高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算导学案新人教B版必修

实数指数幂及其运算
学习目标：掌握实数指数幂的拓展过程过程中的不变性质。

掌握根式和有理数指数幂的意义
注意指数幂的拓展过程中的底数的约束条件 学习重点：实数指数幂的运算和底数的限制条件 学习难点：实数指数幂的运算 学习过程：
一、正整数指数幂（复习）：
1．()n a n N +∈的意义： n n
a a a a =⋅L 14243
2．()n a n N +∈的运算：
（1）m n m n a a a +⋅= （2）()m n
m n
a a
⋅=
（3）(,0)m m n n a a m n a a
-=>≠ （4）()m m m
a b a b ⋅=⋅
二、负整数指数幂（拓展）：
规定： 0
1(0)a a =≠ 1
(0)n n a a a
-=≠ 三、分数指数：
1．复习：
问题： 2x a = 3x a = 则x 的取值是什么？ 2．拓展：
如果存在实数x ，使得n x a =(,1,)a R n n N +∈>∈，则x 叫做a 的n 次方根； 求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算， 正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根。

叫做根式，n 叫做根指数。

3．根式性质：
(1) (1,)n
a n n N +=>∈
a n a n ⎧=⎨-⎩，
当为正奇数时，当
为正偶数时
4．分数指数幂（有理指数幂）：
（1）正分数指数幂：
10)n a a =>
0,,,)m n
m
a a n m N n
+=>∈且
为既约分数 （2）负分数指数幂：1(0,,,)m n
m n
m
a
a n m N n
a
-
+=
>∈且
为既约分数 5、有理指数幂运算法则：0,0a b >>，,αβ是有理数 (1) a
a a α
βαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅
四、无理指数幂：
1、0,0a b >>，,αβ是无理数 (1) a
a a α
βαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅
2、实数指数幂： 0,0a b >>，,αβ是实数
(1) a
a a α
βαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅
五、典型例题：
例1、（整数指数幂）化简下列各式：
（1）()0
3.14π- （2）5
12-⎛⎫
- ⎪⎝⎭
（3）()42x - （4
）
))
10
9
2
2+-
（5）
()322123
39a b a b a b
-----⋅⋅- （6）
()()
()()
3
3334
4
1
1a
a a a a
a a a
----+-++-
练习： 一组：
（1）57x x （2）232
(2)a b --- （3）2
3
(2)()x x -- （4）13()()a ab b
- （5）2
2
2
2
(2)()a a a a ---+÷- （6）2
222()()x y x y ---÷-
二组：
（1）若,m n Z ∈，满足5m a =，1
5n b
=
，则25m n -=
. （2）已知21n
a
=，*
()n N ∈，则33n n
n n
a a a a ---=-
（3）已知11a a --=，则66a a -+的值为 例2、（根式）求下列各式的值：
（1 （2（3
（4)a b <
练习：求下列各式的值
（1）（2
（3） 6
3
⋅ （4）若42x
a
=，求x x
x
x
a a a a
--+-
例3(3a =-成立的实数a 的取值范围
=，求实数a 的取值范围 例4．（有理指数幂）计算下列各式：
（1）1020.5231(2)2(2)(0.01)54--+⋅-
（2）20.520
371037(2)0.1(2)392748
π--++-+
（3）141
030.75
3
327(0.064)()[(2)]16|0.01|8
-
----+-+--
（4）21103
23(3)(0.002)2)8
----+-+
练习：计算下列各式：
（1）021212
1236253
----⨯⨯⨯-； （2）；
（3）1211314
2
[(1](111212---+÷ （4）21113
3
3
324()3
a b a b -
--÷-
例5．（1）已知0x >，0y >，化简y x
y x x y y x
（2）已知22
()x
x
a -+=常数，求88x x -+的值
练习： （1）设0x >，0y >y
y
x x
--=，求y y x x -+的值
小结：
1、根式和根式的性质：
2、指数幂的拓展：
3、实数指数幂的运算律：
4、实数指数幂的运算律的应用。