高中数学第二讲直线与圆的位置关系本讲测评1新人教A版选修4-1(new)

第二讲直线与圆的位置关系
本讲检测
一、选择题（每小题5分，共60分)
1。

如图2-8,PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB=80°,C是圆上异于A、B的一动点,则∠ACB 等于( )
图2—8
A。

80° B。

50° C。

130° D.50°或130°
解析：分两种情况,C在优弧上，在劣弧上,
（1）当C在优弧上，连结AB.
∵PA、PB是⊙O切线，∴PA=PB.
∴∠ABP=∠BAP。

∴∠ABP=
280
180︒
-
︒
=50°.
由弦切角定理，
∴∠ACB=50°。

（2）当C在劣弧上C′点位置,
∵ACBC′内接于⊙O,
∴∠C′=130°。

答案：D
2。

如图2—9，MN切⊙O于点A,∠AOB=60°,那么∠BAM等于( )
图2-9
A 。

120° B.90° C.60° D 。

30° 解析:同弧对的圆周角等于圆心角一半,而弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，
∴∠BAM=2
1
∠AOB=30°。

答案：D
3.已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，则四边形ABCD 一定是（ ）
A 。

等腰梯形
B 。

菱形
C 。

矩形
D 。

正方形 解析：∵直径所对圆周角是90°， ∴AB、CD 所对圆周角都是90°。

∴ABCD 一定是矩形. 答案：C
4.如图2-10,AB 是⊙O 的直径,∠C=30°，则∠ABD 等于（ ）
图2-10
A.30°
B.40°
C.50°
D.60° 解析：∵∠C=30°, ∴的度数是60°。

∴
的度数是180°-60°=120°.
∴∠ABD=60°. 答案:D
5。

如图2—11,⊙O 为△ABC 的内切圆,∠C=90°，AO 的延长线交BC 于点D,AC=4,CD=1，则⊙O 的半径等于( )
图2—11
A.54
B.45 C 。

43 D 。

6
5 解析:过O 作OE⊥AC， ∵AC 是⊙O 的切线, ∴点E 为切点. 设半径为r,则CE=r ， ∵OE∥CD,
∴
CD OE =AC AE ,即4
41r
r -=. 解得r=5
4
.
答案:A
6.如图2-12,已知AB 是⊙O 直径，P 是AB 延长线上的一点，PCD 是割线，⊙O 的半径为4
11，PB=CD=2,则BC∶AD 的值为( ）
图2-12
A 。

53 B. 52 C.73 D 。

7
4
解析:∵PAB、PCD 是⊙O 割线, ∴PB·PA=PC·PD. ∵⊙O 的半径为4
11
,PB=CD=2, ∴PA=PB+AB=
2
15。

∴PD=PC+CD=PC+2。

∴2×
2
15
=PC(PC+2)。

解得PC=3或—5（舍去）。

∵ABCD 是⊙O 的内接四边形, ∴∠PBC=∠D.
又∵∠P=∠P，∴△ADP∽△CBP. ∴
AD BC =PD PB =5
2
. 答案：B
7。

如图2-13，⊙O 中弦AB 、CD 相交于点F ，AB=10，AF=2，若CF∶DF=1∶4,则CF 的长为( )
图2—13
A 。

2 B.2 C.3 D 。

22 解析:设CF=x ，则FD=4x.
由相交弦定理,得AF·FB=CF·FD,即2×8=x·4x。

x=2或-2(舍去). 答案:B
8.如图2-14,PA 切⊙O 于点A ，PBC 是⊙O 的一条割线，且PA=23,PB=BC ，那么BC 的长是（ ）
图2—14
A.3
B.2
2
3 C。

3 D。

3
解析：设BC为x，则PB=x,PC=2x.由切割线定理PA2=PB·PC,
即(2
3)2=2x·x.解得x=3.
答案：A
9.如图2—15,⊙O的直径为10 cm,弦AB为8 cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数,则满足条件的点P有_____________个.( ）
图2—15
A.2 B。

3 C.4 D。

5
解析：双向延长OP交⊙O于C、D两点.
由相交弦定理AP·BP=CP·DP,
∴AP(AB-AP)=(OC—OP）（OD+OP)，即AP(8-AP)=（5—OP)（5+OP）.
整理得OP=9
AP（AP≤8)。

-
)4
(2+
∴当AP=0,4—7，4，4+7,8时,OP=5,4,3，4，5.
答案：D
10。

如图2-16，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=CD=5,AC=7，BE=3，下列命题错误的是（ )
图2—16
A.△AED∽△BEC
B.∠AEB=90°
C.∠BDA=45°
D.图中共有2对全等三角形
解析：①∵AB=CD，∴=。

∴∠DAE=∠DBC=∠ADB=∠ACB.
∴△AED∽△BEC.正确。

∵AB=CD,∠BAE=∠CDE,
∴∠AEB=∠CED.
∴△ABE≌△DCE.∴BE=EC.
∴AE=AC—EC=7-3=4.
∴AB2=AE2+BE2.
∴△ABE是直角三角形,∠AEB=90°.
∴△AED为等腰直角三角形。

∴∠BDA=45°，正确。

图中全等三角形，除了△ABE≌△DCE，
△ABC≌△DCB外,还有△ABD≌△DCA。

∴D不正确。

答案：D
11。

如图2—17，若直线PAB、PCD分别与⊙O交于点A、B、C、D，则下列各式中正确的是( )
图2—17
A.PA∶PC=PB∶PD
B.PA∶PB=AC∶BD
C.PA∶PC=PD∶PB D。

PB∶PD=AD∶BC
解析：若A正确，则PA·PD=PC·PB，与割线定理矛盾.
∵∠PCA=∠ABD，∠P=∠P,
∴△PAC∽△PDB。

PA∶PB不是对应边,故B错误。

由割线定理PA·PB=PC·PD，
∴PA∶PC=PD∶PB,故C正确。

答案:C
12.如图2-18,△ABC内接于⊙O,DE∥BC，且DE相切⊙O于F，则图中与∠CFE相等的角有_____________个。

（）
图2—18
A.2
B.3
C.4
D.5
解析：∵，∴∠CFE=∠FAC,∠CFE=∠FBC.
∵BC∥DE,∴∠CFE=∠BCF。

又,∴∠BCF=∠BAF=∠BFD。

∴共5个。

答案：D
二、填空题（每小题4分，共16分)
13.如图2—19，已知AB是直径,CD是弦，过C点的切线与AD的延长线交于E点。

若∠A=56°，∠B=64°,则∠CED=______________.
图2—19
解析:连结BD ，∵AB 是直径, ∴∠A+∠ABD=90°.
∴∠ABD=90°—∠A=34°。

∴∠CBD=∠ABC -∠ABD=64°-34°=30°。

∴∠DCE=∠CBD=30°。

又∵∠EDC=∠ABC=64°，∴∠CED=180°-∠EDC—∠DCE=86°。

答案：86°
14.如图2-20，已知AB 是⊙O 直径,AC 是⊙O 的切线,A 为切点,割线CDF 交AB 于E,并且CD∶DE∶EF=1∶2∶1，AC=4，则⊙O 的直径AB=_________.
图2-20
解析:设CD=k ，则DE=2k ，EF=k ，CF=4k 。

由切割线定理,得AC 2
=CD·CF, ∴42
=k·4k。

∴k=2. ∴CE=6，DE=4,EF=2。

在Rt△ACE 中,
AE=52462222=-=-AC CE 。

根据相交弦定理,得AE·EB=DE·EF。

∴52·EB=4×2。

∴EB=
5
5
4。

∴AB=AE+EB=
5
5
14。

答案:
5
5
14 15.如图2—21,PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C ，PO=13 cm,⊙O 半径r=5 cm,则△PDE 的周长为______________.
图2—21
解析：连结OB ，∵PB 切⊙O 于B, ∴OB⊥PB。

在Rt△POB 中，
PB=2222513-=-OB PO =12。

据切线长定理PA=PB=12， DA=DC,EC=EB ，
∴△PDE 的周长=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE =PD+DA+EB+PE =PA+PB=24 cm 。

答案:24 cm
16。

如图2—22,已知两圆相交于C 、D ，AB 为公切线,CD 的延长线交AB 于M ，若AB=12，CD=9，则MD=________________.
图2—22
解析：由切割线定理,MA 2
=MD·MC,MB 2
=MD·MC, ∴MA 2
=MB 2。

∴MA=MB=2
1
AB=6。

∵MA 2
=MD·MC，
∴62
=MD （MD+9).解得MD=3. 答案：3
三、解答题（共74分)
17.(12分）如图2—23,已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切⊙O 于D ，DE⊥AB 于E.
求证：∠CDB=∠EDB。

图2-23
证明:连结AD ，∵AB 是直径,∴∠ADE+∠EDB=90°。

∵∠A+∠ADE=90°,∴∠A=∠EDB. 又∠CDB=∠A，∴∠CDB=∠EDB.
18。

(12分）如图2—24,已知AB 是⊙O 的直径,CD 切⊙O 于E,AC⊥CD,BD⊥CD，垂足分别为C 、D.
求证:AB 是以CD 为直径的圆的切线。

图2—24
证明：连结AE 、OE,作EF⊥AB 于F ， ∵CD 切⊙O 于E,∴OE⊥CD.
∵AC⊥CD,BD⊥CD，∴AC∥OE∥BD。

∵AO=OB，∴CE=ED。

又∵OA=OE,∴∠1=∠3。

∵AC∥OE，∴∠2=∠3.∴∠1=∠2。

∴EF=CE。

∴AB 是以CD 为直径的圆的切线.
19。

(12分）如图2—25，已知⊙O 1和⊙O 2相交于点B 、C ，A 是⊙O 1上一点，直线AB 与AC 分别交⊙O 2于D 、E ，直线BC 与ED 交于点F,与过A 的⊙O 1的切线交于点T 。

求证：22FD BF TC TB =.
图2—25
证明：∵AT 切⊙O 1于A,∴∠ABT=∠TAC。

∵∠ABT=∠FBD,∴∠TAC=∠FBD.
∵四边形BDEC 内接于⊙O 2，
∴∠FDB=∠BCE.
又∠BCE=∠ACT,∴∠FDB=∠ACT.
∴△ACT∽△BDF。

∴
TC
AT FD BF =. ∴22
22TC
AT FD BF =. 又∵AT 2=TC·TB,∴TC TB TC TB TC FD BF =•=222。

20.(12分）如图2-26，已知⊙O 和⊙O′外切于点E ，AC 是外公切线,A 、C 是切点,AB 是⊙O 的直径,BD 是⊙O′的切线，D 是切点,求证:AB=BD 。

图2—26
证明:作两圆内公切线EF ，连结AE 、BE 、CE 。

∵∠FAE=∠FEA，∠FEC=∠FCE，
∴∠AEF+∠FEC=90°，即∠AEC=90°。

∵AB 是直径,∴∠AEB=90°.
∴B、E 、C 在一条直线上.
∵AC 切⊙O 于A ，∴AB⊥AC。

在Rt△ABC 中,由射影定理，得AB 2
=BE·BC.
又BD 切⊙O′于D ，由切割线定理BD 2=BE·BC,
∴AB 2=BD 2.∴AB=BD。

21。

（12分)如图2—27,已知线段AB 、CD 相交于点O,且OA·OB=OC·OD,求证：A 、B 、C 、D 四点共圆.
图2-27
证明:连结AC 、AD 、BC 、BD,
∵OA·OB=OC·OD, ∴OB
OD OC AO 。

∠AOD=∠COB,∴△AOD∽△COB.
∴∠1=∠2。

同理,可证△AOC∽△BOD,∠3=∠4.
∴∠5+∠1+∠6+∠3=∠5+∠2+∠6+∠4=180°,
即∠CAD+∠CBD=180°.
∴A、B、C、D四点共圆。

22.（14分）(1)如图2—2—8，已知直线AB过圆心O,交
⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F（不与B重合），直线l交⊙O于C、D,交AB于E，且与AF 垂直，垂足为G，连结AC、AD。

求证:①∠BAD=∠CAG；
②AC·AD=AE·AF。

(2）在问题(1)中,当直线l向上平行移动，与⊙O相切时，其他条件不变.
①请你画出变化后的图形，并对照图2—28标记字母；②问题(1）中的两个结论是否成立?如果成立，请证明;如果不成立，请说明理由。

图2—28
（1)证明:①连结BD,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.∴∠AGC=∠ADB.
又∵ACDB是⊙O内接四边形,
∴∠ACG=∠B。

∴∠BAD=∠CAG.
②连结CF。

∵∠BAD=∠CAG，∠EAG=∠FAB,
∴∠DAE=∠FAC。

又∵∠ADE=∠F，∴△ADE∽△AFC.
∴AF AD =AC
AE . ∴AC·AD=AE·AF.
(2)解析：①图2—29为变化后的图形。

图
2—29 ②两个结论都成立,证明如下。

(ⅰ）连结BC,
∵AB 是直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠ACB=∠AGC=90°.
∵GC 切⊙O 于C ，∴∠GCA=∠ABC.
∴∠BAC=∠CAG，即∠BAD=∠CAG.
（ⅱ）连结CF, ∵∠CAG=∠BAC，∠GCF=∠GAC，
∴∠GCF=∠CAE.
∠ACF=∠ACG -∠GCF，∠E=∠ACG -∠CAE,
∴∠ACF=∠E。

∴△ACF∽△AEC.
∴AE AC
=AC AF
.∴AC 2=AE·AF,
即AC·AD=AE·AF.
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