核按钮(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.3平面向量的数量积习题理

核按钮（新课标）高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.3平面向量的数量积习题理
1．数量积的概念
已知两个非零向量a与b，我们把数量________________叫做a与b的数量积(或内积)，记作____________，即a·b＝________，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的____________．
a·b的几何意义：数量积a·b等于_____________．
2．数量积的运算律及常用结论
(1)数量积的运算律
①交换律：___________________；
②数乘结合律：_______________________；
③分配律：___________________________．
(2)常用结论
①(a±b)2＝________________________；
②(a＋b)·(a－b)＝_________________；
③a2＋b2＝0⇔______________________；
④|||a－||b|________||a＋||b.
3．数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
①e·a＝____________.
②a⊥b⇔____________.
③当a与b同向时，a·b＝____________；
当a与b反向时，a·b＝____________.
特别地，a·a＝____________或||a＝____________.
④ cosθ＝____________.
a·b≤____________.
⑤||
4．数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
①a·b＝________________；a2＝_____________；||a＝________________.
②a⊥b⇔____________________.
x1x2＋y1y2≤________________________.
③||
自查自纠
1.||a ||b cos θ a ·b |a ||b |cos θ 投影 a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影
||b cos θ的乘积
2．(1)①a ·b ＝b ·a ②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) ③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (2)①a 2
±2a ·b ＋b 2
②a 2
－b 2
③a ＝0且b ＝0 ④≤
3．①|a |cos θ ②a ·b ＝0 ③|a ||b | －|a ||b |
|a |2
a ·a ④a ·
b |a ||b | ⑤|a ||b |
4．①x 1x 2＋y 1y 2 x 2
1＋y 2
1
x 21＋y 2
1 ②x 1x 2＋y 1y 2＝0 ③x 2
1＋y 2
1x 2
2＋y 2
2
(2015·全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0
C ．1
D ．2
解：因为2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，所以(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－
1)＝1.故选C .
(2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →
＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →
＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →
＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，所以AD →·AC →
＝2×3＋1×(－1)＝5.故选D .
(2015·北京)设a ，b 是非零向量，“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
解：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．若a ·b ＝|a ||b |，则cos 〈a ，b 〉＝1，即〈a ，b 〉＝0，可得a ∥b ；若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π，此时a ·b ＝|a ||b |或a ·b ＝－|a ||b |.故“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．故选A .
在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，若AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →
＝________.
解：如图所示，AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →
)＝9＋3×cos120°＝152，故填152
.
(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →
＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)
①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →
.
解：由AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b 得a ＝12AB →，b ＝AC →－2a ＝BC →
，④正确；|a |＝12
|AB →|＝1，①正
确；|b |＝|BC →|＝2，②错误；a 与b 的夹角为120°，③错误；(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋b 2
＝－4＋4＝0，⑤正确．故填①④⑤.
类型一 数量积的定义及几何意义
(1)若a ，b ，c 均为非零向量，则下列说法正确的是____________．(填写序号
即可)
①a ·b ＝±||a ·||b ⇔a ∥b ； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③a ·c ＝b ·c ⇔a ＝b ； ④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．
解：a ·b ＝||a ||b cos θ，θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝±1，①正确；②显然正确；③错误，如a ＝－b ，a ⊥c ，则a ·c ＝b ·c ＝0，但a ≠b ；④错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c 的倍数，等式右边为a 的倍数．故填①②.
(2)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且||OA →＝||
AC →，则向量
BA →在向量BC →
方向上的投影为( )
A.32
B.32 C ．3 D ．－32
解：由已知可以知道，△ABC 的外接圆的圆心在线段BC 的中点O 处，因此△ABC 是直角
三角形．且∠A ＝π2，又因为|OA →|＝|CA →|＝|OC →
|，∴∠C ＝π3，∠B ＝π6
，∴AB ＝3，AC ＝1，
故BA →在BC →方向上的投影为|BA →
|cos π6＝32
.故选A .
【点拨】数量积a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2(其中两向量夹角为θ，a ＝(x 1，y 1)，
b ＝(x 2，y 2))．其几何意义是：a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的
乘积．在理解数量积与投影概念的基础上，利用二者的关系解题．
(1)已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.
则
x 1＋y 1
x 2＋y 2
的值为( ) A.2
3
B ．－23
C.56 D ．－56
解：因为a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×3×cos 〈a ，b 〉＝－6，所以cos 〈a ，b 〉＝－1，即向量a 与b 反向，则3a ＋2b ＝0.由此可得3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0，0)，得x 1＝
－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23
.故选B .
(2)(2013·湖北)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为 ( )
A.322
B.3152
C ．－322
D ．－3152
解：∵AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，∴由向量数量积的几何意义知向量AB →在CD →
方向上的投
影为|AB →|cos 〈AB →，CD →
〉＝AB →·CD →|CD →|
＝1552＋52＝322.故选A .
类型二 数量积的基本运算
已知e 1，e 2是夹角为2π
3
的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝
0，则实数k 的值为________．
解：因为a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 2
1＋(1－2k )(e 1·e 2)－2e 2
2，且|e 1|＝|e 2|＝1，
e 1·e 2＝－12，所以k ＋(1－2k )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12－2＝0，解得k ＝54.故填54. 【点拨】实数与数量积的运算虽有诸多相似之处，但应明确二者的区别，如a ·b ＝0a 或b 为0，a ·b ＝a ·c b ＝c ，(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )等．
(1)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π
3
，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，
则b 1·b 2＝________.
解：b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 2
2＝3－2×1×1×cos π3－8＝－6.
故填－6.
(2)(2014·新课标全国卷Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
解：(a ＋b )2
＝10，(a －b )2
＝6，两式相减得4a ·b ＝4，a ·b ＝1.故选A .
类型三 用数量积表示两个平面向量的垂直关系
(1)已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(2，1)，则a ⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－1
2 B ．x ＝－1
C ．x ＝5
D ．x ＝0
解：由向量垂直的充要条件得2(x －1)＋2＝0，所以x ＝0.故选D .
(2)已知两个非零向量a ，b 满足||a ＋b ＝||a －b ，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b
B ．a ⊥b C.||a ＝||b
D ．a ＋b ＝a －b
解法一：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2
＝|a －b |2
， ∴a 2
＋2a ·b ＋b 2
＝a 2
－2a ·b ＋b 2
，得a ·b ＝0，∴a ⊥b .
解法二：a ＋b ，a －b 分别是以a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线．∵|a ＋b |＝|a －b |，∴平行四边形的对角线相等．∴该平行四边形为矩形，∴a ⊥b .故选B .
【点拨】两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，
y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量均
成立，因为我们又可视零向量与任意向量垂直．
(1)在直角三角形ABC 中，已知AB →＝(2，3)，AC →
＝(1，k )，则k 的值为________．
解：①当A ＝90°时， ∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →
＝0.
∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－2
3
.
②当B ＝90°时，∵AB →⊥BC →
， 又BC →＝AC →－AB →
＝(1，k )－(2，3)＝(－1，k －3)，
∴AB →·BC →
＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0，解得k ＝113
.
③当C ＝90°时，∵AC →⊥BC →，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0，即k 2
－3k －1＝0.∴k ＝3±132.
故填－23或113或3±132
.
(2)(2013·山东)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →
，则实数λ的值为________．
解：∵BC →＝AC →－AB →，AP →⊥BC →，则(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AC →·AB
→＝－12λ＋7＝0，∴λ＝712.故填7
12
.
类型四 向量的夹角与模
(1)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π
3
，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与
a ＋2
b 的夹角的余弦值等于( )
A.
126 B ．－126 C.1
12
D ．－1
12
解：记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ，
因为(2a －b )2＝4×22＋32
－4×2×3×cos π3＝13，
(a ＋2b )2＝22＋4×32
＋4×2×3×cos π3＝52，
(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2
－2b 2
＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，
所以cos θ＝（2a －b ）·（a ＋2b ）|2a －b ||a ＋2b |＝－1
26
，
即2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－1
26.故选B .
(2)已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.
解：∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a ||b |cos45°＝22|b |，|2a －b |2
＝4
－4×
22
|b |＋|b |2
＝10，∴|b |＝3 2.故填32. 【点拨】由向量数量积的定义a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算．当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查．求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法．
(1)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平
行四边形的面积为1
2
，则α和β的夹角θ的取值范围是________．
解：由题意得，|α||β|sin θ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sin θ＝12|β|≥1
2
.又
∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6
，5π6.
(2)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )
A.2－1 B ．1
C. 2
D ．2
解：|a ＋b －c |＝（a ＋b －c ）2
＝a 2
＋b 2
＋c 2
＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，
由于a ·b ＝0，a ，b ，c 为单位向量，所以上式＝3－2c ·（a ＋b ），又由于(a －c )·(b
－c )≤0，得(a ＋b )·c ≥c 2
＝1，所以|a ＋b －c |＝3－2c ·（a ＋b ）≤1，故选B .
类型五 几何图形中向量的数量积
(1)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →
＝________.
解法一：由题知，D 为BC 的中点，E 为CA 的三等分点，以D 为原点，以BC 所在的直线
为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，建立如图平面直角坐标系，可得A ⎝
⎛
⎭⎪⎫0，32，D (0，0)，
B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3，36，故AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32，BE →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫56，36，所以AD →·BE →＝－32×36＝－14.
解法二：由AD →·BE →＝⎝
⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫
BC →＋13CA →求解．故填－14.
(2)在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →
的取值范围是________．
解：将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x ，0)，0≤x ≤1.又M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12，C (1，1)，所以EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，12，EC →＝(1－x ，1)，所以EM →·EC →＝⎝
⎛
⎭⎪⎫1－x ，12·(1－x ，1)＝(1
－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2
＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32.故填⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，32.
(3)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC
上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →
＝1，则λ的值为________．
解：∵∠BAD ＝120°， ∴AB →·AD →＝|AB →|·|AD →
|cos120°＝－2.
∵BE ＝13BC ，∴AE →＝AB →＋13AD →，
同理AF →＝1λ
AB →＋AD →.∵AE →·AF →
＝1.
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AD →·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1λAB →＋AD →＝1，解得λ＝2.
故填2.
【点拨】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向
量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处．解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果．
(1)在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2
，AC ＝3，取点D 使BD →＝2DA →，则CD →·CA →
＝
________.
解：如图，CD →＝CB →＋BD →
.
又∵BD →＝2DA →，
∴CD →＝CB →＋23BA →＝CB →＋23
(CA →－CB →)，
即CD →＝23CA →＋13CB →.
∵∠C ＝π2
，∴CA →·CB →
＝0.
∴CD →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23
CA →＋13CB →·CA →
＝23CA →2＋13CB →·CA →
＝6.故填6.
(2)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF
→＝2，则AE →·BF →
的值是__________．
解法一：以A 为坐标原点，AB →，AD →
的方向分别为x ，y 轴正方向建立直角坐标系，则B (2，
0)，E (2，1)，D (0，2)，C (2，2)．∴AB →＝(2，0)，AE →
＝(2，1)，
设点F 为(x ，2)，则由AB →·AF →
＝2，得2x ＝2，∴x ＝1. ∴BF →
＝(1－2，2)， ∴AE →·BF →
＝2(1－2)＋2＝ 2.
解法二：AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →
)＝2⇒||DF →＝1，||
CF →＝2－1.
∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →) ＝AB →·BC →＋AB →·CF →＋BE →·BC →＋BE →·CF → ＝0－2×(2－1)＋1×2＋0＝ 2.故填2.
(3)(2015·天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动
点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →
的最小值为________．
解：由题易知AD ＝BC ＝CD ＝1，故AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝(AB →
＋
λBC →)·⎝
⎛⎭⎪⎫AD →＋19λDC →＝AB →·AD →
＋λBC →·AD →＋19λAB →·DC →＋19BC →·DC →＝2×1×cos60°＋λ×1
×1×cos60°＋19λ×2×1＋19×1×1×cos120°＝1＋λ2＋29λ－118≥1718＋23＝29
18
(当且仅当
λ2＝29λ，即λ＝23时等号成立)．故填2918
.
1．平面向量的加法、减法及数乘运算的结果仍是一个向量，但是平面向量数量积运算的结果不是一个向量，而是一个实数．
2．注意平面向量的数量积与数的乘法的区别：在数的乘法中，若ab ＝0，则a ，b 中至少有一个为0.但在向量的数量积中，由a ·b ＝0不能推得a ＝0或b ＝0，因为当两个非零向量a ，b 垂直时，也有a ·b ＝0.应注意平面向量的数量积不满足结合律，即(a ·b )·c ＝
a ·(
b ·
c )不一定成立．
3．注意向量0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；0的方向是任意的，并非没有方向．
4．注意两个非零向量a ，b 的夹角与a ，b 所在直线的夹角的区别．前者的取值范围是
[0，π]，后者的取值范围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.
5．求向量模的常用方法：利用公式||a 2
＝a 2即|a |＝a 2
将模的运算转化为向量的数量积．
6．利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题，即只需将问题转化为向量形式，用向量的运算来求解．如果能够建立适当的直角坐标系，用向量的坐标运算往往更为简捷．
1．下列命题正确的是( ) A ．单位向量都相等
B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线
C ．若非零向量a ，b 满足||a ＋b ＝||a －b ，则a ⊥b
D ．若a 与b 都是单位向量，则a ·b ＝1
解：A 显然错；B 中b ＝0时，a 与c 不一定共线；对||a ＋b ＝||a －b 两边平方得a ·b ＝0，而a 与b 为非零向量，所以a ⊥b ，C 正确．故选C .
2．(2015·福建)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )
A ．－32
B ．－53 C.53 D.32
解：c ＝(1，2)＋k (1，1)＝(1＋k ，2＋k )，因为b ⊥c ，所以b ·c ＝1×(1＋k )＋1×(2
＋k )＝3＋2k ＝0，所以k ＝－3
2
.故选A .
3．(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →
＝( )
A ．－32a 2
B ．－34a 2 C.34a 2 D.32
a 2
解：在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，∴BC →，CD →的夹角为60°，BD →·CD →＝(BC →＋CD →)·CD →
＝BC →·CD →＋CD →2＝32
a 2
.故选D .
4．(2015·陕西)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2
＝|a ＋b |2
D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2
－b 2
解：根据数量积的定义a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，所以|a ·b |＝||a ||b |cos 〈a ，b 〉|≤|a ||b |，选项A 中的关系式一定成立；如果选项B 中的关系式成立，则|a －b |2
≤||a |－|b ||2
，可得a ·b ≥|a ||b |，此式不恒成立；根据向量的运算法则可知选项C ，D 中的关系式是恒成立的．故选B .
5．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →
的值等于( )
A ．－8
B ．－1
C ．1
D ．8
解：取BC →中点D ，连接OD ，AD ，则OD →·BC →＝0且AO →＋OD →＝AD →，即AO →＝AD →－OD →，而AD →＝12
(AB
→＋AC →)，∴AO →·BC →＝AD →·BC →－OD →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →
)＝12(AC →2－AB →2)＝12(5
2－32
)＝8，故选D .
6．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，
若OA →＝(x ，1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →
的最大值是最小
值的8倍，则实数a 的值是( ) A ．1 B.13 C.1
4
D.1
8
解：因为OA →＝(x ，1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y .依题意，不等
式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，
1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，
解得a ＝18
.故选D . 7．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(1，1)，则
(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为__________；
(2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为__________．
解：(1)由a ＝(1，0)，b ＝(1，1)，得2a ＋b ＝(3，1)．与2a ＋b 同向的单位向量为
2a ＋b |2a ＋b |
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫310，110＝⎝ ⎛⎭⎪⎫31010，1010. (2)由a ＝(1，0)，b ＝(1，1)，得b －3a ＝(－2，1)．设向量b －3a 与向量a 的夹角为
θ，则cos θ＝（b －3a ）·a ||b －3a ||a ＝（－2，1）·（1，0）5×1
＝－255.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫31010，1010；－255. 8．(2015·东北三省四市联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(3，a )，a
∈R ，点P 满足OP →＝λOA →，λ∈R ，|OA →||OP →|＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值
为________．
解：OP →＝λOA →，则O ，P ，A 三点共线．设OP 与x 轴夹角为θ，则OP 在x 轴上的投影
长度为|OP →|cos θ＝|OP →|×3|OA →|＝72|OA →|×3|OA →|
，又|OA →|2＝a 2＋9≥9，故|OP →|cos θ≤72×39＝24，即线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为24.故填24.
9．已知平面向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.
(1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |；
(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．
解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－16. (1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2
＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3.
②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a －2b |＝16 3.
(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0，
∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，
即16k －16(2k －1)－2×64＝0，解得k ＝－7.
即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．
10．已知OP →＝(2，1)，OA →＝(1，7)，OB →＝(5，1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐
标原点)．
(1)求使CA →·CB →取到最小值时的OC →；
(2)对(1)中求出的点C ，求cos ∠ACB .
解：(1)∵点C 是直线OP 上一点，∴可设OC →＝tOP →.
∴OC →＝t (2，1)＝(2t ，t )．∴CA →＝OA →－OC →＝(1－2t ，7－t )，
CB →＝OB →－OC →＝(5，1)－(2t ，t )＝(5－2t ，1－t )．
∴CA →·CB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t )
＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8.
当t ＝2时，CA →·CB →取到最小值．此时，OC →＝(2t ，t )＝(4，2)．
(2)当OC →＝(4，2)时，CA →＝(－3，5)，CB →＝(1，－1)，
∴|CA →|＝34，|CB →|＝2，由(1)知CA →·CB →＝－8，
∴cos ∠ACB ＝CA →·CB →|CA →||CB →|
＝－834·2＝－41717. 11．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，
t )，C (k sin θ，t )⎝
⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2. (1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；
(2)若向量AC →与向量a 共线，当k ＞4时，t sin θ有最大值4.当t sin θ取最大值时，求
OA →·OC →.
解：(1)由题意得AB →＝(n －8，t )，
∵AB →⊥a ，∴(n －8，t )·(－1，2)＝0，即8－n ＋2t ＝0.①
又∵5|OA →|＝|AB →|，
∴5×64＝(n －8)2＋t 2.②
联立①②解得t ＝8，n ＝24或t ＝－8，n ＝－8，
∴OB →＝(24，8)或OB →＝(－8，－8)．
(2)由题意得AC →＝(k sin θ－8，t )，
∵AC →与a 共线，∴2(k sin θ－8)－(－1)×t ＝0，
∴t ＝－2k sin θ＋16，
则t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝
⎛⎭⎪⎫sin θ－4k 2＋32k . ∵k ＞4，∴0＜4k
＜1， ∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k
. 由32k ＝4，得k ＝8，sin θ＝12.∵θ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴θ＝π6. 此时OC →＝(4，8)，OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)＝32.
在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2，1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的
点，且满足||BM →||BC →＝||CN →||CD
→，则AM →·AN →的取值范围是____________．
解：以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为AB ＝2，AD ＝1，所以A (0，0)，B (2，0)，C (2，1)，D (0，1)．设M (2，b )，N (x ，1)(0≤x ≤2)，
根据题意，b ＝2－x 2，所以AN →＝(x ，1)，AM →＝⎝
⎛⎭⎪⎫2，2－x 2.所以AM →·AN →＝32x ＋1(0≤x ≤2)，所以1≤32
x ＋1≤4，即1≤AM →·AN →≤4.故填[1，4]．。