高中数学第二章几个重要的不等式2.2排序不等式课件北师大版选修4_5ppt版本

∵a3≥b3≥c3 且b1c≥a1c≥a1b， ∴由排序不等式，得
a3·b1c＋b3·c1a＋c3·a1b≥a3·a1c＋b3·a1b＋c3·b1c，
③
a3·b1c＋b3·c1a＋c3·a1b≥a3·a1b＋b3·b1c＋c3·c1a.
④
(③＋④)÷2，得
bac3＋cba3＋acb3 ≥a2＋2cb2＋b22＋ac2＋c2＋2ba2.
由排序不等式，得 b＋a2 c＋a＋b2 c＋a＋c2 b≥b＋c2 c＋a＋a2 c＋a＋b2b， b＋a2 c＋a＋b2 c＋a＋c2 b≥b＋b2 c＋a＋c2 c＋a＋a2b. 两式相加，得 2b＋a2 c＋a＋b2 c＋a＋c2 b≥bb2＋＋cc2＋aa2＋＋cc2＋aa2＋＋bb2.
解：不妨设 x≥y≥z>0， 则 x2≥y2≥z2，1z≥1y≥1x. 由乱序和≥逆序和，得 xy2＋yz2＋zx2≥x2·1x＋y2·1y＋z2·1z＝x＋y＋z.
又 x＋y＋z＝1， 则xy2＋yz2＋zx2≥1， 当且仅当 x＝y＝z＝13时等号成立． 故 t＝xy2＋yz2＋zx2的最小值为 1.
(1,2,3) (45,25,30)
S5＝a1b3＋a2b1＋a3b2＝185
(1,2,3)
S6＝a1b3＋a2b2＋a3b1＝180
(45,30,25) (最小值)
备注 乱序和 乱序和 乱序和 逆序和
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解析：由图可知阴影面积＝a1b1＋a2b2，空白面积＝ a1b2＋a2b1.根据顺序和≥逆序和，可知答案． 答案：≥
利用排序不等式求解简单的实际问题
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综上，a＋b＋c≤a2＋2cb2＋b22＋ac2＋c2＋2ba2≤bac3＋cba3＋acb3 .
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1．已知 a，b，c∈(0，＋∞)，求证：2b＋a2 c＋a＋b2 c＋a＋c2 b ≥bb2＋＋cc2＋aa2＋＋cc2＋aa2＋＋bb2.
证明：由对称性，不妨设 a≥b≥c>0， ∴a＋b≥a＋c≥b＋c. ∴a2≥b2≥c2，b＋1 c≥a＋1 c≥a＋1 b.
两式相加，得 2b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥3， 即b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥32， 当且仅当 a＝b＝c 时取等号． 故b＋a c＋c＋b a＋a＋c b的最小值为32.
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2．已知 x，y，z 是正数，且 x＋y＋z＝1，求 t＝xy2＋yz2＋zx2的 最小值．
(2)不妨设 a≥b≥c，
则 a2≥b2≥c2，1c≥1b≥1a. 由排序不等式，得
a2·1c＋b2·1a＋c2·1b≥a2·1a＋b2·1b＋c2·1c，
①
a2·1b＋b2·1c＋c2·1a≥a2·1a＋b2·1b＋c2·1c.
②
(①＋②)÷2，得
a2＋2cb2＋b22＋ac2＋c2＋2ba2≥a＋b＋c.
利用排序不等式证明不等式
(1)已知 a，b，c 为正数，a≥b≥c，求证：b1c≥c1a≥a1b. (2)已知 a，b，c∈(0，＋∞)，求证：a＋b＋c≤a2＋2cb2＋b22＋ac2 ＋c2＋2ba2≤bac3＋cba3＋acb3 .
证明：(1)∵a≥b>0，∴1a≤1b. ∵c>0，∴1c>0.∴b1c≥c1a. ∵b≥c>0，∴1b≤1c. ∵a>0，∴1a>0.∴c1a≥a1b. ∴b1c≥c1a≥a1b.
和 S1＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝220 (最大值)
S2＝a1b1＋a2b3＋a3b2＝205
备注 顺序和 乱序和
单击此对处应关编系辑母版文本样和式
(1,2,3) (30,25,45)
S3＝a1b2＋a2b1＋a3b3＝215
(1,2,3) (30,45,25)
S4＝a1b2＋a2b3＋a3b1＝195
小值．
利用排序不等式求最值
设 a b的最
解：不妨设 a≥b≥c>0， 则 a＋b≥a＋c≥b＋c，b＋1 c≥c＋1 a≥a＋1 b.
由排序不等式，得 b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋b c＋c＋c a＋a＋a b， b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋c c＋c＋a a＋a＋b b.
a1b1＋a2b2＋a3b3
a1bj1＋a2bj2＋a3bj3
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a1b1＋a2b2＋…＋anbn a1bj1＋a2bj2＋…＋anbjn a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1
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对应关系
(1,2,3) (25,30,45)
(1,2,3) (25,45,30)
第二章 几个重要的不等式
§2 排序不等式
学习目标
重点难点
1.了解排序不等式的基本形式． 2．会运用排序不等式解决一些简 单问题． 3．体会运用经典不等式的一般思 想方法.
1.重点是利用排序不等 式解决问题． 2．难点是根据题意明 确两个数组的大小顺序.
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ad＋bc
a＝b(或c＝d)