第九章矩阵位移法习题集

第九章 矩阵位移法 【练习题】
9-1 是非题：
1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。

2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。

3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。

4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。

5、用 矩 阵 位 移 法 计 算 连 续 梁 时 无 需 对 单 元 刚 度 矩 阵 作 坐 标 变 换。

6、结 构 刚 度 矩 阵 是 对 称 矩 阵 ，即 有K i j = K j i ，这 可 由 位 移 互 等 定 理 得 到 证 明 。

7、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ∆=，它是整个结构所应满足的变形条件。

8、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。

9、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。

10、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。

11、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。

9-2 选择题：
1、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是：
(0,1,2)
(0,0,0)
(0,0,0)
(0,1,3)
(0,0,0)(1,2,0)
(0,0,0)(0,0,3)
(1,0,2)
(0,0,0)
(0,0,0)(1,0,3)
(0,0,0)
(0,1,2)
(0,0,0)(0,3,4)
A.
B.
C.
D.
2134123412341234
2、平面杆件结构一般情况下的单元刚度矩阵[]k 66⨯，就其性质而言，是： A ．非对称、奇异矩阵； B ．对称、奇异矩阵； C ．对称、非奇异矩阵； D ．非对称、非奇异矩阵。

3、单元i j 在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比：
A ．完全相同；
B ．第2、3、5、6行(列)等值异号；
C ．第2、5行(列)等值异号；
D ．第3、6行(列)等值异号。

j
x
i
4、矩阵位移法中，结构的原始刚度方程是表示下列两组量值之间的相互关系： A ．杆端力与结点位移； B ．杆端力与结点力； C ．结点力与结点位移； D ．结点位移与杆端力 。

5、单 元 刚 度 矩 阵 中 元 素 k ij 的 物 理 意 义 是 ：
A ．当 且 仅 当 δi =1 时 引 起 的 与 δj 相 应 的 杆 端 力 ；
B ．当 且 仅 当 δj =1时 引 起 的 与 δi 相 应 的 杆 端 力 ；
C ．当 δj =1时 引 起 的 δi 相 应 的 杆 端 力 ；
D ．当 δi =1时 引 起 的 与 δj 相 应 的 杆 端 力。

9-3 填充题：
1、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。

2、图 示 刚 架 用 两 种 方 式 进 行 结 点 编 号 ，结 构 刚 度 矩 阵 最 大 带 宽 较 小 的 是 图 。

35
641
2
71
234567
(a)
(b)
3、图 示 梁 结 构 刚 度 矩 阵 的 主 元 素 K K 1122== ,
l
l
4、图 示 桁 架 结 构 刚 度 矩 阵 有 个 元 素 ，其 数 值 等 于 。

3m
3m A
B
C D
EA
EA
EA
5、用 矩 阵 位 移 法 解 图 示 连 续 梁 时 ，结 构 的 综 合 结 点 荷 载 是
l /2
l
l
l /2
6、已知图示桁架杆件①的单元刚度矩阵为式(a)，又已知各结点位移为式(b)，则杆件①的轴力（注明拉力或压力）应为N
①
= 。

l
[]k EA l u v u v u v u v Pl EA ①
=
--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦
⎥⎥⎥⎥⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪1
(a) b)010*********
005100230011223344 (
9-4 用先处理法写出图示梁的整体刚度矩阵[]K 。

1
2
3
l
l
l
i 0
123i i
9-5 用先处理法写出图示梁的结构刚度矩阵[]K 。

1
2
3
l
l
4
l
EI EI EI 239-6 计算图示结构的综合结点荷载列阵{}P 。

l /2
l /2l /2
l /2
l
l
9-7 计算图示连续梁对应于自由结点位移的荷载列阵{}P 。

l /2
l l /2
9-8 已 知 图 示 连 续 梁 结 点
位 移 列 阵 {}θ如 下 所 示 ，试 用 矩 阵 位 移 法 求 出 杆 件 23 的 杆 端 弯 矩 并 画 出 连 续 梁的 弯 矩 图 。

设 q = 20kN /m ，23 杆 的 i =⨯⋅10106.kN cm 。

{}θ=--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎫
⎬⎪
⎪⎭
⎪⎪⨯-365714572286104
....rad
6m
3m
3m
9-9 已知图示梁结点转角列阵为{}[]
∆=056516822
-/ /T
ql i ql i ，EI =常数。

计算B 支座
的反力。

1m
1m
9-10 试 用 矩 阵 位 移 法 解 图 示 连 续 梁 ，绘 弯 矩 图 。

EI = 已 知 常 数 。

x
θ
9-11 试 求 结 构 原 始 刚 度 矩 阵 中 的 子 块 []K 22
，已 知 单 元 ①的 整 体 坐 标 的 单 元 刚 度 矩
阵 为 ：
[]K ①
=-⨯-⨯---⨯-⨯⎡⎣⎢⎢
⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎥
72
360072
36003600360072360036003600110
3600210442101107244
l
l
9-12 用先处理法写出图示结构的结构刚度矩阵[]K 。

E =常数。

l
l 9-13 用先处理法计算图示连续梁的结点荷载列阵{}P 。

m
4m
4m
4
9-14 计算图示连续梁对应于自由结点位移的荷载列阵{}P 。

m
3m
3m 4m 4
9-15 已 知 图 示 两 端 固 定 梁 跨 中 结 点 C 的 竖 向 位 移 为 ∆CV l EI =-5123
() ，转 角 ϕC =0 ，
l =5m ，EI =常 数 。

试 求 单 元 ① 、② 的 杆 端 力 列 阵 。

l
l
9-16 用先处理法计算图示结构刚度矩阵的元素133322,,K K K 。

123l
l
4l
5EI
2EI
EA
(0,0,0)
(0,0,1)
(0,2,3)
(0,0,0)
(0,2,4)(0,0,0)
EI
9-17 用先处理法计算图示刚架结构刚度矩阵的元素153422,,K K K 。

EI ，EA 均为常数。

l
9-18 写出图示结构以子矩阵形式表达的结构原始刚度矩阵的子矩阵[][]K K 2224,。

[][]k k 1112 [][]
k k 2122 []
k =
i
i i
i
i
单刚分块形式为 ：
9-19 已知图示结构在整体坐标系中的单元刚度矩阵。

用先处理法集成结构刚度矩阵[]K 。

（用子块形式写出）。

[][]k k 1112 []
[]
k k 2122 []
k =
i
i i
i
i
单刚分块形式为 ：
9-20 用先处理法写出图示刚架的结构刚度矩阵[]K ，只考虑弯曲变形。

EI EI EI
EI=o o
l l
l
9-21 用先处理法写出图示结构的结构刚度矩阵[]K 。

各杆长度为l ，EA 、EI 为常数。

A
B
C
D
9-22 用先处理法写出以子块表示的图示结构的结构刚度矩阵[]K 。

m 12m
9-23 用先处理法写出图示刚架结构刚度矩阵[]K 。

已知：
[][][]
k k k ①
②
③
===⨯--------⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥10300
00300000123001230030100030503000
0300000123001230030500301004
x
9-24 计算图示结构结点3的等效结点荷载列阵{}P 3E 。

m
224m
4
9-25 计算图示结构结点2的等效结点荷载列阵{}P 2E 。

l /2
l /2
9-26 计算图示结构的综合结点荷载列阵元素431,,P P P 。

l
l
l
9-27 用先处理法计算图示结构的综合结点荷载列阵{}P 。

l
/2
/2
9-28 计算图示结构结点荷载列阵中的元素654,,P P P 。

l
/2
l /2
(0,7,8)
3
9-29 计算图示结构综合结点荷载列阵中的元素431,,P P P 。

P l l l
9-30 计算图示结构综合结点荷载列阵{}P 中的元素9873,,,P P P P 。

l
l
l
2
9-31 计算图示刚架对应于自由结点位移的综合结点荷载列阵{}P 。

m
3
m
3
m
9-32 计算图示刚架对应自由结点位移的综合结点荷载列阵{}P 。

各杆长度为 4m 。

9-33 计算图示结构结点2的综合结点荷载列阵{}P 2。

l
/2l l /2l
l
9-34 计算图示刚架考虑弯曲、轴向变形时的综合结点荷载列阵{}P 。

9-35 若考虑弯曲、轴向变形，用先处理法写出图示结构综合结点荷载列阵{}P 。

l /2
l
/2
ql
9-36 考虑弯曲、轴向变形，计算图示结构综合结点荷载列阵{}P 。

m 4m
2m
2m
3
9-37 考虑弯曲、轴向变形时，用先处理法计算图示结构综合结点荷载列阵{}P 。

8m
m
5m
6
9-38 用先处理法计算图示结构的综合结点荷载列阵{}P 。

/2
/2
l
l
9-39 试 用 矩 阵 位 移 法 解 图 示 结构，绘 弯 矩 图 。

m 1m
m
1kN m
.
9-40 计算下图结构（a ）中杆34的杆端力列阵中的第3个元素和第6个元素。

不计杆件的
轴向变形。

已知下图结构（a ）结点位移列阵为：
{}[]T
0.66667
0.2 0.7556- 0 0.3667 0 0.3333 0.2 0.2- 0.1333 0
0.2- 0 0 0=∆。

1m
1m
l
l
（a ） （b ）
9-41 计算上图结构（b ）单元③的杆端力列阵{}
③
F
，已知各杆
,cm 300 ,kN/cm 101.2424=⨯=I E ,cm 202=A cm l 100=，结点2位移列阵
{}[][]T T 2rad cm cm 5313.04596.04730.01012222--⨯⨯==-θ∆v u 。

9-42考虑杆件的轴向变形，计算图示结构中单元①的杆端力{}
F ①。

已知：
I =(/),124m
4E =⨯3107kN /m 2
，
m 2
A =05
.。

结点1的位移列阵
{}[]δ161
1037002
2710151485=⨯⨯--
-...m m rad T。

5m
9-43 计算图示刚架单元①在局部坐标下的杆端力{}
F ①。

已知各杆E 、A 、
I 、l 均为常数，
不考虑杆件的轴向变形，
{}[]
∆=--ql EI
l l 2100002727 0 5 19 0 0T。

l
q
9-44 已求得图示结构结点2、3的结点位移为式(a)、(b)并已知单元②的整体坐标的单元刚度矩阵。

计算单元②2端的弯矩。

（长度单位m ，力单位kN ，角度单位弧度）
(b)10 , (a)1040-160-0.2=5
-5
- ⨯⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⨯⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧108.1593.0333222φφv u v u
[]
510
205.1105.1050005005.105
.15.105.1105.1205.1050005005.105.15.105
.1⨯⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=②
k
9-45 用先处理法写出图示桁架的结构刚度矩阵[]K 。

已知各杆EA =常数。

l
9-46 用先处理法计算图示桁架的综合结点荷载列阵{}P 。

3m
49-47 计算图示结构的自由结点荷载列阵{}P 。

10kN
9-48 已知桁架的结点位移列阵如下所示。

设各杆EA 相同，且EA l /=103
kN /m 。

试用矩阵位移法求13杆(单元①)在局部坐标系下的杆端力列阵。

{}∆=-⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⨯ 10m
-3
0026941442213655800....
l
9-49 试用矩阵位移法解图示桁架，绘轴力图 ，设各杆EA 为常数。

4m
20kN
9-50计算单元①的轴力。

已知图示结构结点1
、3的结点位移为：
[][]u v u v Pl EA 1133 5 1 2 3T
T =-⋅/ 。

1
2
3
4
l
①②
⑤④
③
9-51已知各杆的E A =⨯=-21
101042.kN /m , m 22,{}[] T
∆21009524025689⨯=-..。

计算图示桁架单元①的杆端力列阵。

4m
2kN
9-52 计算图示结构原始刚度矩阵的元素4544,K K 。

l
9-53 用先处理法写出图示结构的结构刚度矩阵[]K 。

各杆长度为 l 。

A
B
C
D EA
EI
EI
2
9-54 计算图示结构整体刚度矩阵的元素665544
,,K K K 。

E 为常数。

l
l
1
3
4
2
A , I A
A /222A I , 2A 9-55 计算图示结构中杆12的杆端力列阵中的第6个元素。

已知杆12的杆端位移列阵为
{}[]δ120=---- 0 0.3257 0.0305 0.1616 0.1667T 。

1m
1m
=1kN
EI=1kN m
.2
9-56 图 a 、b 所 示 两 结 构 ，各 杆 EI 、l 相 同 ，不 计 轴 向 变 形 ，已 求 得
图 b 所 示 结 构 的 结 点 位 移 列 阵 为{}T
343 96192192ql ql ql EI REI EI ⎡⎤
∆=--⎢⎥⎣⎦。

试 求 图 a 所 示 结 构 中 单 元 ① 的杆 端 力 列 阵。

(a)
ql
2
(b)
y
题9-56图
9-57 图 a 所 示 结 构 (整 体 坐 标 见 图 b )，图 中 圆 括 号 内 数 码 为 结 点 定 位 向 量 (力和 位 移 均 按 水 平 、竖 直 、转 动
方 向 顺 序 排 列 )。

求 结 构 刚 度 矩 阵 []
K 。

(不 考 虑 轴 向 变 形 )
6m
y
题9-57图
9-58 求 图 示 结 构 的 自 由 结 点 荷 载 列 阵 {}P 。

l
y
题9-58图
9-59 图 a 所 示 结 构 ，整 体 坐 标 见 图 b ，图中 圆 括 号 内 数 码 为 结 点 定 位 向 量 (力 和 位 移 均 按 水 平 、竖 直 、转 动 方向 顺 序 排 列 )。

求 等 效 结 点 荷 载 列 阵 {}P E 。

( 不 考 虑 轴 向 变 形
)
3m 36(b)
题9-59图
9-60 已 知 图 示 连 续 梁 结 点 位 移 列 阵 {}θ如 下 所 示 ，试 用 矩 阵 位 移 法 求 出 杆 件 23 的 杆 端 弯 矩 并 画 出 连 续 梁 的 弯 矩 图 。

设 q = 20kN /m
，23 杆 的 i =⨯⋅10106.kN cm 。

{}θ=--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎫⎬⎪
⎪⎭⎪
⎪⨯-365714572286104....rad
6m 3m 3m x θ
题9-60图
9-61 图 示 桁 架EA =1kN ，已 知 结 点 位 移 列 阵 为：
{}[]T
0 0 2.5677 0.0415 1.0415
1.3673 1.6092 1.7265 1.6408 0 1.2084 0.4007∆=-- 。

试 求 杆 14 的 轴 力 。

1m
1m
y
题9-61图
9-62 试 用 矩 阵 位 移 法 解 图 示 连 续 梁，绘 弯 矩 图 。

EI =已 知 常 数 。

D
k N 6 m
4 m
2 m
【练习题参考答案】
9-4 []K i i i i i i i i i =⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦
⎥
⎥⎥4202224122223333(+) 4(+) 0
9-5 []K i i i i i i i =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤
⎦⎥⎥
⎥⎥
⎥840012216612 0 对称，i EI l =/ 9-6 {}P ql ql ql ql =--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎭
⎪⎪22
22242524248//// 9-7 {}[]
T
ql ql pl pl M P 12/)12/8/()8/(22-+-+=
9-8
42.88
51.40
90
(kN m).M
9-9 R ql B
=↑067857.() 9-10 ⎪
⎭⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣
⎡3320392422821θθi i i i
⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧3
9821121i θθ ()
()
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬
⎫⎩⎨⎧-=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧01249826221121M M M M 9-11 []K 2221636003600=⨯⎡⎣⎢
⎤
⎦
⎥ 6104 9-12 []K i l i l i l i i i i EI l =-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎥=
366622/// 12 4对称，式中： 9-13
(0,0)
(1,2)(0,3)
(0,0)
① ② ③
{}P =--⋅-⋅⎧⎨⎪⎩⎪⎫
⎬⎪
⎭
⎪ kN 5kN m 16kN m 2
9-14 {}[]T
P 0 34 7-=
9-15 {}
{}
{}
{}
δ
δ①
②
①
②
=-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎫
⎬⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪=-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎫
⎬⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪=-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪=---⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪ , , , 005120512000525252525252525233l EI l EI F F 9-16 i K l EI i i K l EA k k l i K 4,/,12,/,/361333222====+=
9-17 K EA l EI l K EI l K 223342
151260=+==//,/,
9-18 [][][][][][]K K K K K K 222222222421=++=①
②
③
③
,
9-19 [][][][][][][][]K K K K K K K K =+++⎡⎣
⎢⎢⎢⎤⎦
⎥⎥⎥222221
12112222①③③
③③②④
9-20 []⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=336l EI K
9-21
(0,0,0)
统一编码如图:
①
② ③ (1,0,4)63(0,0,0)1(1,0,2)4(1,0,3)5
(0,0,0)2
9-22k k k k k k 22111221
2222①②②②
②③++⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥ 9-23
9-24 {}⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧-=2kN.m 12kN 2kN 3E
P 9-25 {}P ql ql ql 2E 24=--⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪//222 9-26 P ql P ql P ql 13242
24===-,/,
9-27 {}P ql ql ql =-⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪
⎭
⎪ ///2225242
9-28 P ql P ql P ql 4562
2212==-=/,/,/
9-29 P p l P P ql P M P l ql 1133412
82812=-=--=-+,,
9-30 P ql P ql P ql P 32
7891112220==-=-=/,/,/,
[]
4 0 4 0 0 4 6- 0 0 1222
3⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=l EI l EI l EI l EI l EI l EA K []4
6120301003240300300K ⎡⎤⎢⎥=⨯⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
9-31 {}[]P =---6 22 14 5 12 18T
9-32 {}[]P =---4 10 4 0 6 4T
9-33 {}P P P Pl 2 =--⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪
⎭
⎪///23234
9-34
(0,0,0)
(1,4,3)
(0,0,0)(1,2,3)
1234 {}P =---⋅⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪⎫
⎬
⎪⎪⎭⎪⎪38170kN kN kN m
9-35
(1,0,2)
(3,4,5)(0,6,0,)(0,0,0) {}P ql ql ql ql ql =--⎧⎨
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎪⎪ 0111223822
2//// 9-36 {}[]P T
40 -32 -14=
9-37 {}P =--⋅⎧⎨⎪⎩⎪⎫
⎬⎪
⎭
⎪ kN 10kN 10kN m 10
9-38 {}T
Pl ql ql P P ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+--=812,2,2,0,02
9-39 {}[]∆=0 0 0 -0.1569 -0.2338 0.4232 0 0 0T
，2336.02
=②
F
9-40F F 3603330333=⋅=-⋅.,.kN m kN m
9-41 {}
⎪⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧----=kN.m
kN kN kN.m kN kN 1321726.193.19561.651726.193.19③
F
9-42
9-43 {}
F
ql ql ql ql ①
分=⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪ 007902340020800575722....() 9-44 M 28925②
=-.kN
9-45
12
3
①
②
③ (0,0)
(0,0)(0,1)
(0,1)
(2,3)(2,3)
[]K EA l =
⨯+-+---⎡⎣⎢
⎢⎢⎤
⎦⎥⎥⎥
242211112211111
9-46 {}P =⎧⎨
⎩⎫
⎬⎭
8kN 6kN 9-47 {}[]kN P T
40,30,20,10--=
9-48 {}
F
①
=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎭
⎪⎪1116011160..kN 9-49 {}∆=(/())1EA ×[]T 1167.111
- 137.680-00
1139.555- 0
0322.342
{}
[]F ①
=-85581.kN 85.581kN T
9-50 N
P ①
=3(压 力 )
9-51 {}
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=0505 kN kN ①
F
9-52
l EA
l
EI K +
=344
12
045=K
2134(1,2,3)
(10,11,12)
(7,8,9)(4,5,6)
(4,5,0)
①②③
(7,8,0)
9-53
(0,0,0)
(0,0,0)
(1,2,3)(0,0,0)(1,2,0)单元结点位移编码如图：
③
①②
13524
9-54 K EA l K EI l EA l K EI l 44553
66336412==+=/,//,/
9-55 4319.066-==F S 9-56
{}{}T
34312 81616a ql ql ql EI EI EI ⎡⎤
∆=-∆=-⎢⎥⎣⎦
；{}
T
22313 4442a
ql F ql ql ql ⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦
①
9-57
[]K i =--⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥
⎥⎥ 1 0 1 8 2 0 2 413/
9-58 {}T
2
0 /2 -+/12P ql m ql ⎡⎤=⎣⎦
9-59
{}[] 2 3
42
2142
E T
1P =--
9-60
M M 233242885140⎧⎨⎩
⎫⎬⎭=-⎧⎨⎩⎫
⎬⎭.. ； 42.8851.40
90
(kN m).M
9-61 N 1400587=-.kN
9-62
1122718048132;406412EI EI EI EI EI θθθθ⎡⎤⎢⎥-⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫==⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬
-⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
62
16 40
34
45
kN m
.
M
()
()
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧-=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧--=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧40163462221121M M M M )
()
⎭⎬
⎫⎩⎨⎧-=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫
⎩⎨⎧--=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧40163462221121M M M M
【自测题】 一 、是 非 题
1、用 矩 阵 位 移 法 计 算 连 续 梁 时 无 需 对 单 元 刚 度 矩 阵 作 坐 标 变 换。

(
)
2、结 构 刚 度 矩 阵 是 对 称 矩 阵 ，即 有
K ij = K ji ，这 可 由 位 移 互 等 定 理 得 到 证 明 。

(
)
3、图 示 梁 结 构 刚 度 矩 阵 的 元 素 K EI l 113
24=/ 。

(
)
l
l
附：
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡----
--
--
l EI l
EI l
EI l
EI l
EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l
EI l EI l EI l EI l EI l EI
l EI l EA l EA 460
260612061200000260460612061200
0002223
2
32223
2
3
4、在 任 意 荷 载 作 用 下 ，刚 架 中 任 一 单 元 由 于 杆 端 位 移 所 引 起 的 杆 端 力 计 算 公 式 为 ：{}
[][]{}
F
T K e
e
e
=δ
()
二、选 择 题 （ 将 选 中 答 案 的 字 母 填 入 括 弧 内 ）
1、已 知 图 示 刚 架 各杆 EI = 常 数，当 只 考 虑 弯 曲 变 形 ，且 各 杆 单 元 类 型 相 同 时 ，采 用 先 处 理 法 进 行 结 点 位 移 编 号 ，其 正 确 编 号 是 ：
(0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0) (1,2,0) (0,0,0) (0,0,3)
(1,0,2)
(0,0,0) (0,0,0) (1,0,3) (0,0,0)
(0,1,2)
(0,0,0) (0,3,4)
A.
B.
C.
D.
2
1
3
4 1
2
3 4 1
2 3
4 1 2 3 4
( )
2、平 面 杆 件 结 构 一 般 情 况 下 的 单 元 刚 度 矩 阵 []k 66⨯，就 其 性 质 而 言 ，是 ：
(
)
A ．非 对 称 、奇 异 矩 阵 ；
B ．对 称 、奇 异 矩 阵 ；
C ．对 称 、非 奇 异 矩 阵 ；
D ．非 对 称 、非 奇 异 矩 阵 。

3、单 元 i j 在 图 示 两 种 坐 标 系 中 的 刚 度 矩 阵 相 比 ：
A 、完 全 相 同 ；
B 、第 2、3、5、6 行 (列 ) 等 值 异 号 ；
C 、第 2、5 行 (列 )等 值 异 号 ；
D 、第 3、6 行 (列 ) 等 值 异 号 。

()
y
x
4、矩 阵 位 移 法 中 ，结 构 的 原 始 刚 度 方 程 是 表 示 下 列 两 组 量 值 之 间 的 相 互 关 系 ：（ ）
A ．杆 端 力 与 结 点 位 移 ；
B ．杆 端 力 与 结 点 力 ；
C ．结 点 力 与 结 点 位 移 ；
D ．结 点 位 移 与 杆 端 力 。

5、单 元 刚 度 矩 阵 中 元 素 k ij 的 物 理 意 义 是 ：
A ．当 且 仅 当 δi
=1 时 引 起 的 与 δj 相 应 的 杆 端 力 ；
B ．当 且 仅 当 δj =1时 引 起 的 与 δi 相 应 的 杆 端 力 ；
C ．当 δj =1时 引 起 的 δi 相 应 的 杆 端 力 ；
D ．当
δi =1时 引 起 的 与 δj 相 应 的 杆 端 力。

(
)
6、用 矩 阵 位 移 法 解 图 示 连 续 梁 时 ，结 点 3 的 综 合 结 点 荷 载 是 ：
A ．[]-ql ql
12T
132
； B ．[
]
ql ql 132 12T
-；
C ．[]
--ql ql 112
12T
； D ．[]
ql ql
2112
12T。

()
l /2
l
l
l /2
7、用 矩 阵 位 移 法 解 图 示 结 构 时 ，已 求 得 1 端 由 杆 端 位 移 引 起 的 杆 端 力 为 {}[]T F 461--=，则 结 点 1 处
的 竖 向 反 力
Y 1 等 于 ：
A ．6-；
B ．-10；
C ．10 ；
D ．14 。

(
)
M 20kN/m
三、填 充 题 （ 将 答 案 写 在 空 格 内）
1、图 示 桁 架 结 构 刚 度 矩 阵 有 个 元 素 ，其 数 值 等 于 。

3m
3m A
B
C D
EA
EA
EA
2、图 示 刚 架 用 两 种 方 式 进 行 结 点 编 号 ，结 构 刚 度 矩 阵 最 大 带 宽 较 小 的 是 图 。

35
641
2
7
1
23456
7
(a)
(b)
3、图 示 梁 结 构 刚 度 矩 阵 的 主 元 素 K K 1122== , 。

l
l
四、图 a 、b 所 示 两 结 构 ，各 杆 EI 、l 相 同 ，不 计 轴 向 变 形 ，已 求 得 图 b 所 示 结 构 的 结 点
位 移 列 阵 为{}∆=-⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥ql EI ql REI ql EI 34396192192 T。

试 求 图 a 所 示 结 构 中 单 元 ① 的 杆 端 力 列 阵。

(a)
2
(b)
五、图 a 所 示 结 构 (整 体 坐 标 见 图 b )，图 中 圆 括 号 内 数码 为 结 点 定 位 向 量 (力 和 位 移 均 按
水 平 、竖 直 、转 动 方 向 顺 序 排 列 )。

求
结 构 刚 度 矩 阵
[
]
K 。

(不 考 虑 轴 向 变 形 )
6m
(b)
六、求 图 示 结 构 的 自
由 结 点 荷 载 列 阵 {}P 。

l
七、图 a 所 示 结 构 ，整 体 坐 标 见 图 b ，图 中 圆 括 号 内 数码 为 结 点 定 位 向 量 (力 和 位 移 均
按 水 平 、竖 直 、转 动 方 向 顺 序 排 列 )。

求 等 效 结 点 荷 载 列 阵 {}P E 。

( 不 考 虑 轴 向 变 形 )
3m 1436(b)
八、已 知 图 示 连 续 梁 结 点 位 移 列 阵 {}θ如 下 所 示 ，试 用 矩 阵 位 移 法 求 出 杆 件 23 的 杆 端 弯 矩 并 画 出 连 续 梁 的 弯 矩 图 。

设 q = 20kN /m ，23 杆 的 i =⨯⋅10106.kN cm 。

{}θ=--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎫
⎬⎪
⎪⎭
⎪
⎪⨯-365714572286104
....rad
6m
3m
3m
九、已 知 图 示 桁 架 的 结 点 位 移 列 阵 为
{}[]∆=--017265
04007 0 2.5677 0.0415 1.0415 1.3673 1.6092 1.6408 0 1.2084 T
..
，EA =1kN 。

试 求 杆 14 的
轴 力 。

1m
1m
十、试 用 矩 阵 位 移 法 解 图 示 连 续 梁，绘 弯 矩 图 。

EI =已 知 常 数 。

D k N 6 m
4 m
2 m
【自测题参考答案】
一、 1 √ 2 × 3 × 4 ×
二、 1 A 2 B 3 B 4 C 5 B 6 C 7 D 三、 1、 2EA/L
2、 b
3、 i EI l
K i K i === , , 1122124
四、{}{}∆∆a ql EI
ql EI ql EI =-=--⎡⎣⎢⎤
⎦⎥1281616343 T
{}
F ql ql ql ql a
①
=---⎡⎣⎢⎤
⎦⎥
341434222 T
(7分 )
五、[]K i =--⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥
⎥⎥ 1 0 1 8 2 0 2 413/ (10分 )
六、 {}[]
T
/ql +m -/ql -P 12202= (7分 )
七、
{}[] 2 3
422142
E T
1P =-- (7分 )
八、
M M 233242885140⎧⎨⎩⎫⎬⎭=-⎧⎨⎩
⎫⎬⎭.. 42.88
51.40
90
(kN m).M
( 7分)
九、N 1400587=-.kN (7分 ) 十、
⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡4080212
13721θθEI EI EI EI ( 4 分 )； ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧6448121EI θθ ( 2 分 ) ()
()
⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧-=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫
⎩⎨⎧--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧40163462221121M M M M ( 3 分 )
62 16
40 34 45
kN m
.
M
M 图 （ 3 分 ）。