2020_2021学年新教材高中数学模块素养检测二含解析新人教B版选择性必修第三册

模块素养检测(二)
(120分钟150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)
1.已知f(x)的定义域为R,f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示,则( )
A.f(x)在x=1处取得极小值
B.f(x)在x=1处取得极大值
C.f(x)是R上的增函数
D.f(x)是(-∞,1)上的减函数,(1,+∞)上的增函数
【解析】选C.由导函数f′(x)的图像知,在R上f′(x)≥0恒成立,故f(x)是R上的增函数.
2.等比数列{a n}的通项公式为a n=2·3n-1,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的数列{b n},那么162是新数列{b n}的( )
A.第5项
B.第12项
C.第13项
D.第6项
【解析】选C.162是数列{a n}的第5项,
则它是新数列{b n}的第5+(5-1)×2=13项.
3.在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,那么x+y+z的值为( )
2 4
1 2
x
y
z
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.由表格知,第三列为首项为4,公比为的等比数列,所以x=1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5,,故第四列所成的等比数列的公比为,
所以y=5×=,同理z=6×=,
所以x+y+z=2.
4.已知函数f的导函数f′的图像如图,则下列叙述正确的是( )
A.函数f在上单调递减
B.函数f在x=-1处取得极大值
C.函数f在x=-4处取得极值
D.函数f只有一个极值点
【解析】选D.由导函数的图像可得,当x<2时,f′≥0,函数f单调递增;当x>2
时,f′<0,函数f单调递减.对于选项A,由于函数的单调减区间为,所以A不正确;
对于选项B,由题意可得函数当x=2时取得极大值,所以B不正确;
对于选项C,由题意当x=-4时函数无极值,所以C不正确;
对于选项D,由题意可得只有当x=2时函数取得极大值,所以D正确.
5.若a>2,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有( )
A.0个根
B.1个根
C.2个根
D.3个根
【解析】选B.设f(x)=x3-ax2+1,
则f′(x)=x2-2ax=x(x-2a),
当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)在(0,2)上为减函数,
又f(0)f(2)=1×=-4a<0,
所以f(x)=0在(0,2)上恰好有一个根.
6.已知数列{a n}的通项公式a n=-n2+10n-21,前n项和为S n,若m>n,则S m-S n的最大值是
( )
A.5
B.10
C.15
D.20
【解析】选B.依题意,S m-S n=a n+1+a n+2+…+a m,所以要使S m-S n的值最大,则a n+1+a n+2+…+a m包含所有的正项,令a n=-n2+10n-21>0,得4≤n≤6,代入得S m-S n=a4+a5+a6=3+4+3=10.
7.已知数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,S n为其前n项和,则S60= ( )
A.3 690
B.1 830
C.1 845
D.3 660
【解析】选B.因为a n+1+(-1)n a n=2n-1,
所以a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,
所以a1+a2+a3+a4=10.
同理a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,
所以a5+a6+a7+a8=26,
同理可得a9+a10+a11+a12=42.
由此可知,S4,S8-S4,S12-S8,…成等差数列,
首项为10,公差为16,
所以S60=15×10+×16=1 830.
8.已知函数f(x)=把方程f(x)=x的根按从小到大的顺序排列成一个数列{a n},则该数列的通项公式为( )
A.a n=(n∈N*)
B.a n=n(n-1)(n∈N*)
C.a n=n-1(n∈N*)
D.a n=n-2(n∈N*)
【解析】选C.令2x-1=x(x≤0),易得x=0.
当0<x≤1时,由已知得f(x-1)+1=x,
即2x-1-1+1=2x-1=x,
则x=1.当1<x≤2时,由已知得f(x)=x,
即f(x-1)+1=x,即f(x-2)+1+1=x,
故2x-2+1=x,则x=2.
因此,a1=0,a2=1,a3=2,结合各选项可知该数列的通项公式为a n=n-1(n∈N*).
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.数列{a n}的前n项和为S n,若数列{a n}的各项按如下规律排列:,,,,,,,,,…,,,…,,…,以下运算和结论正确的是( )
A.a24=
B.数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列
C.数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n项和为T n=
D.若存在正整数k,使S k<10,S k+1≥10,则a k=
【解析】选ACD.以2到7为分母的数共有1+2+3+…+6=21个,故a22=,a23=,a24=,故A正确;
++…+==为等差数列,B错误;
数列的前n项和为T n=,C正确;
可得T6==10.5,
即S21=10.5>10;
S20=-<10,
此时a20=,D正确.
10.定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x),且(x+1)f′(x)-f(x)<x2+2x对x∈(0,+∞)恒成立.下列结论正确的是 ( )
A.2f(2)-3f(1)>5
B.若f(1)=2,x>1,则f(x)>x2+x+
C.f(3)-2f(1)<7
D.若f(1)=2,0<x<1,则f(x)>x2+x+
【解析】选CD.设函数g(x)=,
则g′(x)=
=,
因为(x+1)f′(x)-f(x)<x2+2x,
所以g′(x)<0,
故g(x)在(0,+∞)上单调递减,从而g(1)>g(2)>g(3),整理得2f(2)-3f(1)<5,
f(3)-2f(1)<7,故A错误,C正确.
当0<x<1时,若f(1)=2,
因为g(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以g(x)>g(1)=,即>,
即f(x)>x2+x+.故D正确,从而B不正确.
11.将n2个数排成n行n列的一个数阵,如图:
a11a12a13 (1)
a21a22a23 (2)
a31a32a33 (3)
……
a n1a n2a n3……a nn
该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11=2,a13=a61+1,记这n2个数的和为S.下列结论正确的有( )
A.m=3
B.a67=17×37
C.a ij=3(i-1)×3j-1
D.S=n(3n+1)(3n-1)
【解析】选ACD.由题意,该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列,
且a11=2,a13=a61+1,
可得a13=a11m2=2m2,a61=a11+5d=2+5m,
所以2m2=2+5m+1,
解得m=3或m=-(舍去),所以选项A是正确的;
又由a67=a61m6=(2+5×3)×36=17×36,所以选项B不正确;
又由a ij=a i1m j-1=[(a11+(i-1)×m]×m j-1=[2+(i-1)×3]×3j-1=(3i-1)×3j-1,所以选项C是正确的;
又由这n2个数的和为S,
则S=(a11+a12+…+a1n)+(a21+a22+a2n)+…+(a n1+a n2+…+a nn)
=++…+
=(3n-1)·
=n(3n+1)(3n-1),
所以选项D是正确的.
12.设函数f(x)=,则下列说法正确的是( )
A.f(x)定义域是(0,+∞)
B.x∈(0,1)时,f(x)图像位于x轴下方
C.f(x)存在单调递增区间
D.f(x)在区间(1,2)上有最大值
【解析】选BC.由题意,函数f(x)=满足
解得x>0且x≠1,
所以函数f(x)=的定义域为(0,1)∪(1,+∞),所以A不正确;
因为f(x)=,当x∈(0,1)时,ln x<0,
所以f(x)<0,所以f(x)在(0,1)上的图像都在x轴的下方,所以B正确;
因为f′(x)=,
所以f′(x)>0在定义域上有解,
所以函数f(x)存在单调递增区间,所以C是正确的;
由g(x)=ln x-,
得g′(x)=+(x>0),
所以g′(x)>0,函数g(x)单调递增,
且g(1)=-1<0,g(2)=ln 2->0,
所以函数f(x)在(1,2)上先减后增,没有最大值,所以D不正确.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知函数y=xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),给出以下说法:
①函数f(x)在区间(1,+∞)上是增函数;
②函数f(x)在区间(-1,1)上无单调性;
③函数f(x)在x=-处取得极大值;
④函数f(x)在x=1处取得极小值.
其中正确的说法有________.
【解析】由题图知,当x∈(1,+∞)时,xf′(x)>0,于是f′(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)上是增函数,故①正确;
当x∈(-1,1)时,f′(x)≤0,所以函数f(x)在区间(-1,1)上是减函数,②错误,③也错误;
f(x)在区间(0,1)上是减函数,而在区间(1,+∞)上是增函数,所以函数f(x)在x=1处取得极小值,故④正确.
答案:①④
14.设曲线y=x n+1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n,则log2 015x1+log2 015x2+…+log2 015x2 014的值为________.
【解析】因为y′|x=1=n+1,
所以切线方程为y-1=(n+1)(x-1),
令y=0,
得x=1-=,
即x n=.
所以log2 015x1+log2 015x2+…+log2 015x2 014
=log2 015(x1·x2·…·x2 014)
=log2 015
=log2 015=-1.
答案:-1
15.在数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列,那么位于表中的第n行第n+1列的数是
________.
第1列第2列第3列…
第1行 1 2 3 …
第2行 2 4 6 …
第3行 3 6 9 …
……………
【解析】由题中数表,知第n行中的项分别为n,2n,3n,…,组成一等差数列,
设为{a n},则a1=n,d=2n-n=n,
所以a n+1=n+n·n=n2+n,
即第n行第n+1列的数是n2+n.
答案:n2+n
16.函数y=x2(x>0)的图像在点(a k,)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k+1,其中k∈N*.若
a1=16,则a1+a3+a5的值是________.
【解析】因为y′=2x,所以过点(a k,)处的切线方程为y-=2a k(x-a k),又该切线与x轴的交点为(a k+1,0),所以a k+1=a k,
即数列{a k}是等比数列,首项a1=16,其公比q=,
所以a3=4,a5=1,所以a1+a3+a5=21.
答案:21
四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知{a n}是公差为d的无穷等差数列,其前n项和为S n.又______,且S5=40,是否存在大于1的正整数k,使得S k=S1?若存在,求k的值;若不存在,说明理由.
从①a1=4;②d=-2这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
【解析】若选①,a1=4,因为{a n}是等差数列,所以S5=5×4+10d=40,
故d=2,S k=4k+k(k-1)×2=k2+3k,S1=a1=4,由S k=S1可得k2+3k=4,
可得k=1或k=-4(舍),
故不存在k>1使得S k=S1.若选②,d=-2,因为{a n}是等差数列,
由S5=5a1+10×(-2)=40,可得a1=12,S k=12k+×(-2)=13k-k2,
因为S k=S1,所以13k-k2=12,解可得k=1或k=12,因为k=12>1,存在k>1使得S k=S1.
18.(12分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程.
【解析】(1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a.
因为f(x)在x=3处取得极值,
所以f′(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0,
解得a=3.
所以f(x)=2x3-12x2+18x+8.
(2)A点在f(x)上,
由(1)可知f′(x)=6x2-24x+18,f′(1)=6-24+18=0,
所以切线方程为y=16.
19.(12分)已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足:a3·a4=117,a2+a5=22.
(1)求数列{a n}的通项公式a n;
(2)若数列{b n}是等差数列,且b n=,求非零常数c.
【解析】(1){a n}为等差数列,
因为a3+a4=a2+a5=22,
又a3·a4=117,
所以a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根.
又公差d>0,所以a3<a4,
所以a3=9,a4=13.
所以
所以
所以a n=4n-3.
(2)由(1)知,S n=n·1+·4=2n2-n,
所以b n==,
所以b1=,b2=,b3=,
因为{b n}是等差数列,所以2b2=b1+b3,
所以2c2+c=0,所以c=-(c=0舍去).
20.(12分)数列{a n}的前n项和为S n,数列{b n}中,b1=a1,b n=a n-a n-1(n≥2),若a n+S n=n,c n=a n-1.
(1)求证:数列{c n}是等比数列;
(2)求数列{b n}的通项公式.
【解析】(1)因为a1=S1,a n+S n=n,①
所以a1+S1=1,得a1=.
又a n+1+S n+1=n+1,②
由①②两式相减得2(a n+1-1)=a n-1,
即=,
也即=,
故数列{c n}是等比数列.
(2)因为c1=a1-1=-,
所以c n=-,a n=c n+1=1-,a n-1=1-.
故当n≥2时,b n=a n-a n-1=-=.
又b1=a1=,即b n=.
21.(12分)(2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=2ln x+1.
(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;
(2)设a>0时,讨论函数g(x)=的单调性. 【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f(x)≤2x+c⇒f(x)-2x-c≤0⇒
2ln x+1-2x-c≤0(*),
设h(x)=2ln x+1-2x-c(x>0),
则有h′(x)=-2=,
当x>1时,h′(x)<0,h(x)单调递减,
当0<x<1时,h′(x)>0,h(x)单调递增,
所以当x=1时,函数h(x)有最大值,
即h(x)max=h(1)=2ln 1+1-2×1-c=-1-c,
要想不等式(*)在(0,+∞)上恒成立,
只需h(x)max≤0⇒-1-c≤0⇒c≥-1.
(2)g(x)=
=(x>0且x≠a),
因此g′(x)=,
设m(x)=2(x-a-xln x+xln a),
则有m′(x)=2(ln a-ln x),
当x>a时,ln x>ln a,所以m′(x)<0,m(x)单调递减,
因此有m(x)<m(a)=0,即g′(x)<0,所以g(x)单调递减;
当0<x<a时,ln x<ln a,所以m′(x)>0,m(x)单调递增,
因此有m(x)<m(a)=0,即g′(x)<0,所以g(x)单调递减,
所以函数g(x)在区间(0,a)和(a,+∞)上单调递减,没有递增区间.
22.(12分)已知函数f(x)=ln(ax+1)+,x≥0,其中a>0.
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.
【解题指南】解答本题,应先正确求出函数f(x)的导数f′(x),再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解,并注意在定义域范围内求解.
【解析】(1)f′(x)=-
=,
因为f(x)在x=1处取得极值,
所以f′(1)=0,即a·12+a-2=0,
解得a=1.
(2)f′(x)=,
因为x≥0,a>0,
所以ax+1>0.
①当a≥2时,在区间[0,+∞)上,f′(x)>0,
所以f(x)的单调增区间为[0,+∞).
②当0<a<2时,
由f′(x)>0,解得x>.
由f′(x)<0,解得x<.
所以f(x)的单调减区间为,单调增区间为.
(3)当a≥2时,由(2)①知,f(x)的最小值为f(0)=1;
当0<a<2,由(2)②知,f(x)在x=处取得最小值,且f<f(0)=1. 综上可知,若f(x)的最小值为1,则a的取值范围是[2,+∞).。