高考数学总复习 基础知识名师讲义 第八章 第四节空间点、直线、平面之间的位置关系 文

四节空间点、直线、平面之间的位置关系
1．理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的四个公理和空间等角定理．
2．理解异面直线所成角的概念；会求异面直线所成的角．
知识梳理
一、平面的基本性质
1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
2．公理2：经过________________的三点，有且只有一个平面．
3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有一条________的公共直线．
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
二、直线与直线的位置关系
1．位置关系的分类．
(1)共面直线：________或________；
(2)异面直线：不在________一个平面内的两条直线．
2．异面直线所成的角．
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的__________________叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．
(2)范围：________.
3．直线与平面的位置关系有________、________、________三种情况．
4．平面与平面的位置关系有________、________两种情况．
5．平行公理：平行于同________的两条直线互相平行．
6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________．
一、1.两点 2.不在同一条直线上 3.一个经过该点
二、1.(1)相交平行(2)任何 2.(1)锐角或直角(2)(0°，90°] 3.平行相交在平面内 4.平行相交 5.一条直线 6.相等或互补
基础自测
1．已知A，B，C为空间三点，经过这三点()
A．能确定一个平面
B．能确定无数个平面
C．能确定一个或无数个平面
D．能确定一个平面或不能确定平面
解析：由于题设中所给的三点A，B，C并没有指明这三点之间的位置关系，所以在应用公理3时要注意条件“不共线的三点”．
当A，B，C三点共线时，经过这三点就不能确定平面；当A，B，C三点不共线时，经过这三点就可以确定一个平面．故选D.
答案：D
2．对于直线m、n和平面α，下列命题中的真命题是()
A．如果m⊂α、n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥α
B．如果m⊂α、n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交
C．如果m⊂a、n∥α，m，n是共面直线，那么n∥m
D．如果m⊂α、n∥α，m，n是共面直线，那么n与m相交
解析：对于选项A、B，由条件可得n∥α或n与α相交，所以选项A、B错误；对于选项C、D，由n∥α，m⊂α，可得，没有公共点，又m，n是共面直线，所以n∥m；选项D错误．故选C.
答案：C
3．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α的关系是________．
解析：当这两点在α的同侧时，l与α平行；当这两点在α的异侧时，l与α相交．答案：平行或相交
4．(2013·惠州二模)给出命题：
①异面直线是指空间上既不平行也不相交的直线；②两异面直线a，b，如果a平行于平面α，那么b不平行平面α；③两异面直线a，b，如果a⊥平面α，那么b不垂直于平面α；④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线．
上述命题中，真命题的序号是______.
解析：②中b也可能与平面α平行；④中两异面直线在同一平面内的射影也可能是两条平行直线．所以①③正确．
答案：①③
1．(2013·江西卷)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝()
A．8 B．9 C．10 D．11
解析：观察知，直线CE与正方体的前后左右四个面相交，所以m＝4；直线EF与正方体的上下前后四个面相交，所以n＝4，所以m＋n＝8.故选A.
答案：A
2．如图，在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°.若P A ＝AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值．
解析：连接AC ，BD ，设AC ∩BD ＝O . ∵ABCD 是菱形且∠BAD ＝60°，P A ＝AB ＝2， ∴BO ＝DO ＝1，AO ＝CO ＝ 3. ∵P A ⊥平面ABCD ，
∴P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，PB ＝PD ＝
22＋22＝2 2.
取PD 的中点E ，连接OE ，AE ，∵O ，E 分别是BD ，PD 的中点，∴EO ∥PB . ∴∠EOA 为异面直线PB 与AC 所成的角．在△AOE 中，AO ＝ 3，AE ＝1
2
PD ＝2，
EO ＝1
2
PB ＝ 2.
∴cos ∠EOA ＝AO 2＋OE 2－AE 22AO ·OE ＝3＋2－22×3×2＝6
4.
1．(2013·增城调研)给出三个命题：
(1)若两直线和第三条直线所成的角相等，则这两直线互相平行． (2)若两直线和第三条直线垂直，则这两直线互相平行． (3)若两直线和第三条直线平行，则这两直线互相平行． 其中正确命题的个数是( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：(1)(2)都不成立，只有(3)是正确的． 答案：B
2．如图，已知点P 在圆柱OO 1的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径，圆柱OO 1的表面积为24π，OA ＝2，∠AOP ＝120°.
(1)求三棱锥A 1APB 的体积；
(2)求异面直线A 1B 与OP 所成角的余弦值．
解析：(1)由题意知S 表＝2π·22＋2π·2·AA 1＝24π，解得AA 1＝4. 在△AOP 中，OA ＝OP ＝2，∠AOP ＝120°，所以AP ＝2 3. 在△BOP 中，OB ＝OP ＝2，∠BOP ＝60°，所以BP ＝2. VA 1APB ＝13S △APB ·AA 1＝13×12×23×2×4＝83
3.
(2)取AA 1中点Q ，连接OQ ，PQ ，则OQ ∥A 1B ，
得∠POQ 或它的补角为异面直线A 1B 与OP 所成的角． 又AP ＝23，AQ ＝AO ＝2，得OQ ＝22，PQ ＝4， 由余弦定理得
cos ∠POQ ＝PO 2＋OQ 2－PQ 22PO ·OQ ＝－2
4，
得异面直线A 1B 与OP 所成的角的余弦值为2
4
.。