4.5 相似三角形判定定理的证明1

*4.5相似三角形判定定理的证明
1.会证明相似三角形判定定理；（重点）
2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）
一、情景导入
相似三角形的判定方法有哪些？
答：（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似.
怎样证明这些结论呢？
二、合作探究
探究点：相似三角形的判定定理
【类型一】根据条件判定三角形相似
如图所示，给出以下条件：①∠B
＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③
AC
CD＝
AB
BC；
④AC2＝AD·AB.其中能单独判定
△ABC∽△ACD的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：在图中已知两个三角形有一
对公共角，只要再找一对角相等，或夹公共
角的两组对应边成比例即可判定两个三角
形相似.题中有三个条件可以单独判定
△ABC∽△ACD，分别是①②④.①②是根据
有两组角分别对应相等的两个三角形相似
来判定的；④是根据两组对应边成比例且夹
角相等的两个三角形相似来判定；③虽然两
边对应成比例，但不能得到其夹角相等，所
以不能判定两个三角形相似.故选C.
方法总结：利用两边分别对应成比
例且夹角相等的方法判定两个三角形相似
时，一定要注意必须是对应成比例的两边的
夹角相等，若不是夹角相等，则不能判定这
两个三角形相似.
【类型二】探索三角形相似的条件
如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD.
（1）若AB＝9，CD＝4，BD＝10，请
问在BD上是否存在点P，使以P、A、B三
点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶
点的三角形相似？若存在，求BP的长；若
不存在，请说明理由；
（2）若AB＝9，CD＝4，BD＝12，请
问在BD上存在多少个点P，使以P、A、B
三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为
顶点的三角形相似？并求BP的长；
（3）若AB＝9，CD＝4，BD＝15，请
问在BD 上存在多少个点P ，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；
（4）若AB ＝m ，CD ＝n ，BD ＝l ，请问在m 、n 、l 满足什么关系时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的一个点P ？两个点P ？三个点P ？
解：（1）设BP ＝x ，则DP ＝10－x .
若△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即94＝
x 10－x
，解得x ＝90
13；若△ABP ∽△PDC ，则
AB PD ＝BP CD ，即910－x ＝x
4
，此时方程无解. 综上，存在这样的点P ，此时BP ＝90
13；
（2）设BP ＝x ，则DP ＝12－x . 若△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即9
4＝
x 12－x ，解得x ＝108
13；若△ABP ∽△PDC ，
则
AB PD ＝BP CD ，即912－x ＝x
4，解得x ＝6. 综上所述，存在两个这样的点P ，此时BP ＝6或10813
；
（3）设BP ＝x ，则DP ＝15－x . 若△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即9
4＝
x 15－x ，解得x ＝135
13；若△ABP ∽△PDC ，
则
AB PD ＝BP CD ，即915－x ＝x
4，解得x ＝3或12. 综上所述，存在三个这样的点，此时BP ＝135
13
，3或12；
（4）设BP ＝x ，则DP ＝l －x . 若△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即m
n ＝
x l －x ，解得x ＝ml
m ＋n ；若△ABP ∽△PDC ，则
AB PD ＝BP CD ，即m l －x ＝x
n
，得方程x 2－lx ＋mn ＝0，Δ＝l 2－4mn .
当Δ＝l 2－4mn ＜0时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的一个点P ；
当Δ＝l 2－4mn ＝0时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的两个点P ；
当Δ＝l 2－4mn ＞0时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的三个点P .
方法总结：由于相似情况不明确，因此要分两种情况讨论，注意要找准对应边.
三、板书设计
相似三角形判定定理的证明⎩⎪⎨⎪
⎧判定定理1判定定理2判定定理3
本课主要是证明相似三角形判定定理，以学生的自主探究为主，鼓励学生独立思考，多角度分析解决问题，总结常见的辅助线添加方法，使学生的推理能力和几何思维都获得提高，培养学生的探索精神和合作意识.。