2020_2021学年新教材高中数学课时素养评价4.3.1.2等比数列的性质及应用含解析新人教A版

八等比数列的性质及应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.已知数列{a n}是等比数列,且每一项都是正数,若a1=1,a2 019=3,则a1 010的值
为( )
A.9
B.
C.±
D.3
【解析】选B.因为数列{a n}是等比数列,且每一项都是正数,a1=1,a2 019=3,
所以,所以a1 010=1×q1 009=.
2.(2020·郑州高二检测)记等比数列{a n}满足2a2-5a3=3a4,则公比q= ( )
A. B.或-2
C.2
D.
【解析】选B.因为等比数列{a n}满足2a2-5a3=3a4,
依题意,2a2-5a2q=3a2q2,
即3q2+5q-2=0,故(3q-1)(q+2)=0,
解得q=或q=-2.
3.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,则成等比数列,则此未知数是( )
A.3或27
B.36
C.9
D.15
【解析】选A.设此三数为3,a,b,
则解得或
所以这个未知数为3或27.
4.(多选题)(2020·连云港高二检测)已知等比数列{a n}中,满足a1=1,公比q=-2,则 ( )
A.数列{2a n+a n+1}是等比数列
B.数列{a n+1-a n}是等比数列
C.数列{a n a n+1}是等比数列
D.数列{log2|a n|}是递减数列
【解析】选BC.因为等比数列{a n}中,满足a1=1,公比q=-2,
所以a n=1×(-2)n-1=(-2)n-1.
由此可得2a n+a n+1=2·(-2)n-1+(-2)n=0,A错误;
a n+1-a n=(-2)n-(-2)n-1=-3·(-2)n-1,故数列{a n+1-a n}是等比数列,B正确;
a n a n+1=(-2)n-1(-2)n=(-2)2n-1,故数列{a n a n+1}是等比数列,C正确;
log2|a n|=log22n-1=n-1,故数列{log2|a n|}是递增数列,D错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知数列{a n}满足log2a n+1-log2a n=1,则=________.
【解析】因为log2a n+1-log2a n=1,所以=2,
所以数列{a n}是公比q为2的等比数列,
所以=q2=4.
答案:4
【加练·固】
已知数列{a n}满足a n+1=3a n,且a2·a4·a6=9,则log3a5+log3a7+log3a9= ( )
A.5
B.6
C.8
D.11
【解析】选D.根据题意,数列{a n}满足a n+1=3a n,则数列{a n}为等比数列,且其公比q=3,
若a2·a4·a6=9,则(a4)3=a2·a4·a6=9,
则log3a5+log3a7+log3a9=log3(a5·a7·a9)
=log3(a7)3=log3(a4q3)3=11.
6.已知公比为q的等比数列{a n}中,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则公比q=________.
【解析】由已知可得a2+a3+a4=14,
a2+a4=2a3+2,所以a3=4,a2+a4=10,所以=,即2q2-5q+2=0解得q=2或q=.
答案:2或
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差为d.
(1)若d=1且S5=a1a9,求数列{a n}的通项公式;
(2)若a1,a3,a4成等比数列,求公比q.
【解析】(1)因为d=1且S5=a1a9,
所以5a1+×1=a1(a1+8),
解得a1=-5,或a1=2,
当a1=-5时,a n=-5+n-1=n-6,
当a1=2时,a n=2+n-1=n+1.
(2)因为a1,a3,a4成等比数列,所以=a1a4,
所以(a1+2d)2=a1(a1+3d),整理可得d(a1+4d)=0,则d=0或a1=-4d,当d=0时,公比q为1,
当d≠0,a1=-4d时,
q====.
8.(2020·武汉高二检测)若等比数列{a n}的前n项和为S n,满足a4-a1=S3,a5-a1=15.
(1)求数列{a n}的首项a1和公比q;
(2)若a n>n+100,求n的取值范围.
【解析】(1)因为a4-a1=S3,a5-a1=15.显然公比q≠1,
所以,解得q=2,a1=1.
(2)由(1)可得a n=2n-1,因为a n>n+100,即2n-1>n+100,验证可得,n≥8,n∈N*.
(15分钟·30分)
1.(5分)(2020·崇左高二检测)在等比数列{a n}中,若a2+a5=3,a5+a8=6,则a11= ( )
A.4
B.8
C.16
D.32
【解析】选B.因为a2+a5=3,a5+a8=6,
所以q3==2,
因为a2+a5=a2(1+q3)=3,
所以a2=1,则a11=a2q9=1×23=8.
2.(5分)两个公比均不为1的等比数列{a n},{b n},其前n项的乘积分别为A n,B n,若=2,则=
( )
A.512
B.32
C.8
D.2
【解析】选A.因为A9=a1a2a3…a9=,
B9=b1b2b3…b9=,所以==512.
3.(5分)在正项等比数列{a n}中,a n+1<a n,a2a8=6,a4+a6=5,则=________.
【解析】因为数列{a n}是正项等比数列,
且a2·a8=6,a4+a6=5,
所以a4a6=a2a8=6,a4+a6=5,
联立得a4=2,a6=3或a4=3,a6=2,
因为a n+1<a n,所以a4=3,a6=2,
所以q2==,所以==.
答案:
【加练·固】
已知数列{a n}为等比数列,且a3a11+2=4π,则tan(a1a13)的值为________.
【解析】由等比数列{a n}的性质可得,a3a11=,
由a3a11+2=4π,得3a3a11=4π,则a3a11=.
则tan(a1a13)=tan=tan=.
答案:
4.(5分)在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每纵列成等比数列,则x+y+z的值为________.
【解析】因为=,所以x=1.
因为第一行中的数成等差数列,首项为2,公差为1,故后两格中数字分别为5,6.
同理,第二行后两格中数字分别为2.5,3.
所以y=5×,z=6×.
所以x+y+z=1+5×+6×==2.
答案:2
5.(10分)已知等比数列{a n},a1a2=-,a3=.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)证明:对任意k∈N*,a k,a k+2,a k+1成等差数列. 【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,
若a1a2=-,则q=-,
若a3=,则a1q2=,变形可得=-2,
解可得:=1,则a1=1,则有q=-,
故a n=.
(2)根据题意,a n=,
则a k=,a k+1=,
a k+2=;则有
a k+a k+1-2a k+2=+-
2==0,
则有a k+a k+1=2a k+2,故a k,a k+2,a k+1成等差数列.
1.在等比数列{a n}中,a1=8,+16=8,则a9的值为________.
【解析】=a5a7,由+16=8可得+16=8a5a7,所以+16·=8, 即+16q2=8,解得q2=,
所以a9=a1q8=8×=.
答案:
2.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-3n(n∈N*).
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)设b n=a n+3,证明数列{b n}为等比数列,并求通项公式a n.
【解析】(1)因为数列{a n}的前n项和为S n,
且S n=2a n-3n(n∈N*).
所以n=1时,由a1=S1=2a1-3×1,解得a1=3,
n=2时,由S2=2a2-3×2,得a2=9,
n=3时,由S3=2a3-3×3,得a3=21.
(2)因为S n=2a n-3×n,
所以S n+1=2a n+1-3×(n+1),
两式相减,得a n+1=2a n+3,
b n=a n+3,b n+1=a n+1+3,
所以===2,
得b n+1=2b n(n∈N*),且b1=6,
所以数列{b n}是以6为首项,2为公比的等比数列,
所以b n=6×2n-1,
所以a n=b n-3=6×2n-1-3=3(2n-1).
【加练·固】
已知数列{a n}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{b n}满足b n=a n a n+1(n∈N*).
(1)若{a n}是等差数列,且b3=12,求a的值及{a n}的通项公式;
(2)当{b n}是公比为a-1的等比数列时,{a n}能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.
【解析】(1)因为{a n}是等差数列,a1=1,a2=a,b n=a n a n+1,b3=12,
所以b3=a3a4=(a1+2d)(a1+3d)=(1+2d)(1+3d)=12,即d=1或d=-,
又因为a=a1+d=1+d>0,得d>-1,
所以d=1,a=2,所以a n=n.
(2){a n}不能为等比数列,理由如下:
因为b n=a n a n+1,{b n}是公比为a-1的等比数列,
所以===a-1,
所以a3=a-1,
假设{a n}为等比数列,
由a1=1,a2=a得a3=a2,
所以a2=a-1,
所以此方程无解,
所以数列{a n}一定不为等比数列.。