考研数学一(解答题)模拟试卷52(题后含答案及解析)

考研数学一（解答题）模拟试卷52(题后含答案及解析) 题型有：1.
1．设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。

证明xn存在，并求该极限。

正确答案：当n=1时，0＜x1＜π；当n=2时，0＜x2=sinx1≤1＜π；假设当n=k时，0＜xk＜π成立，则当n=k+1时，0＜xk+1=sinxk≤1＜π；由数学归纳法可知，对任意的n∈N+，0＜xn＜π，即数列{xn}有界。

又因为当x＞0时，sinx＜x，所以＜1，即数列{xn}单调递减。

根据单调有界准则可知xn=a，在等式xn+1=sinxn两端同时取极限可得，a=sina，所以a=0，即xn=0。

涉及知识点：函数、极限、连续
2．判断下列结论是否正确?为什么? (I)若函数f(x)，g(x)均在x0处可导，且f(x0)=g(x0)，则f’(x0)=g’(x0)；(Ⅱ)若x∈(x0—δ，x0+δ)，x≠x0时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x=x0处有相同的可导性；(Ⅲ)若存在x0的一个邻域(x0—δ，x0+δ，使得x∈(x0—δ，x0+δ)时f(x)=g(x)，则f(x)与g(x)在x0处有相同的可导性．若可导，则f’(x0)=g’(x0)．
正确答案：(I)不正确．函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关，还与该点附近的函数值有关．仅有f(x0)=g(x0)不能保证f’(x0)=g’(x0)．正如曲线y=f(x)与y=g(x)可在某处相交但并不相切．(Ⅱ)不正确．例如f(x)=x2，显然，当x≠0时f(x)=g(x)，但f(x)在x=0处可导，而g(x)在x=0处不可导(因为g(x)在x=0不连续)．(Ⅲ)正确．由假设可得当x∈(x0一δ，x0+δ)，x≠x0时故当x→x0时等式左右端的极限或同时存在或同时不存在，而且若存在则相等．再由导数定义即可得出结论．涉及知识点：一元函数的导数与微分概念及其计算
3．求
正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续
4．讨论函数f(x)=(x＞0)的连续性．
正确答案：因为f(e—0)=f(e)=f(e+0)=1，所以f(x)在x＞0处处连续．涉及知识点：高等数学
5．设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续(a，b＞0)，在(a，b)内可导．证明：在(a，b)内至少有一点ξ，使等式=f(ξ)一ξf’(ξ)成立．
正确答案：令它们在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且G’(x)=满足柯
西中值定理的三个条件．于是在(a，b)内至少有一点ξ，使得涉及知识点：一元函数微分学
6．设∫0x2tetdt+∫0lnyetdt=ex2,求．
正确答案：方程∫0x2tetdt+∫0lnyetdt=ex2两边对x求导数得2x．x2ex2＋．涉及知识点：高等数学
7．A是3阶实对称矩阵，A2=E，如果r(A+E)=2，求A的相似对角形，并计算行列式｜A+2E｜的值．
正确答案：由于A2=E，A的特征值只能是1或－1，又因为A是实对称矩阵，A必有3个线性无关的特征向量．从r(A+E)=2和(A+E)x=0的基础解系由3－r(A+E)=1个向量组成，知λ=－1只有一个线性无关的特征向量，从而λ=－1是单根，λ=1是二重根，因此由于λ+2是A+2E的特征值，知3，3，1是A+2E的特征值，故｜A+2E｜=3．3．1=9．涉及知识点：线性代数
8．设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为试求：(Ⅰ)X与Y的边缘分布律，并判断X与Y是否相互独立；(Ⅱ)P{X=Y}．
正确答案：(Ⅰ)因为边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和，所以假如随机变量X与Y相互独立，就应该对任意的i，j都有pij=pi．pj，而本题中p14=0，但是p1与p4均不为零，所以p14≠p1．p4故X与Y不是相互独立的．涉及知识点：概率与数理统计
9．设f(x)连续，且F(x)=∫0x(x一2t)f(t)dt．证明：(1)若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数；(2)若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．
正确答案：(1)设f(一x)=f(x)，因为F(—x)=∫0—x(一x一2t)f(t)dt∫0—x(一x+2u)f(—u)(一du) =∫0x(x一2u)f(u)du=F(x)，所以F(x)为偶函数．(2)F(x)=∫0x(x一2t)f(t)dt=x∫0xf(t)dt一2∫0xtf(t)dt，F’(x)=∫0xf(t)dt—xf(x)=x[f(ξ)一f(x)]，其中ξ介于0与x之间，当x＜0时，x≤ξ≤0，因为f(x)单调不增，所以F’(x)≥0，当x≥0时，0≤ξ≤x，因为f(x)单调不增，所以F’(x)≥0，从而F(x)单调不减．涉及知识点：高等数学
10．求．
正确答案：涉及知识点：高等数学
11．设级数绝对收敛．
正确答案：令Sn=(a1一a0)+(a2一a1)+…+(an一an—1)，则Sn=an一
a0．涉及知识点：高等数学
12．设曲线，过原点作切线，求此曲线、切线及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的表面积．
正确答案：涉及知识点：高等数学部分
13．(Ⅰ)设f(x，y)=x2+(y－1)arcsin(Ⅱ)设f(x，y)=
正确答案：(Ⅰ)因f(x，1)=x2，故=4．又因f(2，y)=4+(y－1)arcsin，故(Ⅱ)按定义类似可求=0(或由x，y的对称性得)．涉及知识点：多元函数微分学
14．设f(x)连续，f(0)=1，令F(t)=f(x2+y2)dxdy(t≥0)，求F’’(0)．
正确答案：令x=cosθ，y=rsinθ，则F(t)=∫02πdθ∫0trf(r2)dr=2π∫0trf(r2)dr，因为f(x)连续，所以F’(t)=2πtf(t2)且F’(0)=0，于是F’’(0)=f(t2)=2πf(0)=2π．涉及知识点：高等数学
15．
正确答案：涉及知识点：线性代数部分
16．将f(x)=一x展开成x的幂级数．
正确答案：f(0)=0，f(x)=f(x)一f(0)=∫0xf’(x)dx=∫0x(｜x｜＜1)．涉及知识点：高等数学
17．设曲线L的极坐标方程为r=r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M0(2，0)为L上一定点，若极径OM0，OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0，M两点间弧长值的一半，求曲线L的方程．
正确答案：涉及知识点：高等数学
飞机以匀速ν沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从x轴上(x0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2ν．
18．求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；
正确答案：设t时刻导弹的位置为M(x，y)，根据题意得涉及知识点：高等数学
19．导弹运行方程．
正确答案：涉及知识点：高等数学
20．细菌的增长率与总数成正比，如果培养的细菌总数在24小时内由100增长到400，求前12小时后的细菌总数．
正确答案：设t时刻细菌总数为S，则有=kS，S(0)=100，S(24)=400，涉及知识点：高等数学。