【必考题】高中必修一数学上期末模拟试卷(含答案)

【必考题】高中必修一数学上期末模拟试卷(含答案)
一、选择题
1．已知函数1
()ln(1)f x x x
=
+-；则()y f x =的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知421
3332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<
D ．c a b <<
3．若()()2
34,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩
是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( ) A ．2
,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．2,35⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．(),3-∞
D ．2,5⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
4．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的
“上界值”，则函数33
()33
x x f x -=+的“上界值”为（ ）
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．－1
5．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．21
1
y x =
+ C ．2x y =-
D ．()lg 1(0)y x x =+>
6．函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A ．(1)f x +
B ．(1)f x -
C ．()1f x +
D ．()1f x -
7．设函数()()21
2
log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪
=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )
A ．()()1,00,1-⋃
B ．()(),11,-∞-⋃+∞
C ．()()1,01,-⋃+∞
D ．()(),10,1-∞-⋃
8．已知函数()2
x x
e e
f x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有
()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．()0,1
B ．()0,2
C ．(),1-∞
D ．(]
1-∞，
9．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线
nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有
4
a
升，则m 的值为（ ） A ．10
B ．9
C ．8
D ．5
10．若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
11．函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]
0,2x ∈时，()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( ) A ．()1,3
B ．()1,1-
C ．()()1,01,3-
D ．()()1,00,1-
12．若函数()[)[]
1,1,0{44,0,1x
x x f x x ⎛⎫
∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．
13
B ．
14
C ．3
D ．4
二、填空题
13．通过研究函数()42
21021=-+-f x x x x 在x ∈R 内的零点个数，进一步研究得函数
()221021=+--n g x x x x （3n >，n N ∈且n 为奇数）在x ∈R 内零点有__________个
14．函数2
2log (56)y x x =--单调递减区间是 ．
15．已知35m n k ==，且
11
2m n
+=，则k =__________ 16．若函数()1
21
x
f x a =
++是奇函数，则实数a 的值是_________. 17．已知函数()()212
log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m
的取值范围为______． 18．已知sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨
-⎩(0)(0)
x x <>则1111
()()66f f -+为_____
19．已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=
5
2
，a b =b a ，则a= ，b= . 20．定义在R 上的奇函数()f x ，满足0x >时，()()1f x x x =-，则当0x ≤时，
()f x =______． 三、解答题
21．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当(),0x ∈-∞时，()11x
f x x
+=
-． ()1求函数()f x 在R 上的解析式；
()2判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．
22．已知函数()2
21f x x ax =-+满足()()2f x f x =-.
(1)求a 的值； (2)若不等式
()24
x x
f m ≥对任意的[)1,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围；
(3)若函数()()()
22log log 1g x f x k x =--有4个零点，求实数k 的取值范围. 23．已知函数()22
x
x
f x k -=+⋅，(
)()log ()2
x
a g x f x =-（0a >且1a ≠），且
(0)4f =.
（1）求k 的值；
（2）求关于x 的不等式()0>g x 的解集； （3）若()82x
t
f x ≥
+对x ∈R 恒成立，求t 的取值范围. 24．
已知函数()f x =
（1）判断函数()f x 在区间[0,)+∞上的单调性，并用定义证明；
（2）函数2()()log 2g x f x x =+-在区间(1,2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值（精确到0.3）；若没有零点，说明理由.
1.118≈， 1.225≈ 1.323≈，2log 1.250.322≈，
2log 1.50.585≈，2log 1.750.807≈）
25．求下列各式的值. （1）
121log 2
33
2
4()(0)a a a a -÷>；
（2）2
21g 21g4lg5lg 25+⋅+.
26．已知()log a f x x =，()()()2log 2201,1,a g x x a a a =+>+≠∈R ，()1h x x x
=+. （1）当[)1,x ∈+∞时，证明：()1
h x x x
=+
为单调递增函数； （2）当[]
1,2x ∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值.
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1x
g x x
'=-
+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1
()0()
f x
g x =
<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =
+-中,10
ln(1)0
x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且
0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B. 考点：1、函数图象；2、对数函数的性质. 2．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
因为42223
3
3
3
2=4,3,5a b c ===，且幂函数23
y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利
用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用函数()y f x =是(),-∞+∞上的增函数，保证每支都是增函数，还要使得两支函数在分界点1x =处的函数值大小，即()2
3141a a -⨯-≤，然后列不等式可解出实数a 的取值
范围． 【详解】 由于函数()()234,1,1
a x a x f x x x ⎧--<=⎨
≥⎩
是(),-∞+∞的增函数，
则函数()34y a x a =--在(),1-∞上是增函数，所以，30a ->，即3a <； 且有()2
3141a a -⨯-≤，即351a -≤，得25
a ≥
， 因此，实数a 的取值范围是2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，故选A. 【点睛】
本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点： （1）确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致； （2）结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”. 【详解】 令3,0x
t t => 则
36
1133
t y t t -=
=-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1； 故选C 【点睛】
本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域.
5．D
解析：D
【分析】
利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】
对于A ：2
y x =的值域为[
)0,+∞；
对于B ：
2
0x ≥，211x ∴+≥，2
1
011
x ∴<
≤+， 2
1
1
y x ∴=
+的值域为(]0,1； 对于C ：2x
y =-的值域为(),0-∞； 对于D ：
0x >，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，
()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；
故选：D ． 【点睛】
此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为
(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象
上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】
设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ， 则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ， 再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +， 其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +， 该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=， 所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-， 故选：D. 【点睛】
该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目.
7．C
解析：C 【解析】
【详解】
因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪
=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或
()()122
log log a a a <⎧⎪
⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，
故选C. 8．D
解析：D 【解析】
试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛
⎤
∈ ⎥⎝
⎦
都
有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：
f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；
由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛
⎤
⎥⎝
⎦
都有m ﹣1＜sinθ成立； ∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；
∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．
点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.
9．D
解析：D 【解析】
由题设可得方程组()552{4
n m n ae a
a ae +==
，由55122n n
ae a e =⇒=，代入
(5)1
14
2
m n mn ae a e +=
⇒=，联立两个等式可得512{12
mn n e e =
=
，由此解得5m =，应选答案D 。

10．A
解析：A 【解析】
因为00.31,1e <，所以0.3log 0c e =<，由于
0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．
11．C
解析：C 【解析】
若[20]x ∈-，，则[02]x -∈，，此时1f x x f x -=--（），（）是偶函
数，1f x x f x ∴-=--=（）（）， 即1[20]f x x x =--∈-（），，， 若[24]x ∈， ，则4[20]x -∈-，， ∵函数的周期是4，4413f x f x x x ∴=-=---=-（）（）（），
即120
102324x x f x x x x x ---≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎩
，（），， ，作出函数f x （）在[1
3]-， 上图象如图， 若03x ≤＜，则不等式0xf x （）＞ 等价为0f x （）＞ ，此时13x ＜＜， 若10x -≤≤ ，则不等式0xf
x （）＞等价为0f x （）＜ ，此时1x -＜＜0 ， 综上不等式0xf x （）＞ 在[13]-， 上的解集为1310.⋃-（，）（，）
故选C.
【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果. 【详解】
f (lo
g 43)＝log434=3,选C. 【点睛】
本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题.
二、填空题
13．3【解析】【分析】令（为奇数）作出两个函数的图象后可判断零点的个数【详解】由题意令则零点的个数就是图象交点的个数如图所示：由图象可知与的图象在第一象限有一个交点在第三象限有一个交点因为当为正奇数时的
解析：3 【解析】 【分析】
令()2n s x x =（n 为奇数，3n >），()2
1021h x x x =-++，作出()s x 、()h x 两个函数的
图象后可判断()g x 零点的个数. 【详解】
由题意，令()*2,,5n s x x n N n =∈≥，()2
1021h x x x =-++，则()()()g x s x h x =-，
()g x 零点的个数就是()(),s x h x 图象交点的个数，
如图所示：
由图象可知，()s x 与()h x 的图象在第一象限有一个交点，在第三象限有一个交点， 因为当n 为正奇数时()2n
s x x =的变化速度远大于()h x 的变化速度，故在第三象限内，
()s x 、()h x 的图象还有一个交点，故()(),s x h x 图象交点的个数为3，
所以()g x 零点的个数为3. 故答案为：3. 【点睛】
本题主要考查了函数的零点的判定，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想的应用，属于中档试题.
14．【解析】【分析】先求出函数的定义域找出内外函数根据同增异减即可求出【详解】由解得或所以函数的定义域为令则函数在上单调递减在上单调递增又为增函数则根据同增异减得函数单调递减区间为【点睛】复合函数法：复 解析：(,1)-∞-
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域，找出内外函数，根据同增异减即可求出. 【详解】
由2560x x -->，解得6x >或1x <-，所以函数2
2log (56)y x x =--的定义域为
(,1)(6,)-∞-+∞.令256u x x =--，则函数256u x x =--在(),1-∞-上单调递减，
在()6,+∞上单调递增，又2log y u =为增函数，则根据同增异减得，函数
22log (56)y x x =--单调递减区间为(,1)-∞-.
【点睛】
复合函数法：复合函数[]
()y f g x =的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与
()u g x =若具有相同的单调性，则[]()y f g x =为增函数，若具有不同的单调性，则
[]()y f g x =必为减函数． 15．【解析】因为所以所以故填
【解析】
因为35m
n
k ==，所以3log m k =，5log n k =，
11lg5lg3lg152lg lg lg m n k k k
+=+==，所以1
lg lg152
k =
=k =16．【解析】【分析】由函数是奇函数得到即可求解得到答案【详解】由题意函数是奇函数所以解得当时函数满足所以故答案为：【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键
解析：1
2
-
【解析】 【分析】
由函数()f x 是奇函数，得到()0
1
0021
f a =+=+，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，函数()121x
f x a =++是奇函数，所以()01
0021f a =+=+，解得12
a =-， 当12
a =-
时，函数()11
212x
f x =-+满足()()f x f x -=-， 所以1
2a =-
. 故答案为：1
2
-.
【点睛】
本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题，其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
17．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没
解析：{|2m m >或2}3
m <- 【解析】 【分析】
分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】
解：∵函数()()212
log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，
则函数2
(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.
当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.
故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 2
4(2)(2)
04m m m m
--->，
求得 2m >；
当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.
故y 的最大值为2
4(2)(2)
4m m m m
---，且 24(2)(2)04m m m m --->，
求得2
3
m <-
. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3
m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3
m <-. 【点睛】
本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.
18．0【解析】【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可求解【详解】因为则所以【点睛】本题主要考查了分段函数求值属于中档题
解析：0 【解析】 【分析】
根据分段函数的解析式，代入求值即可求解. 【详解】
因为sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨-⎩
(0)
(0)x x <>
则11111
()sin()sin 6662
f ππ-
=-==, 11511()()()sin()66662
f f f π==-=-=-, 所以1111
()()066
f f -+=.
【点睛】
本题主要考查了分段函数求值，属于中档题.
19．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误 解析：42
【解析】
试题分析：设log ,1b a t t =>则，因为215
22
t t a b t +=
⇒=⇒=， 因此2
2222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒== 【考点】指数运算，对数运算． 【易错点睛】在解方程5
log log 2
a b b a +=
时，要注意log 1b a >，若没注意到log 1b a >，方程5
log log 2
a b b a +=
的根有两个，由于增根导致错误 20．【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解：根据题意为定义在R 上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得：当时；故答案为【点睛】本题考查函数的奇 解析：()1x x +
【解析】 【分析】
由奇函数的性质得()00f =，设0x <，则0x ->，由函数的奇偶性和解析式可得
()()()1f x f x x x =--=+，综合2种情况即可得答案．
【详解】
解：根据题意，()f x 为定义在R 上的奇函数，则()00f =， 设0x <，则0x ->，则()()()1f x x x -=-+， 又由函数为奇函数，则()()()1f x f x x x =--=+，
综合可得：当0x ≤时，()()1f x x x =+； 故答案为()1x x + 【点睛】
本题考查函数的奇偶性以及应用，注意()00f =，属于基础题．
三、解答题
21．（1）()1,010,01,01x
x x f x x x x x
+⎧<⎪-⎪
==⎨⎪-⎪->+⎩（2）函数()f x 在()0,+∞上为增函数,详见解析
【解析】 【分析】
()1根据题意，由奇函数的性质可得()00f =，设0x >，则0x -<，结合函数的奇偶性与奇偶性分析可得()f x 在()0,+∞上的解析式，综合可得答案； ()2根据题意，设120x x <<，由作差法分析可得答案．
【详解】
解：()1根据题意，()f x 为定义在R 上的函数()f x 是奇函数，则()00f =， 设0x >，则0x -<，则()11x
f x x
--=
+， 又由()f x 为R 上的奇函数，则()()11x
f x f x x
-=-=-
+， 则()1,010,01,01x
x x f x x x x x +⎧<⎪-⎪
==⎨⎪-⎪->+⎩
；
()2函数()f x 在()0,+∞上为增函数；
证明：根据题意，设120x x <<， 则()()()()()
121221
1212211221111111111x x x x x x f x f x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-----=---=-= ⎪ ⎪
++++++⎝⎭⎝⎭， 又由120x x <<，
则()120x x -<，且()110x +>，()210x +>； 则()()120f x f x ->，
即函数()f x 在()0,+∞上为增函数． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，涉及掌握函数奇偶性、单调性的定义． 22．(1)1；(2)1,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
；(3)1k >-.
【解析】 【分析】
（1）由题得()f x 的图像关于1x =对称，所以1a =；（2）令2x t =，则原不等式可化为
()2
112m t t ⎛⎫
≤-≥ ⎪⎝⎭
恒成立，再求函数的最值得解；（3）令2log (0)t x t =≥，可得
11t =或21t k =+，分析即得解.
【详解】
(1)∵()()2f x f x =-，∴()f x 的图像关于1x =对称，∴1a =.
(2)令2(2)x
t t =≥，则原不等式可化为()2
112m t t ⎛⎫≤-≥ ⎪⎝⎭恒成立.
∴2
min 1114
m t ⎛⎫
≤-= ⎪⎝⎭，∴m 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.
(3)令2log (0)t x t =≥，
则()y g x =可化为()()()2
2111y t k t k t t k =-+++=---，
由()()110t t k ---=可得1
1t =或21t k =+，
∵()y g x =有4个零点，121=|log |t x =有两个解， ∴221=|log |t k x =+有两个零点，∴10,1k k +>∴>-. 【点睛】
本题主要考查二次函数的对称性的应用，考查不等式的恒成立问题和对数函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
23．(1) 3k =；(2) 当1a >时，()2,log 3x ∈-∞；当01a <<时，()2log 3,x ∈+∞；(3)(]
,13-∞- 【解析】 【分析】
（1）由函数过点()0,4，待定系数求参数值；
（2）求出()g x 的解析式，解对数不等式，对底数进行分类讨论即可. （3）换元，将指数型不等式转化为二次不等式，再转化为最值求解即可. 【详解】
（1）因为()22x x f x k -=+⋅且(0)4f =，故：14k +=， 解得3k =.
（2）因为(
)()log ()2
x
a g x f x =-，由（1），将()f x 代入得：
()log (32?)x a g x -=，则log (32?)0x a ->，等价于：
当1a >时，321x ->，解得()2,log 3x ∈-∞ 当01a <<时，321x -<，解得()2log 3,x ∈+∞. （3）()82x
t
f x ≥
+在R 上恒成立，等价于： ()
()2
28
230x
x
t --+≥恒成立；
令2x m =，则()0,m ∈+∞，则上式等价于：
2830m m t --+≥，在区间()0,+∞恒成立.
即：283t m m ≤-+，在区间()0,+∞恒成立， 又()2
283413m m m -+=--，故：
2(83)m m -+的最小值为：-13，故：
只需13t ≤-即可. 综上所述，(]
,13t ∈-∞-. 【点睛】
本题考查待定系数求参数值、解复杂对数不等式、由恒成立问题求参数范围，属函数综合问题.
24．（1）见解析；（2）有，1.5 【解析】 【分析】
（1）由条件利用函数的单调性的定义即可证得函数f （x ）在区间[
)0,+∞上的单调性．（2）结合函数单调性，由零点存在性定理得出连续函数()g x 在区间()1,2上有且仅
有一个零点，由二分法即可得出零点的近似值（精确到0.3）. 【详解】
（1）函数()f x 在区间[
)0,+∞上是增函数， 设[
)12,0,x x ∈+∞，且12x x <， 则()(
)
120f x f x -=
=
=
<，
所以()()12f x f x <，
故函数()f x 在区间[
)0,+∞上是增函数. （2）(
)2log 2g x x =
-是增函数，
又因为(
)21log 1210g =-=-<，(
)22log 2210g =-=>， 所以连续函数()g x 在区间()1,2上有且仅有一个零点0x
因为(
)21.5log 1.52 1.2250.58520.190g -≈+-=-<， 所以()0 1.5,2x ∈
又因为(
)21.75log 1.752 1.3230.80720.130g =-≈+-=->， 所以()0 1.5,1.75x ∈
又1.75 1.50.250.3-=<，所以()g x 零点的近似值为1.5. 【点睛】
本题考查了用定义证明函数单调性，零点存在性定理的应用，二分法求零点的近似值，属于中档题.
25．（1）0；（2）2 【解析】 【分析】
直接利用指数和对数的运算法则化简求值即得解. 【详解】
（1
）22
1252
1log
log 3
3332420a a a a a a a a ⎛⎫-÷=-÷=-= ⎪⎝⎭
（2）2
2lg 2lg 4lg5lg 252lg 2(lg 2lg5)2lg52(lg 2lg5)2+⋅+=++=+=
【点睛】
本题主要考查指数和对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 26．（1）证明见解析（2）4a = 【解析】 【分析】
（1）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（2）首先表示出()()()F x g x f x =-，再根据复合函数的单调性分类讨论可得。

【详解】
解：（1）任取121x x ≤<，()()212121
11h x h x x x x x -=+
-- ()122121121211x x x x x x x x x x ⎛⎫
-=-+=-- ⎪⎝⎭
()
22
21111
x x x x x x -=-. 121x x ≤<，210x x ∴->，121x x ⋅>，
()()210h x h x ∴->， ()h x ∴为单调递增函数.
（2）
24(1)1()()()2log (22)log log log 42a a a a x F x g x f x x x x x x +⎛⎫
=-=+-==++ ⎪⎝⎭
.
又由（1）知，1y x x =+
在[]1,2x ∈单调递增，1924,2x x ⎛⎫⎡⎤
∴++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，
∴当1a >时，()F x 在[]1,2x ∈单调递增，()min log 162a F x ∴==，解得4a =.
当01a <<时，()F x 在[]
1,2x ∈单调递减，()min log 182a F x ∴==，
解得a ==. 所以4a =. 【点睛】
本题考查用定义法证明函数的单调性，复合函数的单调性的应用，属于中档题.。