浅谈概率论中的独立性问题

（４）若 Ａ，Ｂ 相互独立，那么容易推出 Ｐ（ Ａ ／Ｂ） ＝０．
证 由条件概率的定义及公式 Ｐ（ ＡＢ） ＝Ｐ（ Ａ） Ｐ（ Ｂ） 知：
Ｐ（ Ａ ／Ｂ） ＝ Ｐ（ ＡＢ） ＝ Ｐ（ Ａ） Ｐ（ Ｂ） ＝Ｐ（ Ａ）
Ｐ（ Ｂ）
Ｐ（ Ｂ）
我们知道， 若 Ａ，Ｂ 相互独立， 由 Ａ 关于 Ｂ 的条件概率等 于 无 条 件 概率， 即两事件 Ａ，Ｂ 独立的实际意义应是事件 Ｂ 发生对事 件 Ａ 发 生 的概率没有影， 更准确地讲， 两事件 Ａ，Ｂ 独立的实际意义为： 其中任一 事件发生与否对另一事件的概率没有任何影响， 这就是下述所谓的独
如何进攻篮球区域联防防守
刘敬彬 １ 董 娜 ２ （１．西安体育学院 陕西 西安 ７１００００； ２．西安铁路职业运输学院 陕西 西安 ７１００００）
摘要： 篮球区域联防是由进攻转为防守时， 防守队员迅速退回后场， 每个队员分工负责防守一定的区域， 严密防守进入该区域的球和进攻 队员， 并与同伴协同防守， 用一定的队形把每个防守区域有机地联系起来而组成的防守战术。通过分析区域联防的特点要求以及其作用， 提高 进攻区域联防的效率，找到破解区域联防防守的正确方法。
互不相容描述的是两事件之间的关系ab可得在古典概型即样本点有限下有ab即两事件必能同时发生因而必然不会互不相容相互独立与互不相容是两个不同的概念但它们之间有关系相容由于染有同一色的球有两个故472高校讲台sciencetechnologyinformation科技信息2007西安体育学院陕西西安710000西安铁路职业运输学院陕西西安710000摘要
相互独立， 且互不相容． 总之， 相互独立与互不相容之间的联系与区别是 （ １） 两事件对立， 必定互斥， 但互斥未必对立； （ ２） 互斥的概念适用于多个事件， 但对立概念只适用于两个事件；
（ ３） 两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生， 即至多只能 发生一个， 但可以都不发生， 两两事件对立则表示它们有且仅有一个 发生；
则 Ｃ＝ＡＢ!∪Ａ!Ｂ 且Ａ!Ｂ 与Ａ!Ｂ 互不相容 由题意知 Ａ，Ｂ 是相互独立的．
所以 Ａ 与Ｂ! ，Ａ!与 Ｂ 也是独立的，因此所求概率为
Ｐ（ Ｃ） ＝Ｐ（ ＡＢ!） ＋Ｐ（ Ａ!Ｂ） ＝Ｐ（ Ａ） Ｐ（ Ｂ!） ＋Ｐ（ Ａ!） Ｐ（ Ｂ）
＝０．９·（ １－ ０．９） ＋（ １－ ０．９）·０．９＝０．１８
值得说明的是，在实际问题中，判断两事件 Ａ，Ｂ 的独立性通常是根据它 们的实际意义看彼此是否有影响来进行判断的．看下面例子．
例 ２ 已知一批种子的出苗率为 ０．９，现每穴种甲，乙两粒．问一粒出 苗一粒不出苗的概率是多少？
解 设 Ａ＝“甲种子出 苗 ”，Ｂ＝“乙 种 子 出 苗 ”，Ｃ＝“一 粒 出 苗 另 一 粒 不 出 苗 ”，
１．２ 区域联防的形式 依据防守队员的站位形式， 常把篮球区域 联 防 分 为 “２－ １－ ２”联 防 、“２－ ３”联 防 、“３－ ２”联 防 、“１－ ３－ １”联 防 及 对 位 联防等几种。其中“２－ １－ ２”联防是最基本的区域联防。
随着篮球运动的发展， 现在世界强队只用一种固定形式的联防比 较少， 多半是把各种联防结合使用， 根据进攻队形的变化而改变自己 的防守队形， 但不管是什么样的联防， 最主要的就是以球为主， 人球兼 顾， 对持球者一定要盯紧， 因为有球的人能直接得分， 或他会传给更有 利于得分的人。因此， 就不能让持球的人青叶投篮或任意传球。
１．什么是区域联防 １．１ 区域联防的概念 篮球区域联防是由进攻转为防守时， 防守
队员迅速退回后场， 每个队员分工负责防守一定的区域， 严密防守进 入该区域的球和进攻队员， 并与同伴协同防守， 用一定的队形把每个 防 守 区 域 有 机 地 联 系 起 来 而 组 成 的 防 守 战 术 。现 代 联 防 战 术 的 特 点 是 防守队员随球的转移积极的移动和协防， 位置区域分工明确， 对有球 区以多防少， 无球区以少防多。因此， 有利于内线防守， 组织抢篮板球 和发动快攻。但由于各种区域联防防守都存在一定的薄弱区域， 所以 容易被对方在局部区域形成以多打少而陷入被动。
３．三个事件的独立性
定义 ２ 对事件 Ａ，Ｂ，Ｃ，若
Ｐ（ ＡＢ） ＝Ｐ（ Ａ） Ｐ（ Ｂ） Ｐ（ ＢＣ） ＝Ｐ（ Ｂ） Ｐ（ Ｃ）
Ｐ（ ＳＣ） ＝Ｐ（ Ａ） Ｐ（ Ｃ）
Ｐ（ ＡＢＣ） ＝Ｐ（ Ａ） Ｐ（ Ｂ） Ｐ（ Ｃ）
都成立， 就称事件 Ａ，Ｂ，Ｃ，是相互独立的． 若只满足前三个式子，就称 Ａ，Ｂ，Ｃ，为两两独立，若 Ａ，Ｂ，Ｃ，相互独立， 则一定两两独立，但两两独立，三事件不一定相互独立．
注意 以上结论是在 Ｐ（ Ａ） ＞０ 且 Ｐ（ Ｂ） ＞０ 的条件下得到的， 如 果 这 些条件不满足， 所得的结论就不同了．
例如 Ａ，Ｂ 互不相容， 且 Ａ＝Φ，（Ｐ（ Ａ） ＝Ｐ（ Ｂ） ＝０）时， 可知 Ａ 与 任 何 事 件 都 独 立 ， 当 然 Ａ 与 Ｂ 也 相 互 独 立 ， 这 时 两 事 件 Ａ，Ｂ
１．３ 区域联防的基本要求 （ １） 根 据 区 域 联 防 的 形 式 和 队 员 、对 手 的 特 点 等 合 理 分 配 防 守 区 域， 最大限度地发挥队员在各自防区的作用。 （ ２） 由攻转守时， 除积极阻止对方的攻势外， 应有组织地快速退守 和及早落好防守位置。 （ ３） 每个队员必须认真负责各自的防守区域， 积极阻挠进入该防 区的进攻队员的行动， 并根据球的方位调整队形进行联合防守。 （ ４） 对有球队员应按盯人方法紧逼防守， 其余防守队员应积极移 动， 调整队形进行协防或补防， 作到人球兼顾。 （ ５） 对无球队员的穿插移动， 要根据其离球的远近和队友的位置 积极抢位、堵截和护送， 并及时与队友呼应联系， 不让对手向有威胁的 区域移动或接球。远离球的防守队员应起指挥作用。
篮球区域联防是篮球防守体系中的一种， 由于其特点鲜明的防守 方法， 很多队都将其作为自己队防守的重点策略方法， 尤其是在一些 业余球队的比赛中， 篮球区域联防甚至是他们防守的唯一方法。许多 球队在遇到区域联防防守时， 常常束手无策， 没有一个有效的破解方 法， 只是依靠一些个人的进攻及匆忙之间的远投来进行攻击， 无法保 证正常的进攻效率。因此， 从根本上了解区域联防的防守原理及运用 要求， 并从中找出其阵型中的漏洞， 才能有针对性的展开进攻， 提高进 攻成功率， 增强破解篮球区域联防的能力。
例 ３ 袋 中 有 １ 个 红 球，１ 个 黑 球 和 １ 个 染 有 红．白．黑 ３ 色 的 பைடு நூலகம்，现 从袋子中任取 １ 个球，记
Ａ＝“取 出 的 球 染 有 红 色 ” Ｂ＝“取 出 的 球 染 有 白 色 ”
Ｃ＝“取 出 的 球 染 有 黑 色 ” 由于染有同一色的球有两个，故 Ｐ（ Ａ） ＝Ｐ（ Ｂ） ＝Ｐ（ Ｃ） ＝ １ ，且 同 时 染
从而 Ｐ（ ＡＢ!） ＝Ｐ（ Ａ） Ｐ（ ＡＢ）
Ｐ（ ＡＢ!） ＝Ｐ（ Ａ） － Ｐ（ ＡＢ）
＝Ｐ（ Ａ） － Ｐ（ Ａ） Ｐ（ Ｂ）
＝Ｐ（ Ａ） （ １－ Ｐ（ Ｂ） ） ＝Ｐ（ Ａ） Ｐ（ Ｂ!）
Ａ 与Ｂ!相互独立，由 Ａ，Ｂ 的对称性可得Ａ!与 Ｂ 也相互独立，
把 证 得 结 果 应 用 于（Ａ，Ｂ!），可 见（Ａ!，Ｂ!）也 相 互 独 立．
（ １） 当 Ａ，Ｂ 两事件独立时，ＡＢ＝Φ， 即 Ａ，Ｂ 相容． （ ２） 当 ＡＢ＝Φ， 即 Ａ，Ｂ 互不相容时， Ａ 与 Ｂ 不独立 证（ １） 因 Ａ，Ｂ 两事件相互独立， 且 Ｐ（ Ａ） ＞０，Ｐ（ Ｂ） ＞０．有
Ｐ（ ＡＢ） ＝Ｐ（ Ａ） Ｐ（ Ｂ） ＞０ 故 ＡＢ＝Φ，即 Ａ，Ｂ 相容
（ ２） 因 ＡＢ＝Φ，故 Ｐ（ ＡＢ） ＝Ｐ（ Φ） ＝０，而 Ｐ（ Ａ） ，Ｐ（ Ｂ） 均为正数， 故 Ｐ（ Ａ） Ｐ（ Ｂ） 也为正数， 于是
即 Ａ，Ｂ 不相互独立．
由 上 例 得 到 “互 不 相 容 ”与 “独 立 ”之 间 的 关 系
结 论 当 Ａ，Ｂ 的 概 率 都 非 零 （ 大 于 ０） 时 ， 如 Ａ，Ｂ 相 互 独 立 ， 则 Ａ，Ｂ 必 不 互 不 相 容 （ 即 相 容 ） ； 反 之 ， 若 Ａ，Ｂ 互 不 相 容 ， 则 Ａ 与 Ｂ 必 不 相 互 独立
２
有两重色的球只有一个， 故 Ｐ（ ＡＢ） ＝Ｐ（ ＢＣ） ＝Ｐ（ ＡＣ） ＝ １ ，所以有 ４
Ｐ（ ＡＢ） ＝Ｐ（ Ａ） Ｐ（ Ｂ）
Ｐ（ ＢＣ） ＝Ｐ（ Ｂ） Ｐ（ Ｃ）
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２００７ 年 第 ２４ 期
２． 正确理解事件独立性这概念还必须明了对下述两对概
念的区别：
明 了 相 互 独 立 与 互 不 相 容 的 区 别 与 联 系：相 互 独 立 与 互 不 相 容 是
两个不同的概念．两事件互不相容 是 指，两 事 件 不 能 同 时 发 生 ， 即 ＡＢ＝ Φ
分析： 互不相容描述的是两事件之间的关系， 由 ＡＢ＝Φ可得
立扩张定理：
定理 １ 若事件 Ａ，Ｂ 相互独立，则三对事件（Ａ，Ｂ!），（Ａ!，Ｂ），（Ａ!，Ｂ!），分 别 也 是相互独立的．
证 由于 ＡＢ!＝Ａ－ ＡＢ，且 ＡＢ 包含于 Ａ，故
Ｐ（ ＡＢ!） ＝Ｐ（ Ａ） － Ｐ（ ＡＢ）
因 Ａ，Ｂ 相互独立，有 Ｐ（ ＡＢ!） ＝Ｐ（ Ａ） － Ｐ（ ＡＢ）
Ｐ（ ＡＢ） ＝Ｐ（ Ａ） Ｐ（ Ｂ ／Ａ） ＝Ｐ（ Ｂ） Ｐ（ Ａ ／Ｂ） ＝０ 如 Ｐ（ Ａ） ＞０，则 Ｐ（ Ｂ ／Ａ） ＝０
反之，如 Ｐ（ Ａ） ＞０，且 Ｐ（ Ｂ ／Ａ） ＝０， 则 Ｐ（ ＡＢ） ＝０， 在古典概型（ 即样本点有限） 下有 ＡＢ＝Φ，即 Ａ 与 Ｂ 互不相容
如 Ｐ（ Ａ） ＞０，且 Ｐ（ Ｂ／Ａ） ＞０ 则 Ａ，Ｂ 两事件必能同时发生， 因而 Ａ，Ｂ 必然不会互不相容， 相互独立与互不相容是两个不同的概念， 但它们之间有关系 例 １ 证明 若 Ｐ（ Ａ） ＞０，Ｐ（ Ｂ） ＞０，则有
（ ６） 进攻队员投篮后， 每个防守队员都应该积极堵位和抢位， 有组 织地争抢篮板球， 并及时发动快攻。
１．４ 区域联防的运用 （ １） 对方中远距离投篮不准而内线威胁较大时。 （ ２） 对方个人突破能力强而本对个人防守能力不足时 （ ３） 本队犯规较多而为保存实力时。 （ ４） 对方不适应或有策略地改变防守战术时。 （ ５） 对方比分落后而急于求成时。 （ ６） 为了有组织地争抢篮板球和发动快攻时。 ２．区域联防防守中的薄弱环节 ２．１ 区 域 联 防 是 一 种 以 球 为 主 ， 球 区 结 合 的 防 守 方 法 ， 在 防 守 中 ， 防守位置相对固定， 所以对人的控制不如盯人防守。 ２．２ 防 守 队 员 所 防 区 域 之 间 的 结 合 部 是 区 域 联 防 防 守 的 一 大 弱 点。 ２．３ 区域联防通过局部多防少来达到防守的目的， 同时， 在另外一 个区域， 就会出现少防多的现象， 也是进攻方攻击的一大手段。 ２．４ 通过跑动， 达到加重一侧防守负担的目的， 提高进攻方在某一 侧人数上的优势， 以达到提高进攻成功率的效果。 ３．如何进攻区域联防 ３．１ 进攻区域联防的基本方法 （ １） 多组织快攻。在抢到防守篮板或抢断后迅速发动快攻， 打对方 立足未稳， 在其未布置好防守时已结束进攻。 （ ２） 根据区域联防的队形， 有针对性地落位， 重点攻击薄弱地区和 防区结合部。 （ ３） 通过多传球、快传球、突破分球等打乱防守队形， 寻找战机。 （ ４） 多运用中远距离的投篮逼其扩大防守范围， 争取篮下空间。 （ ５） 利用中锋阻挡前排防守队员防守滑动的路线， 在局部形成多 打少。 ３．２ 进攻区域联防的教学训练 （ １） 从理论上先明确进攻区域联防的基本原则和要求。 （ ２） 重点选择＂１－ ３－ １＂落位阵型进行进攻。 （ ３） 根据防守的阵型和彼我双方队员的具体特点， 确定进攻战术 方法和队员位置分工。 （ ４） 结合区域联防进行进攻练习， 注意逐渐提高防守难度。 综上所述， 通过认真分析区域联防防守， 认清其防守阵型的原则 和目的， 通过有针对性的训练， 便可以很好的去破解区域联防防守的 阵型， 在比赛中赢得先机。科
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２００７ 年 第 ２４ 期
浅谈概率论中的独立性问题
胡乔林 （济南职业学院 山东 济南 ２５００１４）
摘要： 世界上有各种各样的现象， 在一定条件下可能发生也可能不发生， 即结果呈现不确定性和具有统计规律性， 这种现象叫随机现象．在 随机试验中所有可能出现的结果叫随机事件．随机事件之间具有独立性， 独立性是概率论中的一个重要概念， 很多实际中的随机事件之间具有 独立性．本文主要研究了在古典概型中事件之间的独立性， 以及应用独立性来解决一些实际问题， 来证明有关事件的概率性质．
关键词： 随机事件； 独立性； 相容
１．两事件的独立性
定义 １ 对于事件 Ａ 和 Ｂ，若
Ｐ（ ＡＢ） ＝Ｐ（ Ａ） Ｐ（ Ｂ） 就称事件 Ａ 和 Ｂ 是相互独立的，简称 Ａ，Ｂ 独立或独立． 注意：（１）Ａ，Ｂ 是互不相容事件是指 Ａ，Ｂ 不可能同时发生．
（２）Ａ，Ｂ 相互独立指 Ａ 发生与 Ｂ 发生互不相关． （３） 由上述定义可知必然事件及不可能事件与任何事件都相互独 立，相互独立的定义 １ 中允许 Ｐ（ Ａ） ＝０ 或 Ｐ（ Ｂ） ＝０．