安徽高二高中数学期中考试带答案解析

安徽高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，……这些数叫做三角形数，因为这些数目的石子可以排成一个正三角形（如下图）
则第八个三角形数是
A．35B．36C．37D．38
3.用反证法证明命题：“若，那么，，中至少有一个不小于”时，反设正确的是
A．假设，，都不小于
B．假设，，都小于
C．假设，，至多有两个小于
D．假设，，至多有一个小于
4.关于综合法和分析法说法错误的是
A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法
B．综合法又叫顺推证法或由因导果法
C．分析法又叫逆推证法或执果索因法
D．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法
5.执行如右图所示的程序框图，当输入时，输出的结果等于
A．32B．64C．128D．256
6.设有一个线性回归方程为，则变量增加一个单位时
A．平均增加2.5个单位B．平均增加3个单位
C．平均减少2.5个单位D．平均减少3个单位
7.下列几种推理中是演绎推理的是
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可以导电
B．猜想数列的通项公式为
C．半径为的圆的面积，则单位圆的面积为
D．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
8.某中学在一次春游中，开展有奖答题活动，从2道文科题和3道理科题中不放回地依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的前提下，第二次抽到理科题的概率为
A．B．C．D．
9.把下列在平面内成立的结论类比地推广到空间，仍然正确的是
A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交
B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直
C．如果两条直线与第三条都不相交，则这两条直线不相交
D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行
10.下列命题中正确的是
（1）已知为纯虚数的充要条件
（2）当是非零实数时，恒成立
（3）复数的实部和虚部都是
（4）设的共轭复数为，若
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（2）（4）
二、填空题
1.已知则 .
2.数系的结构图为下图所示，其中空白方框中的内容应为 .
3.证明不等式所用的最合适的方法是 .
4.设函数，观察：
……根据以上事实，由归纳推理可得：
当 .
5.在平面几何里，有“若的三边长分别为
，其内切圆半径为，则三角形面积为”.
类比上述结论，拓展到空间，我们有“若四面体的四个面的面积分别为,其内切球的半径为，则四面体的体积为”.
三、解答题
1.实数取什么数值时，复数分别是：
（Ⅰ）实数；（Ⅱ）纯虚数.
2.已知，求证：.
3.下表是关于宿州市服装机械厂某设备的使用年限（年）和所需要的维修费用（万元）的几组统计数据：
23456
2.2
3.8 5.5 6.57.0
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（Ⅱ）估计使用年限为10年时，维修费用为多少？
（参考：（1）
（2））
4.某同学参加北大、清华、科大三所学校的自主命题招生考试，其被录取的概率分别为（各学校是否录取
他相互独立，允许他可以被多个学校同时录取）.
（Ⅰ）求此同学没有被任何学校录取的概率；
（Ⅱ）求此同学至少被两所学校录取的概率.
5.已知是互不相等的非零实数，求证：由确定的三条抛物线至少有一条与轴有两个不同的交点.
6.已知函数，设函数
（Ⅰ）求证：是奇函数；
（Ⅱ）（1）求证：；
（1）结合（1）的结论求的值；
（Ⅲ）仿上，设是上的奇函数，请你写出一个函数的解析式，并根据第（Ⅱ）问的结论，猜想函数满足的一般性结论.
安徽高二高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】解：因为，点在第四象限，选D
2.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，……这些数叫做三角形数，因为这些数目的石子可以排成一个正三角形（如下图）
则第八个三角形数是
A．35B．36C．37D．38
【答案】B
【解析】解：因为已知的前几项数目分别是1，3，6，10,15，发现规律，
，所以依次为21,28,36,故选B
3.用反证法证明命题：“若，那么，，中至少有一个不小于”时，反设正确的
是
A．假设，，都不小于
B．假设，，都小于
C．假设，，至多有两个小于
D．假设，，至多有一个小于
【答案】B
【解析】解：因为至少有一个的反设，就是一个也没有，因此对于命题“若，那么，，中至少有一个不小于””即为假设，，都小于，选B
4.关于综合法和分析法说法错误的是
A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法
B．综合法又叫顺推证法或由因导果法
C．分析法又叫逆推证法或执果索因法
D．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法
【答案】D
【解析】解：选项A成立，选项B和C是综合法的思路就是由因导果法，和分析法的概念，是执果索因法，正确。

选项D不符合定义，排除
5.执行如右图所示的程序框图，当输入时，输出的结果等于
A．32B．64C．128D．256
【答案】B
【解析】解： k="1," a="1;" k="2,a=2,;" k="3,a=4," k="4,a=8," k="5,a=16," k="6,a=32," k=7,a=64循环到此，则符合条件就终止，因此输出a=64
6.设有一个线性回归方程为，则变量增加一个单位时
A．平均增加2.5个单位B．平均增加3个单位
C．平均减少2.5个单位D．平均减少3个单位
【答案】C
【解析】解：因为线性回归方程为，则变量增加一个单位时，则y的平均减少2.5，利用斜率的几何意义，来得到。

7.下列几种推理中是演绎推理的是
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可以导电
B．猜想数列的通项公式为
C．半径为的圆的面积，则单位圆的面积为
D．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
【答案】C
【解析】解：演绎推理就是从一般到特殊的思想。

那么选项A是归纳推理，选项B是归纳推理，选项D是类比推理，只有C是演绎推理。

8.某中学在一次春游中，开展有奖答题活动，从2道文科题和3道理科题中不放回地依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的前提下，第二次抽到理科题的概率为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：解：由于共有2道文史题和3道理科题
在第一次抽到理科题的前提下
第二次抽取时，还剩下2道文史题和2道理科题
其中抽到理科题共有2种可能
故在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率P=2/4=1/2
9.把下列在平面内成立的结论类比地推广到空间，仍然正确的是
A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交
B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直
C．如果两条直线与第三条都不相交，则这两条直线不相交
D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行
【答案】B
【解析】解：平面的类比到空间，选项A可能异面，选项B成立，选项C中，可能相交
选项D中，可能相交也可能平行。

10.下列命题中正确的是
（1）已知为纯虚数的充要条件
（2）当是非零实数时，恒成立
（3）复数的实部和虚部都是
（4）设的共轭复数为，若
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（2）（4）
【答案】C
【解析】解：因为当a=b=0时，选项（1）错误，排除，设，因此（4）
错误，排除
（2）（3）推理可得成立。

二、填空题
1.已知则 .
【答案】5
【解析】解：因为
则x-y=5,
2.数系的结构图为下图所示，其中空白方框中的内容应为 .
【答案】自然数（或非负整数，或正整数和零）
【解析】解：利用数的概念的推广，可知，整数分为正整数和负整数和零，那么正整数和零合并为自然数，因此填写自然数（或非负整数，或正整数和零
3.证明不等式所用的最合适的方法是 .
【答案】分析法
【解析】解：因为无理不等式的求证，可以通过分析，将无理不等式转换为有理不等式进行求解较为方便，因此适合运用分析法。

4.设函数，观察：
……根据以上事实，由归纳推理可得：
当 .
【答案】
【解析】解：通过以上的结论，我们不难发现，瑰丽主要是看分子和分母部分数字的变换，分子都是x，分母中x
的系数为,常数项就是，因此答案为
5.在平面几何里，有“若的三边长分别为，其内切圆半径为，则三角形面积为”.
类比上述结论，拓展到空间，我们有 “若四面体的四个面的面积分别为
,其内切球的半径为，
则四面体的体积为 ”. 【答案】
【解析】解：利用三角形的分割法，利用内切圆的半径为同一的高，求解面积的思想，类推到空间，将四面体分为四个三棱锥，高都为内切球的半径，这样可以得到结论。

三、解答题
1.实数取什么数值时，复数分别是： （Ⅰ）实数； （Ⅱ）纯虚数.
【答案】
解：（1）……2分
……………5分 （2）……8分
【解析】本试题主要是考查了复数的概念的基本运用。

2.已知
，求证：
.
【答案】证明：
【解析】本试题主要是考查了不等式的证明，利用分析法进行变形化简并证明。

3.下表是关于宿州市服装机械厂某设备的使用年限（年）和所需要的维修费用（万元）的几组统计数据：
2 3 4 5 6
2.2
3.8 5.5 6.5 7.0
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （Ⅱ）估计使用年限为10年时，维修费用为多少？ （参考：（1） （2）
）
【答案】解：（1）
…………………………2分
……………………3分
…………………………………7分
………9分
（2）把代入回归方程得到：
估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元
【解析】本试题主要考查了线性回归方程的求解和简单的运用。

4.某同学参加北大、清华、科大三所学校的自主命题招生考试，其被录取的概率分别为（各学校是否录取
他相互独立，允许他可以被多个学校同时录取）.
（Ⅰ）求此同学没有被任何学校录取的概率；
（Ⅱ）求此同学至少被两所学校录取的概率.
【答案】解：（1）该同学被北大，清华，科大录取分别记为事件则该同学没有被任何学校录取记为事件，且…………2分
又是相互独立的……………………………………………3分
…6分
（2）设此同学至少被两所学校录取记为事件则…9分
【解析】本试题主要考查了独立事件的概率乘法公式的运用，以及运用对立事件求解概率的方法的综合运用。

5.已知是互不相等的非零实数，求证：由确定的三条抛
物线至少有一条与轴有两个不同的交点.
【答案】证明：假设三条抛物线没有一条与轴有两个不同交点
即三条抛物线都与轴没有交点或只有一个交点………………………2分
即（1）
（2）
（3）………………………………5分
根据同向不等式可加性，得：
同时又，，，且互不相等
………………10分
相矛盾
假设错误，从而命题得证
【解析】本试题主要是考查了运用反证法思想，对于正面解决难的问题的运用。

6.已知函数，设函数
（Ⅰ）求证：是奇函数；
（Ⅱ）（1）求证：；
（1）结合（1）的结论求的值；
（Ⅲ）仿上，设是上的奇函数，请你写出一个函数的解析式，并根据第（Ⅱ）问的结论，猜想函数满足的一般性结论.
【答案】证明：（1），定义域关于原点对称…………1分
是奇函数………4分
（2）（1）证明：
………7分
（2）解：=2013………10分
（3）可设
或，则
【解析】本试题主要是考查了函数的奇偶性和函数的求值的运算，以及解析式的求解的综合运用。