高一数学寒假作业13实验班

河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十三
2019年 2 月14 日
一、选择题
1．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )
A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a∥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α
2．如图所示，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E、F分别是SC和AB的中点，则EF的长是( )
A．1 B． 2 C.
2
2
D．
1
2
3.如图所示，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
A．A， M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面
4．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有以下四个命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.
其中正确的两个命题是( )
A．①② B．③④ C．②④D．①③
5.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12,底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角为( )
A 30°
B 45°
C 60° D90°
6．已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则( ) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
7．如图，在正方体ABCD－A 1B1C1D1中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为( )
A．30° B．45° (C)60°(D)90°
8．已知A，B，C，D是空间不共面的四个点，且AB⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC( ) A．垂直 B．平行 C．相交D．位置关系不确定
二、填空题
9.如图,点P在正方体ABCD A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个命题:
①三棱锥A D1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;
③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的命题的序号是.
10．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为____.
三、解答题
11.如图,在四棱锥P ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,CD=AD=2AB=2AP.
(1)求证:平面PCD⊥平面PAD;
(2)在侧棱PC上是否存在点E,使得BE∥平面PAD,若存在,确定点E位置;若不
存在,说明理由.
12．如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点．
(1)求证：PA ∥面BDE ；
(2)求证：面PAC ⊥面BDE ；
(3)若二面角E －BD －C 为30°，求四棱锥P －ABCD 的体积．
13．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD ︵
上异于C ，D 的点.
(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．
河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十三答案
1.解析：已知两条不相交的空间直线a 和b ，可以在直线a 上任取一点A ，使得A ∉b .过A 作直线c ∥b ，则过a ，c 必存在平面α且使得a ⊂α，b ∥α.答案：B
2.解析：取SA 的中点H ，连接EH 、FH (图略)．因为SB ⊥AC ，则EH ⊥FH ，
在△EFH 中，应用勾股定理得EF ＝ 2.答案：B
3.解析：连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，所以A ，C ，C 1，A 1四点共面，所以A 1C ⊂面ACC 1A 1.因为M ∈A 1C ，所以M ∈面ACC 1A 1，
又M ∈面AB 1D 1，所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理O 在面ACC 1A 1与面AB 1D 1的交线上，所以A ，M ，O 三点共线，故选A.
4.解析：若α∥β，l ⊥α，则l ⊥β，又m ⊂β，所以l ⊥m ，故①正确；若α⊥β，l ⊥
α，m ⊂β，则l 与m 可能异面，所以②不正确；若l ∥m ，l ⊥α，则m ⊥α，又m ⊂β，则α⊥β，所以③正确；若l ⊥α，l ⊥m ，m ⊂β，则α与β可能相交，故④不正确．综上可知，选D.
5.解析:如图,在正四棱锥S ABCD 中,SO ⊥底面ABCD,E 是BC 边中点,则∠SEO 即为侧面与底面所成的二面角的平面角.由题易得SO=3,OE=,tan ∠SEO=,所以∠SEO=60°,故选C.
6.[解析] 选项A ，只有当m ∥β或m ⊂β时，m ∥l ；选项B ，只有当m ⊥β时，m ∥n ；选项C ，由于l ⊂β，∴n ⊥l ；选项D ，只有当m ∥β或m ⊂β时，m ⊥n ，故选C ．
7.[解析] 如图，连接A 1C 1、BC 1、A 1B ．∵M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点∴MN ∥BC 1．又A 1C 1∥AC ∴∠A 1C 1B 为异面直线AC 与MN 所成的角．
∵△A 1BC 1为正三角形∴∠A 1C 1B ＝60°.故选C ．
8.[解析] 过点A 作AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，连结BO
∵AB ⊥CD ，由三垂线定理可得BO ⊥CD ．同理DO ⊥BC ，∴O 为△ABC 的垂心所以CO ⊥BD ，BD ⊥AO ，CO ∩AO ＝O ，∴BD ⊥平面ADC ，所以BD ⊥AC ．故选A ．
9解析:如图,对于①,容易证明AD 1∥BC 1,从而BC 1∥平面AD 1C,故BC 1上任意一点到平面AD 1C 的距离均相等,所以以P 为顶点,平面AD 1C 为底面的三棱锥的体积不变,即三棱锥A D 1PC 的体积不变,①正确;对于②,连接A 1B,A 1C 1,容易证明A 1C 1 AC,由①知,AD 1∥BC 1,所以平面BA 1C 1∥平面ACD 1,从而由线面平行的定义可得,②正确;对于③由于DC ⊥平面BCC 1B 1,所以DC ⊥BC 1,若DP ⊥BC 1,则BC 1⊥平面DCP,BC 1⊥PC,则P 为中点,与P 为动点矛盾,③错误;对于④,连接DB 1,由DB 1⊥AC 且DB 1⊥AD 1,可得DB 1⊥平面ACD 1,从而由面面垂直的判定知④正确.答案:①②④
10[解析] 如图，连接OA ，OB ．
由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC ．
由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC ，知OA ⊥平面SCB ． 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r
∴三棱锥S －ABC 的体积V ＝13×(12SC ·OB )·OA ＝r 3
3
即r 33
＝9，∴r ＝3，∴S 球表＝4πr 2＝36π． 11(1)证明:因为PA ⊥平面ABCD,所以PA ⊥CD. ①
又因为AB ⊥AD,AB ∥CD,所以CD ⊥AD. ②
由①②可得CD ⊥平面PAD.又CD ⊂平面PCD,所以平面PCD ⊥平面PAD.
(2)解:当点E 是PC 的中点时,BE ∥平面PAD.
证明如下:设PD 的中点为F,连接EF,AF,易得EF 是△PCD 的中位线,所以EF ∥CD,EF=CD.由题设可得AB ∥CD,AB=CD,所以EF ∥AB,EF=AB,
所以四边形ABEF 为平行四边形,所以BE ∥AF.
又BE ⊄平面PAD,AF ⊂平面PAD,所以BE ∥平面PAD.
12解 (1)证明：连接OE ，如图所示．∵O ，E 分别为AC ，PC 的中点，∴OE ∥PA .∵OE ⊂面BDE ，PA ⊄面BDE ，∴PA ∥面BDE .
(2)证明：∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD .
在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥面PAC .又∵BD ⊂面BDE ，∴面PAC ⊥面BDE .
(3)如图所示，取OC 中点F ，连接EF .∵E 为PC 中点，
∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO .
又∵PO ⊥面ABCD ，∴EF ⊥面ABCD ，∴EF ⊥BD .
∵OF ⊥BD ，OF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥面EFO ，∴OE ⊥BD .
∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角，∴∠EOF ＝30°.
在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan30°＝612
a ，∴OP ＝2EF ＝66
a . ∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3
.
13[解析] (1)由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．
因为BC ⊥
CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ．
因为M 为CD ︵ 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ．
又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC ．
而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．
(2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．
证明如下：连结AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．
连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．
MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．。