2(λ /a)
sinϕ ϕ
3. 明暗纹条件
A ∆ C
a
ϕ
f
ϕ
L
o
x
P
B
根据惠更斯-菲涅耳原理，单缝后面空间任意P的光振动 根据惠更斯-菲涅耳原理，单缝后面空间任意P 是单缝处波阵面所有子波波源发出的子波传到P 是单缝处波阵面所有子波波源发出的子波传到P点的振动的 相干叠加。 相干叠加。
4. 讨论
波长越长，缝宽越小,条纹宽度越宽。 (1) ∆θ0 = 2 1 ≈ 2 λ a 波长越长，缝宽越小,条纹宽度越宽。 θ
λ a →0 ∆θ0 →0 π (3) λ a →1 ∆θ0 →
(2)
波动光学退化到几何光学。 波动光学退化到几何光学。 观察屏上不出现暗纹。 观察屏上不出现暗纹。
(4) 缝位置变化n ϕ = 4
λ
P'
2 = 2λ
a
λ λ 2 2
ϕ
λ λ 2 2
将缝分成四个半波带， 将缝分成四个半波带， 可以判断出P’处 可以判断出 处 应 是第二级暗纹。 是第二级暗纹。
2λ
以此类推， 以此类推， K级暗纹（极小）： 级暗纹（极小）： 级暗纹 a sin ϕ = ± kλ k = 1,2 ,3 ,⋯
很小的情况下， 在φ很小的情况下，
sin φ ≈ tan φ ≈ φ
−
所以有
λ
a
<φ <
λ
a
故中央明纹的角宽度为 λ λ λ ∆φ 0 = − ( − ) = 2
a. a
a
设透镜L 的焦距为f， 设透镜 2的焦距为 ，则中央明条纹的线宽度为
∆φ 0 λ ∆x0 = 2 f ⋅ tan ≈ 2f 2 a
A ∆ a B
ϕ
f
C
ϕ
L
o
3 2 1
1 2 3
I
x P
ϕ角很小 x = ftgϕ ≈ f sin ϕ，
k λf 暗纹位置： ( k = 1,2⋯) 暗纹位置： x = ± a λf 明纹位置： 明纹位置： x = ± 2k + 1） （ ( k = 1,2⋯) 2a
(3) 条纹宽度
中央明纹角宽度和线宽度
•缝宽对衍射条纹的影响 缝宽对衍射条纹的影响
单缝宽度越小，条纹分得越开，衍射现象越显著；反之，缝越宽， 单缝宽度越小，条纹分得越开，衍射现象越显著；反之，缝越宽，衍射现 象越不明显。当时，各级衍射条纹全部集中在中央附近，以至无法分辨， 象越不明显。当时，各级衍射条纹全部集中在中央附近，以至无法分辨， 呈现单一的明纹，这就相当于光线沿直线传播的情况。 呈现单一的明纹，这就相当于光线沿直线传播的情况。
夫琅禾费自学成才一生勤奋刻苦终身未婚成才一生勤奋刻苦终身未婚18261826年年66月月77日因肺结核在慕尼黑逝日因肺结核在慕尼黑逝112112单缝的夫琅禾费衍射单缝的夫琅禾费衍射夫琅禾费集工艺家和理论家的才干于一身把理论与丰夫琅禾费集工艺家和理论家的才干于一身把理论与丰富的实践经验结合起来对光学和光谱学作出了重要贡献
C B
2
2
π
λλ 2 2
λλ λ 2
有三种情况： 有三种情况： 半波带 半波带 半波带 半波带 半波带 Ⅰ可分为偶数个半波带； 可分为偶数个半波带； Ⅱ可分为奇数个半波带； 可分为奇数个半波带； 不能分为整数个半波带。 Ⅲ不能分为整数个半波带。
在P点形成明纹还是暗纹决定于能将BC分成奇数个半波带还 点形成明纹还是暗纹决定于能将BC分成奇数个半波带还 BC 是偶数个半波带。即决定于衍射角。 是偶数个半波带。即决定于衍射角。 p
●半波带性质
A
a）各半波带面积相等，子波数相同， 各半波带面积相等，子波数相同， 各波带在P 各波带在P点所产生的光振动振幅近似 相等。 相等。 b）相邻两波带的对应点上发出的子波在 P点的相位差为 ，所产生的光振动完全 抵消。（ 。（相邻波带上对应点光程相差半 抵消。（相邻波带上对应点光程相差半 个波长） 个波长）
1. 实验装置及现象
E L1 S a
L1 、 L2 A：单缝 E：屏幕
L2
A
透镜
D
f
中央 明纹
2. 条纹特征
(1) 中心明条纹的角宽度是其它各级明纹角宽度的两倍。 中心明条纹的角宽度是其它各级明纹角宽度的两倍。 (2) 中央明纹的亮度比其它明纹亮很多，且随着条纹级次的增 中央明纹的亮度比其它明纹亮很多， 亮度变暗。 加，亮度变暗。 (3) 明暗纹的边界不清晰。 明暗纹的边界不清晰。
•波长对条纹宽度的影响： 波长对条纹宽度的影响：
如果用白光照射单缝，各种波长的光到达 点都加强 点都加强， 如果用白光照射单缝，各种波长的光到达O点都加强，所以中 央明条纹仍是白色。在中央两侧，对于同一级明条纹， 央明条纹仍是白色。在中央两侧，对于同一级明条纹，波长越 衍射角越大，这样就形成了一系列由紫到红的彩色条纹， 长，衍射角越大，这样就形成了一系列由紫到红的彩色条纹， 称为衍射光谱。 称为衍射光谱。
0
a sin ϕ =
± (2k +1 )
λ
中央明纹
± 2k
λ
2
2 = kλ
k =1.2.3... k =1.2.3...
明纹 暗纹
非以上值： 非以上值：
介于明纹与暗纹之间
对应于k=1，2，3，┄分别叫做第一级明（暗）纹、 对应于 ， 分别叫做第一级明（ 第二级明（ ⋯⋯。 第二级明（暗）纹⋯⋯。式中正负号表示各级明条纹对 称分布于中央明纹两侧。 称分布于中央明纹两侧。
(1) 中央明纹： 中央明纹：
Aϕ A a a B C B BC=aSinϕ ϕ P0
P
当衍射角ϕ=0时，衍射线经透镜 2会聚于焦点 。由于透镜 时 衍射线经透镜L 会聚于焦点O。 不引起附加的光程差，所以衍射光由同相位面AB到O点仍保 不引起附加的光程差，所以衍射光由同相位面 到 点仍保 持同相位，它们相互干涉加强，形成平行于缝的明条纹， 持同相位，它们相互干涉加强，形成平行于缝的明条纹，称 为中心明纹。 为中心明纹。
第k级明纹角宽度和线宽度 级明纹角宽度和线宽度 级明纹介于第k级暗纹和第 +1级暗纹之间 第k级明纹介于第 级暗纹和第 +1级暗纹之间，其角位置满足 级明纹介于第 级暗纹和第k+1级暗纹之间，
kλ < a sin φ < ( k + 1)λ
很小时， 当φ很小时，由上面方法可求得第k级明纹的角宽度为
（缝被分成偶数个半波带） 缝被分成偶数个半波带）
K级明纹（极大）： 级明纹（极大）： 级明纹
a sin ϕ = ± (2k + 1)
λ
（缝被分成奇数个半波带） 缝被分成奇数个半波带）
2
k = 1,2 ,3 ,⋯
ϕ =0
中央明纹
分割成偶数个半波带， 点为暗纹。 分割成偶数个半波带， P 点为暗纹。 分割成奇数个半波带， 点为明纹。 分割成奇数个半波带， P 点为明纹。
(4) 光强分布
中央明纹集中了绝大部分光能， 中央明纹集中了绝大部分光能，而两侧第一级和第二级 明纹的光强仅占中央明纹的1.7%和0.47%。这是因为 明纹的光强仅占中央明纹的 % % k越大，缝被分成的半波带数越多，而未被抵消的半波 越大， 越大 缝被分成的半波带数越多， 带面积越小的缘故。 带面积越小的缘故。
(2) 明、暗纹条件 ●半波带
为其它任意值时，平行衍射光经透镜L 当衍射角ϕ为其它任意值时，平行衍射光经透镜 2会聚于屏 幕上P点 显然由缝AB上各点发出的衍射线到 点光程不 上各点发出的衍射线到P点光程不 幕上 点，显然由缝 上各点发出的衍射线到 如图过A作平面 ⊥BC，则从 作平面AC⊥ ，则从AC面上各点到 点是等 面上各点到P点是等 等。如图过 作平面 面上各点到 光程的，这样， 面上各点发出的衍射光到达P点的最 光程的，这样，从AB面上各点发出的衍射光到达 点的最 面上各点发出的衍射光到达 ϕ 大光程差为 BC=aSinϕ 。由于各子波间的光程差连续变 化，菲涅耳提出了一个巧妙的方法即菲涅耳半波带法解决 了这个问题。 了这个问题。 作一组间距为λ 的平面与 作一组间距为λ/2的平面与 AC面平行，它们将单缝处波面 面平行， 面平行 AB沿缝宽方向分成了一系列等 沿缝宽方向分成了一系列等 宽度的狭长波带，称为菲涅耳半 宽度的狭长波带，称为菲涅耳半 波带，即图中的AA1、A1A2 波带，即图中的 、 等。
5. 衍射和干涉的区别
从本质上来说，干涉和衍射都是光波相干叠加的表现。 从本质上来说，干涉和衍射都是光波相干叠加的表现。 一般来说，干涉总是指那些有限多的光束的相干叠加； 一般来说，干涉总是指那些有限多的光束的相干叠加；而衍 射总是指波阵面上连续的无穷多子波发出的光波的相干叠加。 射总是指波阵面上连续的无穷多子波发出的光波的相干叠加。 因此，两者常常出现在同一现象中。 因此，两者常常出现在同一现象中。 例如： 例如：双缝干涉的图样实际上是两个缝发出的光束的干 涉和每个缝自身发出的光衍射的综合效果。 涉和每个缝自身发出的光衍射的综合效果。
11.2 单缝的夫琅禾费衍射
夫琅禾费 (Joseph von Fraunhofer 1787— 1787—1826) 夫琅禾费是德国物理学家。 夫琅禾费是德国物理学家。 1787年 日生于斯特劳宾， 1787年3月6日生于斯特劳宾，父亲 是玻璃工匠，夫琅禾费幼年当学徒， 是玻璃工匠，夫琅禾费幼年当学徒， 后来自学了数学和光学。1806年开 后来自学了数学和光学。1806年开 始在光学作坊当光学机工，1818年 始在光学作坊当光学机工，1818年 任经理，1823年担任慕尼黑科学院 任经理，1823年担任慕尼黑科学院 物理陈列馆馆长和慕尼黑大学教授， 物理陈列馆馆长和慕尼黑大学教授， 慕尼黑科学院院士。 慕尼黑科学院院士。夫琅禾费自学 成才，一生勤奋刻苦，终身未婚， 成才，一生勤奋刻苦，终身未婚， 1826年 1826年6月7日因肺结核在慕尼黑逝 世。
(k + 1)λ kλ λ ∆φ k = − = a. a a
其线宽度为
∆x k = f ⋅ ∆φ k ≈ f
λ
a
很小的情况下，各级明条纹的角宽度（或线宽度） 可见， 可见，在φ很小的情况下，各级明条纹的角宽度（或线宽度） 相等，都等于中央明纹角宽度（或线宽度）的一半。 相等，都等于中央明纹角宽度（或线宽度）的一半。
A ∆ C
a
ϕ
f
ϕ
L
o x
3 2 1
B
P
1 2 3
x0
I
条纹对透镜L2光心的张角称为条纹的角宽度。中央明纹介 条纹对透镜L 光心的张角称为条纹的角宽度。 于两个第一级暗纹之间，如图11 所示A 11之间， 于两个第一级暗纹之间，如图11-6所示A与A’之间，其角位置 之间 满足
− λ < a sin φ < λ