最新初中数学函数基础知识难题汇编附答案(3)

最新初中数学函数基础知识难题汇编附答案(3)
一、选择题
1．弹簧挂上物体后会伸长，现测得一弹簧的长度y（厘米）与所挂物体的质量x（千克）之间有如下关系：
物体质量x/千克0 1 2 3 4 5 …
弹簧长度y/厘米10 10.5 11 11.5 12 12.5 …
下列说法不正确的是（）
A．x与y都是变量，其中x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为0厘米
C．在弹性范围内，所挂物体质量为7千克时，弹簧长度为13.5厘米
D．在弹性范围内，所挂物体质量每增加1千克弹簧长度增加0.5厘米
【答案】B
【解析】
试题分析：根据图表数据可得，弹簧的长度随所挂重物的质量的变化而变化，并且质量每增加1千克，弹簧的长度增加0.5cm，然后对各选项分析判断后利用排除法．
解：A、x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，正确，不符合题意；
B、弹簧不挂重物时的长度为10cm，错误，符合题意；
C、在弹性范围内，所挂物体质量为7千克时，弹簧长度为10+0.5×7=13.5，正确，不符合题意；
D、在弹性范围内，所挂物体质量每增加1千克弹簧长度增加0.5厘米，正确，不符合题意．
故选B．
点评：本题考查了函数关系的确认，常量与变量的确定，读懂图表数据，并从表格数据得出正确结论是解题的关键，是基础题，难度不大．
2．在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（）
A．乙先出发的时间为0.5小时B．甲的速度是80千米/小时
C．甲出发0.5小时后两车相遇D．甲到B地比乙到A地早
1
12
小时
【答案】D
【解析】
试题分析：A．由图象横坐标可得，乙先出发的时间为0.5小时，正确，不合题意；B．∵乙先出发，0.5小时，两车相距（100﹣70）km，∴乙车的速度为：60km/h，故乙行
驶全程所用时间为：=（小时），由最后时间为1.75小时，可得乙先到到达A
地，故甲车整个过程所用时间为：1.75﹣0.5=1.25（小时），故甲车的速度为：100÷1.25 =80（km/h），故B选项正确，不合题意；
C．由以上所求可得，甲出发0.5小时后行驶距离为：40km，乙车行驶的距离为：60km，40+60=100，故两车相遇，故C选项正确，不合题意；
D．由以上所求可得，乙到A地比甲到B地早：1.75﹣=（小时），故此选项错误，
符合题意．
故选D．
考点：函数的图象．
3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的最大公里数（单位：km/L），如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述正确的是（）
A．以相同速度行驶相同路程，甲车消耗汽油最多
B．以10km/h的速度行驶时，消耗1升汽油，甲车最少行驶5千米
C．以低于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，丙车消耗汽油最少
D．以高于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，丙车比乙车省油
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意和函数图象可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：由图可得：以相同速度行驶相同路程，甲车消耗汽油最少．故选项A错误．
以10km/h的速度行驶时，消耗1升汽油，甲车最多行驶5千米．故选项B错误．
以低于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，甲车消耗汽油最少．故选项C错误．
以高于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，丙车比乙车省油．故选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．如图，在ABC ∆中，90C =o ∠，30B ∠=o ，10AB cm =，P Q 、两点同时从点A 分别出发，点P 以2/cm s 的速度，沿A B C →→运动，点Q 以1/cm s 的速度，沿A C B →→运动，相遇后停止，这一过程中，若P Q 、两点之间的距离PQ y =，则y 与时间t 的关系大致图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意分当05t ≤≤、5t >时两种情况，分别表示出PQ 的长y 与t 的关系式，进而得出答案．
【详解】
解：在ABC ∆中，90C =o ∠，30B ∠=o ，AB=10,
∴AC=5, 12
AC AB =， I. 当05t ≤≤时，P 在AB 上，Q 在AC 上，由题意可得：2AP t =，AQ t =， 依题意得：
12
AQ AP =， 又∵A A ∠=∠
∴APQ ABC V :V , ∴90AQP C ∠=∠=︒ 则3PQ t =，
II.当5t >，P 、Q 在BC 上，由题意可得：P 走过的路程是2t ，Q 走过的路程是t ， ∴15533PQ t =+-,
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了动点问题的函数图象，正确理解PQ 长与时间是一次函数关系，并得出函数关系式是解题关键．
5．如图，线段AB 6cm =，动点P 以2cm /s 的速度从A B A --在线段AB 上运动，到达点A 后，停止运动；动点Q 以1cm/s 的速度从B A -在线段AB 上运动，到达点A 后，停止运动．若动点P,Q 同时出发，设点Q 的运动时间是t (单位：s )时，两个动点之间的距离为S(单位：cm )，则能表示s 与t 的函数关系的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可以得到点P 运动的快，点Q 运动的慢，可以算出动点P 和Q 相遇时用的时间和点Q 到达终点时的时间，从而可以解答本题．
【详解】
：设点Q 的运动时间是t （单位：s ）时，两个动点之间的距离为s （单位：cm ）， 6=2t+t ，解得：t=2，即t=2时，P 、Q 相遇，即S=0，.
P 到达B 点的时间为：6÷2=3s ，此时，点Q 距离B 点为：3，即S=3
P 点全程用时为12÷2=6s ，Q 点全程用时为6÷1=6s ，即P 、Q 同时到达A 点
由上可得，刚开始P 和Q 两点间的距离在越来越小直到相遇时，它们之间的距离变为0，此时用的时间为2s ；
相遇后，在第3s时点P到达B点，从相遇到点P到达B点它们的距离在变大，1s后P点从B点返回，点P继续运动，两个动点之间的距离逐渐变小，同时达到A点．
故选D．
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确各个时间段内它们对应的函数图象．
6．如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A1⇒A2⇒A3⇒A4⇒A5爬行，那么蚂蚁爬行的高度h 随时间t变化的图象大致是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
从A：到A2蚂蚁是匀速前进，随着时间的增多，爬行的高度也将由0匀速上升，从A2到A：随着时间的增多，高度将不再变化，由此即可求出答案.
【详解】
解：因为蚂蚁以均匀的速度沿台阶A1→A2→A3→A4→A5爬行，从A1→A2的过程中，高度随时间匀速上升，从A2→A3的过程，高度不变，从A3一A4的过程，高度随时间匀速上升，从A4.→A5的过程中，高度不变，所以蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图象是B.
故选：B.
【点睛】
主要考查了函数图象的读图能力.要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际情况采用排除法求解.
7．在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（）
m1234
v0.01 2.98.0315.1
A．v=2m﹣2 B．v=m2﹣1 C．v=3m﹣3 D．v=m+1
【答案】B
【解析】
一般情况下是把最大的一对数据代入函数关系式后通过比较得出最接近的关系式．
解：当m=4时，
A、v=2m﹣2=6；
B、v=m2﹣1=15；
C、v=3m﹣3=9；
D、v=m+1=5．
故选B．
8．如图所示，菱形ABCD中，直线l⊥边AB，并从点A出发向右平移，设直线l在菱形ABCD内部截得的线段EF的长为y，平移距离x＝AF，y与x之间的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD的面积为（）
A．3 B3C．3D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
将图1和图2结合起来分析，分别得出直线l过点D，B和C时对应的x值和y值，从而得出菱形的边长和高，从而得其面积．
【详解】
解：由图2可知，当直线l过点D时，x＝AF＝a，菱形ABCD的高等于线段EF的长，此时y＝EF3；
直线l向右平移直到点F过点B时，y3；
当直线l过点C时，x＝a+2，y＝0
∴菱形的边长为a+2﹣a＝2
3)＝4
∴当点E与点D重合时，由勾股定理得a2+2
∴a＝1
3
∴菱形的面积为3
故选：C．
【点睛】
本题是动点函数图象问题，将图形的运动与函数图象结合起来分析，是解决此类问题的关键，
9．如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（不与,A B重合）．过Q作QM PA
⊥于M，QN PB
⊥于N．设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形面积得出S△PAB=1
2
PE•AB；S△PAB=S△PQB+S△PAQ=
1
2
QN•PB+
1
2
PA•MQ，进而得出
y=PE AB
PB
，即可得出答案．
【详解】
解：连接PQ，作PE⊥AB垂足为E，
∵过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N，
∴S△PAB=1
2 PE•AB；
S△PAB=S△PQB+S△PAQ=1
2
QN•PB+
1
2
PA•MQ，
∵矩形ABCD中，P为CD中点，∴PA=PB，
∵QM与QN的长度和为y，
∴S△PAB=S△PQB+S△PAQ=1
2
QN•PB+
1
2
PA•MQ=
1
2
PB（QM+QN）=
1
2
PB•y，
∴S△PAB=1
2
PE•AB=
1
2
PB•y，
∴y=PE AB PB
⋅
，
∵PE=AD，
∴PE，AB，PB都为定值，
∴y的值为定值，符合要求的图形为D，故选：D．
【点睛】
此题考查了矩形的性质，三角形的面积，动点函数的图象，根据已知得出y=PE AB
PB
⋅
，再
利用PE=AD，PB，AB，PB都为定值是解题关键．
10．小丽早上步行去车站然后坐车去学校，下列能近似的刻画她离学校的距离随时间变化的大致图象是()
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据上学，可得离学校的距离越来越小，根据开始步行，可得距离变化慢，后来坐车，可得距离变化快．
【详解】
解：A 、距离越来越大，选项错误；
B 、距离越来越小，但前后变化快慢一样，选项错误；
C 、距离越来越大，选项错误；
D 、距离越来越小，且距离先变化慢，后变化快，选项正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了函数图象，观察距离随时间的变化是解题关键．
11．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，有一动点P 从点A 出发，沿A →C →B →A 匀速运动．则CP 的长度s 与时间t 之间的函数关系用图象描述大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
试题分析：
如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ．
∵在△ABC 中，AC=BC ，∴AD=BD ．
①点P 在边AC 上时，s 随t 的增大而减小．故A 、B 错误；
②当点P 在边BC 上时，s 随t 的增大而增大；
③当点P 在线段BD 上时，s 随t 的增大而减小，点P 与点D 重合时，s 最小，但是不等于零．故C 错误；
④当点P 在线段AD 上时，s 随t 的增大而增大．故D 正确．故答案选D ．
考点：等腰三角形的性质，函数的图象；分段函数．
12．在平面直角坐标系中有三个点的坐标：()()0,2,2,01
(),3A B C ---，，从、、A B C
三个点中依次取两个点，求两点都落在抛物线2y x x 2=--上的概率是（ ）
A ．13
B ．16
C ．12
D ．23
【答案】A
【解析】
【分析】
先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两点都落在抛物线2y x x 2=--上的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：在()()0,2,2,01
(),3A B C ---，三点中，其中AB 两点在2y x x 2=--上， 根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数，其中两点都落在抛物线2y x x 2=--上的结果数为2， 所以两点都落在抛物线2y x x 2=--上的概率是
2163
=； 故选：A ．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法和函数图像上点的特征．通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
13．如图，正方形ABCD 的边长为2，动点P 从点D 出发，沿折线D →C →B 作匀速运动，则△APD 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）
A ．
B ．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分类讨论：当点D在DC上运动时，DP=x，根据三角形面积公式得到S△APD=x，自变量x的取值范围为0＜x≤2；当点P在CB上运动时，S△APD为定值2，自变量x的取值范围为2＜x≤4，然后根据两个解析式对各选项中的图象进行判断即可．
【详解】
解：当点D在DC上运动时，DP=x，所以S△APD=1
2
AD•DP=
1
2
•2•x=x（0＜x≤2）；
当点P在CB上运动时，如图，PC=x﹣4，所以S△APD=1
2
AD•DC=
1
2
•2•2=2（2＜x≤4）．
故选：D．
【点睛】
此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于掌握分类讨论的思想、函数的知识、正方形的性质和三角形的面积公式．注意自变量的取值范围．
14．如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与
▱ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN 的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（）
A．B．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
分析：本题需要分两种情况来进行计算得出函数解析式，即当点N 和点D 重合之前以及点M 和点B 重合之前，根据题意得出函数解析式．
详解：假设当∠A=45°时，AD=22，AB=4，则MN=t ，当0≤t≤2时，AM=MN=t ，则S=212
t ，为二次函数；当2≤t≤4时，S=t ，为一次函数，故选C ． 点睛：本题主要考查的就是函数图像的实际应用问题，属于中等难度题型．解答这个问题的关键就是得出函数关系式．
15．某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度y （单位：厘米）与观察时间x （单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC 是线段，直线CD 平行于x 轴）．下列说法正确的是（ ）．
①从开始观察时起，50天后该植物停止长高；
②直线AC 的函数表达式为165
y x =
+； ③第40天，该植物的高度为14厘米；
④该植物最高为15厘米．
A ．①②③
B ．②④
C ．②③
D ．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】 ①根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高；
②设直线AC 的解析式为y=kx+b （k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC 线段的解析式，
③把x=40代入②的结论进行计算即可得解；
④把x=50代入②的结论进行计算即可得解．【详解】
解：∵CD∥x轴，
∴从第50天开始植物的高度不变，
故①的说法正确；
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵经过点A（0，6），B（30，12），
∴
3012
6
k b
b
+=
⎧
⎨
=
⎩
，
解得：
1
5
6
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴直线AC的解析式为
1
6
5
y x
=+（0≤x≤50），
故②的结论正确；
当x=40时，
1
40614
5
y=⨯+=，
即第40天，该植物的高度为14厘米；故③的说法正确；
当x=50时，
1
50616
5
y=⨯+=，
即第50天，该植物的高度为16厘米；
故④的说法错误．
综上所述，正确的是①②③．
故选：A.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
16．如图1所示，A，B两地相距60km，甲、乙分别从A，B两地出发，相向而行，图2中的1l，2l分别表示甲、乙离B地的距离y（km）与甲出发后所用的时间x（h）的函数关系．以下结论正确的是( )
A ．甲的速度为20km/h
B ．甲和乙同时出发
C ．甲出发1.4h 时与乙相遇
D ．乙出发3.5h 时到达A 地
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意结合图象即可得出甲的速度；根据图象即可得出甲比乙早出发0.5小时；根据两条线段的交点即可得出相遇的时间；根据图形即可得出乙出发3h 时到达A 地．
【详解】
解：A ．甲的速度为：60÷2=30，故A 错误；
B ．根据图象即可得出甲比乙早出发0.5小时，故B 错误；
C ．设1l 对应的函数解析式为111y k x b =+，
所以：111
6020b k b =⎧⎨+=⎩， 解得113060k b =-⎧⎨=⎩ 即1l 对应的函数解析式为13060y x =-+；
设2l 对应的函数解析式为222y k x b =+，
所以：22220.503.560k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得 22
2010k b =⎧⎨=-⎩ 即2l 对应的函数解析式为22010y x =-，
所以：30602010y x y x =-+⎧⎨=-⎩， 解得 1.418x y =⎧⎨=⎩
∴点A 的实际意义是在甲出发1.4小时时，甲乙两车相遇， 故本选项符合题意； D ．根据图形即可得出乙出发3h 时到达A 地，故D 错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
17．甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离S（km）和骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，给出下列说法：①他们都骑行了20km；②乙在途中停留了0.5h；③甲、乙两人同时到达目的地；④相遇后，甲的速度小于乙的速度．根据图象信息，以上说法正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
试题分析：根据图象上特殊点的坐标和实际意义即可作出判断．
由图可获取的信息是：他们都骑行了20km；乙在途中停留了0.5h；相遇后，甲的速度＞乙的速度，所以甲比乙早0.5小时到达目的地，所以（1）（2）正确．
故选B．
考点：本题考查的是学生从图象中读取信息的数形结合能力
点评：同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
18．按如图所示的运算程序，能使输出k的值为1的是（）
A．x＝1，y＝2 B．x＝2，y＝1 C．x＝2，y＝0 D．x＝1，y＝3
【答案】B
【解析】
【分析】
把各项中x与y的值代入运算程序中计算即可．
【详解】
解：A、把x＝1，y＝2代入y=kx，得：k＝2，不符合题意；
B、把x＝2，y＝1代入y=kx-1，得：1＝2k﹣1，即k＝1，符合题意；
C、把x＝2，y＝0代入y=kx-1，得：0＝2k﹣1，即k＝1
2
，不符合题意；
D、把x＝1，y＝3代入y=kx，得：k＝3，不符合题意，故选：B．
【点睛】
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及程序图的计算，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
19．如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果向这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h 与时间t 之间的关系的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h 与t 的关系变为先快后慢．
【详解】
根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h 与时间t 之间的关系分为两段，先快后慢。

故选：C.
【点睛】
此题考查函数的图象，解题关键在于观察图形
20．如图1，在扇形OAB 中，60O ∠=︒，点P 从点O 出发，沿O A B →→以1/cm s 的速度匀速运动到点B ，图2是点P 运动过程中，OBP V 的面积()2y cm
随时间()x s 变
化的图象，则a ，b 的值分别为（ ） 图1图2
A ．4,
43π B ．4,443π+ C ．222π3 D ．222223
π 【答案】B
【解析】
【分析】
结合函数图像中的（a，43）可知OB=OA=a，S△AOB=43，由此可求得a的值，再利用弧长公式进而求得b的值即可．
【详解】
解：由图像可知，当点P到达点A时，OB=OA=a，S△AOB=43，
过点A作AD⊥OB交OB于点D，
则∠AOD=90°，
∴在Rt△AOD中，sin∠AOD=AD AO
，
∵∠AOB=60°，
∴sin60°=
3 AD AD
AO a
=，
∴AD=
3
2
a，
∵S△AOB=3
∴13
43 2
a
⨯=
∴a=4（舍负），
∴弧AB的长为：6044
1803
ππ
⨯⨯
=，
∴
4
4
3
b
π
=+．
故选：B．
【点睛】
本题是动点函数图象问题，考查了扇形弧长、解直角三角形等相关知识，解答时注意数形结合思想的应用．。